1. (2025 盐城市滨海县期中) 如图, 在 $△ ABC$ 和 $△ DEC$ 中, $∠ ACB = ∠ DCE = 90°$, $AB = DE, AC = DC$. 有下列结论: ①$∠ A = ∠ D$; ②$∠ A + ∠ DEC = 90°$; ③$AE = DB$; ④$OE = OD$; ⑤点 $O$ 在 $∠ ACB$ 的平分线上. 其中正确的结论有（）


A.①②③
B.②③④⑤
C.①②③④⑤
D.①②③⑤

1. D

2. 如图,在$△ ABC$中,$AC=BC$,过点$B$作射线$BF$,在射线$BF$上取一点$E$,连接$AE$,使得$∠ CBF=∠ CAE$,过点$C$作射线$BF$的垂线,垂足为$D$.若$DE=1,AE=4$,则$BD$的长为（）


A.$6$
B.$5$
C.$4$
D.$3$

2. B 提示:连接$CE$,过点$C$作$CM⊥AE$,交$AE$的延长线于点$M$. 因为 $CD⊥BF,CM⊥AM$,所以$∠CDB=∠CMA=90°$.又因为 $BC=AC,∠CBF=∠CAE$,所以$△CDB≌△CMA(\mathrm{AAS})$,所以 $CD=CM,BD=AM$. 又 $CE=CE$,所以 $\mathrm{Rt}△CED≌\mathrm{Rt}△CEM(\mathrm{HL})$,所以 $DE=ME=1$,所以 $BD=AM=AE+ME=4+1=5$.

3. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC,AD ⊥ BC$于点$D,DE ⊥ AB$于点$E,BF ⊥ AC$于点$F$.若$DE=3\ \mathrm{cm}$,则$BF=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$.

3. 6 提示:根据题意,易证 $\mathrm{Rt}△ADB≌\mathrm{Rt}△ADC(\mathrm{HL})$,所以 $S_{△ABC}=2S_{△ABD}=AB·DE=3AB$. 又因为 $S_{△ABC}=\frac{1}{2}AC·BF$,所以 $\frac{1}{2}AC·BF=3AB$.
因为 $AC=AB$,所以 $\frac{1}{2}BF=3\ \mathrm{cm}$,所以 $BF=6\ \mathrm{cm}$.

4. 如图,在四边形 $ABCD$ 中,$∠ B=∠ C=$$90°,AB＞CD,AD=AB+CD.$
(1) 利用直尺和圆规作$∠ ADC$ 的平分线$DE$,交 $BC$ 于点 $E$,在 $AD$ 上截取 $AF=$$AB$,连接 $AE,EF$.(保留作图痕迹,不要求写作法)
(2) 在(1)的条件下,求证:
①$EF=EC$;
②$AE⊥ DE.$

4. (1) 解:作图如图所示.
(2) 证明:①因为 $AD=AB+DC,AD=AF+DF,AF=AB$,所以 $DF=DC$. 因为 $DE$ 平分$∠ADC$,所以$∠FDE=∠CDE$. 在$△FED$ 和$△CED$ 中,$\begin{cases}DF=DC,\\∠FDE=∠CDE,\\DE=DE,\end{cases}$ 所以$△FED≌△CED(\mathrm{SAS})$,所以 $EF=EC$.
②因为$△FED≌△CED$,所以$∠DEF=∠DEC$,$∠DFE=∠C=90°$,所以$∠AFE=90°=∠B$. 在 $\mathrm{Rt}△AFE$ 和 $\mathrm{Rt}△ABE$ 中,$\begin{cases}AF=AB,\\AE=AE,\end{cases}$ 所以 $\mathrm{Rt}△AFE≌\mathrm{Rt}△ABE(\mathrm{HL})$,所以$∠AEF=∠AEB$. 所以$∠AED=∠AEF+∠DEF=\frac{1}{2}∠BEF+\frac{1}{2}∠CEF=90°$,所以 $AE⊥DE$.

5. 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AE$平分$∠ BAC$交边$BC$于点$E$,$D$为边$AC$上一点,$BE=DE$.
(1) 求证:$∠ B+∠ EDA=180°$.
(2) 求$\dfrac{AD+AB}{AC}$的值.

5. (1) 证明:过点 $E$ 作 $EF⊥AB$ 于点 $F$,则$∠EFA=90°=∠C$. 因为 $AE$ 平分$∠BAC$,所以$∠CAE=∠FAE$. 又因为 $AE=AE$,所以$△EAC≌△EAF(\mathrm{AAS})$,所以 $EC=EF$.
又因为 $BE=DE$,所以 $\mathrm{Rt}△ECD≌\mathrm{Rt}△EFB(\mathrm{HL})$,所以$∠EDC=∠B$. 因为$∠EDC+∠EDA=180°$,所以$∠B+∠EDA=180°$.
(2) 解:因为 $\mathrm{Rt}△ECD≌\mathrm{Rt}△EFB$,$△EAC≌△EAF$,所以 $CD=FB,CA=FA$,所以 $\frac{AD+AB}{AC}=\frac{AC-CD+AF+FB}{AC}=\frac{2AC}{AC}=2$.