3. (2026·无锡期末)动手实践:将三角板绕某点旋转能形成丰富的图形,可得到许多有趣的结论.
小宁与小周两位同学用一副三角板和两条平行线进行了如下探究:
三角板ABC与三角板DEF如图所示摆放,其中∠ACB=∠EDF=90°,∠BAC=30°,∠DEF=45°,GH//MN,点A,B在直线GH上,点E,F在直线MN上.
【操作一】小宁固定三角板ABC不动,小周将三角板DEF绕点E以每秒3°的速度逆时针旋转,设时间为t秒,且0≤t≤60.
(1)当DF与AB平行时,则t的值为;
(2)当DF与AC平行时,求t的值.
【操作二】小宁和小周同时旋转两块三角板,小周将三角板DEF绕点E以每秒3°的速度逆时针旋转,小宁将三角板ABC绕点A以每秒2°的速度顺时针旋转,设时间为t秒,且0≤t≤60,当DF与BC平行时,则t的值为.

备用图

【操作一】
(1) 15 解析:如图①, 因为 GH // MN, DF // AB, 所以 DF // MN. 所以∠FDE + ∠DEN = 180°. 因为∠EDF = 90°, ∠DEF = 45°, 所以∠FEN = 180° - 90° - 45° = 45°, 由旋转可知, 三角形 DEF 绕点 E 逆时针旋转的角度为 (3t)°, 即∠FEN = (3t)°. 所以 3t = 45, 解得 t = 15.
(2) 如图②, 延长线段 FD, 交直线 GH 于点 P, 过点 F 作直线 FQ, 使 FQ // MN, 过点 D 作 ST // EF, 由平行公理的推论可得 GH // FQ.
因为 ST // EF, ∠DEF = 45°,
所以∠SDE = ∠DEF = 45°, ∠DFE = ∠FDT. 因为∠EDF = 90°, 所以∠DFE = ∠FDT = 180° - 90° - 45° = 45°.
因为 AC // DF, 所以∠BAC = ∠BPF = 30°.
因为 GH // FQ, 所以∠BPF = ∠PFQ = 30°.
因为∠DFE = 45°, 所以∠QFE = ∠DFE - ∠PFQ = 45° - 30° = 15°.
因为 FQ // MN, 所以∠FEN = ∠QFE = 15°.
又因为三角形 DEF 绕点 E 逆时针旋转的角度为 (3t)°, 即∠FEN = (3t)°, 所以 3t = 15, 解得 t = 5.
【操作二】21 或 57 解析:
① 如图③, 当 DF // BC 时, 过点 F 作直线 FP // MN, 交 AC 于点 P, 延长 CB, 交 FP 于点 Q, 过点 C 作 ST // GH, 则 ST // FQ // GH.
因为 PQ // MN, 所以∠EFQ + ∠FEN = 180°.
又因为∠FEN = (3t)°, 所以∠EFQ = 180° - (3t)°.
因为∠DFE = 45°, 所以∠DFQ = ∠DFE + ∠EFQ = 45° + [180° - (3t)°] = 225° - (3t)°.
因为 DF // BC, 所以∠DFQ + ∠FQC = 180°, 所以∠FQC = 180° - [225° - (3t)°] = (3t)° - 45°.
因为 ST // FQ // GH, 所以∠TCQ = ∠FQC = (3t)° - 45°, ∠HAC + ∠ACB + ∠TCQ = 180°. 又因为∠HAC = ∠BAC + (2t)° = 30° + (2t)°, ∠ACB = 90°, 所以 (3t)° - 45° + 90° + 30° + (2t)° = 180°, 解得 t = 21;
② 如图④, 当 DF // BC 时, 过点 F 作直线 FP // MN, 交 AC 的延长线于点 P, 交 CB 的延长线于点 Q, 则 FQ // GH.
同理∠DFQ = 225° - (3t)°, ∠CPQ = (3t)° - 135°.
因为 GH // PQ, 所以∠HAC + ∠CPQ = 180°, 所以 30° + (2t)° + (3t)° - 135° = 180°, 解得 t = 57.
综上, t 的值为 21 或 57.

4. (2026·无锡期末)如图①,射线AB上有一点C,AC=12,一动点P从点C出发,以每秒m个单位的速度沿射线CB的方向运动,同时,射线CB开始绕点C按顺时针方向以每秒30°的速度旋转一周.
(1)当CB第一次转至与AC垂直时,PC=;(用含m的代数式表示)
(2)当A,P,C三点中有一个点是另外两个点构成的线段的中点时,求m的值;
(3)如图②,当射线CB绕点C旋转到CB⊥AC时,点P到达射线CB上的点D处.此时,射线DB开始绕点D按顺时针方向以每秒45°的速度一同旋转,旋转一周停止运动,再经过s,AC与DB所在直线垂直.

(1) 3m 解析:由题意知,当 CB 第一次转至与 AC 垂直,即旋转角为 90°, 所以时间为 $\frac{90°}{30°}=3$(s), 所以 PC = 3m.
(2) 由题意知, 当 CB 绕点 C 顺时针旋转 180° 时, 时间为 $\frac{180°}{30°}=6$(s), 当 A, P, C 三点中有一个点是另外两个点构成的线段的中点时, ① 当 P 为 AC 的中点时, $PC=\frac{1}{2}AC$, 即 6m = $\frac{1}{2}×12=6$, 解得 m = 1; ② 当 A 为 PC 的中点时, PC = 2AC, 即 6m = 2×12 = 24, 解得 m = 4; 当 CB 绕点 C 顺时针旋转 360° 时, 时间为 $\frac{360°}{30°}=12$(s), 当 C 为 AP 的中点时, PC = AC, 即 12m = 12, 解得 m = 1. 综上, m 的值为 1 或 4.
(3) $\frac{12}{5}$ 或 $\frac{24}{5}$ 或 $\frac{36}{5}$ 解析:设再经过时间为 t s, CD 在射线 CF 上, CE 垂直于 AC, 由题意知, 分三种情况求解:
情况一: 如图①, 此时∠DCE = 30t°, ∠BDF = 45t°, 所以∠ACD = 90° - 30t°, ∠BDC = 180° - 45t°. 因为 AC 与 DB 所在直线垂直, 所以∠BDC + ∠ACD = 90°, 即 180° - 45t° + 90° - 30t° = 90°, 解得 $t=\frac{12}{5}$;
情况二: 如图②, 此时∠DCE = 30t°, ∠BDC = 45t° - 180°, 所以∠ACD = 30t° - 90°. 因为 AC 与 DB 所在直线垂直, 所以∠BDC + ∠ACD = 90°, 即 45t - 180 + 30t - 90 = 90°, 解得 $t=\frac{24}{5}$;
情况三: 如图③, 反向延长射线 DB, 交直线 AC 于点 H, 此时∠DCE = 360° - 30t°, ∠BDC = 45t° - 180°, 所以∠DCH = 270° - 30t°, ∠CDH = 360° - 45t°. 因为 AC 与 DB 所在直线垂直, 所以∠CDH + ∠DCH = 90°, 即 360° - 45t° + 270° - 30t° = 90°, 解得 $t=\frac{36}{5}$.
综上所述, 再经过 $\frac{12}{5}$ s 或 $\frac{24}{5}$ s 或 $\frac{36}{5}$ s, AC 与 DB 所在直线垂直, 故答案为 $\frac{12}{5}$ 或 $\frac{24}{5}$ 或 $\frac{36}{5}$.