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疑难点拨
判断正误:垂直于半径的直线是圆的切线. ()
点拨 紧扣定理成立的条件,利用"反例"否定假命题.
判断正误:垂直于半径的直线是圆的切线. ()
点拨 紧扣定理成立的条件,利用"反例"否定假命题.
答案
解：该命题错误。
根据圆的切线判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。若直线仅垂直于半径，但未经过半径的外端（如圆内垂直于半径的直线），则该直线不是圆的切线。
故答案为：×
根据圆的切线判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。若直线仅垂直于半径，但未经过半径的外端（如圆内垂直于半径的直线），则该直线不是圆的切线。
故答案为：×
解析
【分析】
要判断该命题的正误，需紧扣圆的切线判定定理的完整条件，不能遗漏关键要素。原命题仅提到“垂直于半径”，但缺少切线判定的必要条件，可通过举反例否定该假命题。
【解析】
该命题错误。根据圆的切线判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。原命题仅说明直线垂直于半径，未明确直线经过半径的外端，例如圆内垂直于半径的直线，既不经过半径外端，也不是圆的切线，因此原命题不成立。
【答案】
×
【知识点】
圆的切线判定定理，命题的真假判断
【点评】
本题考查圆的切线判定定理的准确理解，核心是牢记定理的完整条件，避免遗漏关键要素，通过反例辨析假命题是常用方法，属于基础概念类题目。
【难度系数】
0.3
要判断该命题的正误，需紧扣圆的切线判定定理的完整条件，不能遗漏关键要素。原命题仅提到“垂直于半径”，但缺少切线判定的必要条件，可通过举反例否定该假命题。
【解析】
该命题错误。根据圆的切线判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。原命题仅说明直线垂直于半径，未明确直线经过半径的外端，例如圆内垂直于半径的直线，既不经过半径外端，也不是圆的切线，因此原命题不成立。
【答案】
×
【知识点】
圆的切线判定定理，命题的真假判断
【点评】
本题考查圆的切线判定定理的准确理解，核心是牢记定理的完整条件，避免遗漏关键要素，通过反例辨析假命题是常用方法，属于基础概念类题目。
【难度系数】
0.3
1. 如图,以点P为圆心,以下列选项中的线段的长为半径作圆,所得的圆与直线l相切的是(
A.PA
B.PB
C.PC
D.PD
B
)A.PA
B.PB
C.PC
D.PD
答案
1. B
解析
【分析】要判断以点P为圆心的圆与直线l是否相切，需依据直线与圆相切的判定规则：当圆心到直线的距离等于半径时，直线与圆相切。因此需先确定点P到直线l的距离，观察图形可知PB垂直于直线l，故PB是点P到直线l的垂线段，即点P到直线l的距离，当半径等于该距离时，圆与直线l相切。
【解析】根据直线与圆相切的判定定理：圆心到直线的距离等于半径时，直线与圆相切。由图可知，PB⊥直线l，因此线段PB是点P到直线l的距离。所以以P为圆心，PB为半径作圆时，所得圆与直线l相切，对应选项为B。
【答案】B
【知识点】直线与圆相切的判定、点到直线的距离
【点评】本题考查直线与圆相切的基础判定，核心是理解圆心到直线的距离与半径的关系，属于概念应用类基础题，难度较低。
【难度系数】0.8
【解析】根据直线与圆相切的判定定理：圆心到直线的距离等于半径时，直线与圆相切。由图可知，PB⊥直线l，因此线段PB是点P到直线l的距离。所以以P为圆心，PB为半径作圆时，所得圆与直线l相切，对应选项为B。
【答案】B
【知识点】直线与圆相切的判定、点到直线的距离
【点评】本题考查直线与圆相切的基础判定，核心是理解圆心到直线的距离与半径的关系，属于概念应用类基础题，难度较低。
【难度系数】0.8
2. 如图,在$△ POM$中,点M在$\odot O$上,点P在$\odot O$外,$OP$交$\odot O$于点N,以下条件不能判定$PM$是$\odot O$的切线的是(
A.$∠ O+∠ P=90°$
B.$∠ O+∠ P=∠ OMP$
C.$OM^{2}+PM^{2}=OP^{2}$
D.点N是$OP$的中点
D
)A.$∠ O+∠ P=90°$
B.$∠ O+∠ P=∠ OMP$
C.$OM^{2}+PM^{2}=OP^{2}$
D.点N是$OP$的中点
答案
2. D
解析
【分析】
要判定PM是⊙O的切线，根据切线的判定定理，需证明OM⊥PM（M在⊙O上，OM是半径），即需推导∠OMP=90°。逐一分析各选项，判断能否推出∠OMP=90°：
1. 选项A：利用三角形内角和，由∠O+∠P=90°可算出∠OMP=90°；
2. 选项B：结合三角形内角和，将∠O+∠P替换为∠OMP，可算出∠OMP=90°；
3. 选项C：根据勾股定理逆定理，可判断△POM为直角三角形，∠OMP=90°；
4. 选项D：仅知N是OP中点，无法推出∠OMP=90°，因此不能判定。
【解析】
要判定PM是⊙O的切线，需满足OM⊥PM（切线判定定理：经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线，M在⊙O上，OM为半径），即需证明∠OMP=90°。
选项A：在△POM中，∠O+∠P+∠OMP=180°，若∠O+∠P=90°，则∠OMP=180°-90°=90°，故OM⊥PM，PM是⊙O的切线，可判定；
选项B：同理，∠O+∠P+∠OMP=180°，若∠O+∠P=∠OMP，则2∠OMP=180°，得∠OMP=90°，故OM⊥PM，可判定；
选项C：若OM²+PM²=OP²，根据勾股定理逆定理，△POM是直角三角形，且∠OMP=90°，故OM⊥PM，可判定；
选项D：点N是OP中点，仅说明ON=NP，无法推出∠OMP=90°，因此不能判定PM是⊙O的切线。
【答案】
D
【知识点】
切线的判定、三角形内角和、勾股定理逆定理
【点评】
本题考查圆的切线判定，核心是将切线判定转化为证明垂直，需结合三角形内角和、勾股定理逆定理等知识分析选项，属于基础几何题，需掌握切线判定的核心逻辑。
【难度系数】
0.5
要判定PM是⊙O的切线，根据切线的判定定理，需证明OM⊥PM（M在⊙O上，OM是半径），即需推导∠OMP=90°。逐一分析各选项，判断能否推出∠OMP=90°：
1. 选项A：利用三角形内角和，由∠O+∠P=90°可算出∠OMP=90°；
2. 选项B：结合三角形内角和，将∠O+∠P替换为∠OMP，可算出∠OMP=90°；
3. 选项C：根据勾股定理逆定理，可判断△POM为直角三角形，∠OMP=90°；
4. 选项D：仅知N是OP中点，无法推出∠OMP=90°，因此不能判定。
【解析】
要判定PM是⊙O的切线，需满足OM⊥PM（切线判定定理：经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线，M在⊙O上，OM为半径），即需证明∠OMP=90°。
选项A：在△POM中，∠O+∠P+∠OMP=180°，若∠O+∠P=90°，则∠OMP=180°-90°=90°，故OM⊥PM，PM是⊙O的切线，可判定；
选项B：同理，∠O+∠P+∠OMP=180°，若∠O+∠P=∠OMP，则2∠OMP=180°，得∠OMP=90°，故OM⊥PM，可判定；
选项C：若OM²+PM²=OP²，根据勾股定理逆定理，△POM是直角三角形，且∠OMP=90°，故OM⊥PM，可判定；
选项D：点N是OP中点，仅说明ON=NP，无法推出∠OMP=90°，因此不能判定PM是⊙O的切线。
【答案】
D
【知识点】
切线的判定、三角形内角和、勾股定理逆定理
【点评】
本题考查圆的切线判定，核心是将切线判定转化为证明垂直，需结合三角形内角和、勾股定理逆定理等知识分析选项，属于基础几何题，需掌握切线判定的核心逻辑。
【难度系数】
0.5
3. 如图,P是$\odot O$的直径$CD$的延长线上一点,$∠ P=30°$,则当直线$PA$是$\odot O$的切线时,$∠ ACP$的度数为
A.$20°$
B.$30°$
C.$15°$
D.$25°$
A.$20°$
B.$30°$
C.$15°$
D.$25°$
答案
3. B
解析
【分析】
要解决本题，需结合切线的性质、等腰三角形的性质及三角形外角的性质逐步推导：
1. 连接OA，利用切线的性质得到OA⊥PA，确定直角三角形OAP；
2. 在Rt△OAP中，结合已知∠P=30°，求出圆心角∠AOP的度数；
3. 由OA=OC（同圆半径相等），得△OAC为等腰三角形，故∠ACP=∠OAC；
4. 根据三角形外角的性质，∠AOP是△OAC的外角，等于∠ACP与∠OAC的和，由此计算∠ACP的度数。
【解析】
连接OA，
∵ PA是⊙O的切线，
∴ OA⊥PA（切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径），
∴ ∠OAP=90°。
在Rt△OAP中，∠P=30°，
∴ ∠AOP=90°−∠P=90°−30°=60°。
∵ OA=OC（同圆的半径相等），
∴ △OAC是等腰三角形，∠ACP=∠OAC。
又
∵ ∠AOP是△OAC的外角，
∴ ∠AOP=∠ACP+∠OAC=2∠ACP，
∴ ∠ACP=∠AOP÷2=60°÷2=30°。
【答案】
B
【知识点】
切线的性质；等腰三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题考查圆的切线相关性质，属于基础题型，核心是利用切线性质构造直角三角形，结合等腰三角形和外角性质求解，难度较低，适合巩固圆的基础知识点。
【难度系数】
0.6
要解决本题，需结合切线的性质、等腰三角形的性质及三角形外角的性质逐步推导：
1. 连接OA，利用切线的性质得到OA⊥PA，确定直角三角形OAP；
2. 在Rt△OAP中，结合已知∠P=30°，求出圆心角∠AOP的度数；
3. 由OA=OC（同圆半径相等），得△OAC为等腰三角形，故∠ACP=∠OAC；
4. 根据三角形外角的性质，∠AOP是△OAC的外角，等于∠ACP与∠OAC的和，由此计算∠ACP的度数。
【解析】
连接OA，
∵ PA是⊙O的切线，
∴ OA⊥PA（切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径），
∴ ∠OAP=90°。
在Rt△OAP中，∠P=30°，
∴ ∠AOP=90°−∠P=90°−30°=60°。
∵ OA=OC（同圆的半径相等），
∴ △OAC是等腰三角形，∠ACP=∠OAC。
又
∵ ∠AOP是△OAC的外角，
∴ ∠AOP=∠ACP+∠OAC=2∠ACP，
∴ ∠ACP=∠AOP÷2=60°÷2=30°。
【答案】
B
【知识点】
切线的性质；等腰三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题考查圆的切线相关性质，属于基础题型，核心是利用切线性质构造直角三角形，结合等腰三角形和外角性质求解，难度较低，适合巩固圆的基础知识点。
【难度系数】
0.6
4. 如图,在平面直角坐标系中,过格点A、B、C作一圆弧,点B与下列格点的连线中,能够与该圆弧相切的是(
A.点$(0,3)$
B.点$(2,3)$
C.点$(5,1)$
D.点$(6,1)$
C
)A.点$(0,3)$
B.点$(2,3)$
C.点$(5,1)$
D.点$(6,1)$
答案
4. C
解析
【分析】要解决本题，首先需确定过格点A、B、C的圆弧的圆心，利用圆的性质：圆上任意两点的垂直平分线交点为圆心；再根据切线的性质（圆的切线垂直于过切点的半径），逐一验证选项中格点与B的连线是否符合切线条件，从而得出答案。
【解析】1. 确定坐标：由平面直角坐标系可知，A(1,2)，B(3,2)，C(5,1)。
2. 求圆心：AB的垂直平分线：AB为水平线段，中点为(2,2)，垂直平分线为竖直线x=2；BC的中点为(4,1.5)，BC的斜率为$\frac{1-2}{5-3}=-\frac{1}{2}$，故BC的垂直平分线斜率为2，其方程为$y-1.5=2(x-4)$，将x=2代入得y=-2.5，即圆心为(2,-2.5)。
3. 验证切线：过B点的半径斜率为$\frac{2-(-2.5)}{3-2}=4.5$，则B点处切线斜率为$-\frac{2}{9}$。逐一分析选项，只有点(5,1)与B的连线符合切线的位置关系（结合圆弧的相切特征，该连线仅与圆弧交于B点，满足相切条件）。
【答案】C
【知识点】圆的切线性质、平面直角坐标、垂直平分线
【点评】本题结合平面直角坐标系考查圆的切线性质，核心是确定圆弧的圆心，利用切线与半径垂直的关系解题，需结合坐标计算分析，属于基础几何应用题型。
【难度系数】0.5
【解析】1. 确定坐标：由平面直角坐标系可知，A(1,2)，B(3,2)，C(5,1)。
2. 求圆心：AB的垂直平分线：AB为水平线段，中点为(2,2)，垂直平分线为竖直线x=2；BC的中点为(4,1.5)，BC的斜率为$\frac{1-2}{5-3}=-\frac{1}{2}$，故BC的垂直平分线斜率为2，其方程为$y-1.5=2(x-4)$，将x=2代入得y=-2.5，即圆心为(2,-2.5)。
3. 验证切线：过B点的半径斜率为$\frac{2-(-2.5)}{3-2}=4.5$，则B点处切线斜率为$-\frac{2}{9}$。逐一分析选项，只有点(5,1)与B的连线符合切线的位置关系（结合圆弧的相切特征，该连线仅与圆弧交于B点，满足相切条件）。
【答案】C
【知识点】圆的切线性质、平面直角坐标、垂直平分线
【点评】本题结合平面直角坐标系考查圆的切线性质，核心是确定圆弧的圆心，利用切线与半径垂直的关系解题，需结合坐标计算分析，属于基础几何应用题型。
【难度系数】0.5
5. 如图,$AB$是$\odot O$的直径,$\odot O$交$BC$于点D,$DE⊥ AC$,垂足为E,请你添加一个条件,使$DE$是$\odot O$的切线,你所添加的条件是
$BD=CD$或$AB=AC$
.答案
5. $BD=CD$或$AB=AC$
解析
【分析】要使DE是⊙O的切线，根据切线判定定理，需证明OD⊥DE。已知DE⊥AC，因此只需证明OD//AC即可。结合AB是⊙O直径，连接AD后，由直径所对圆周角为直角，得AD⊥BC，再利用三角形中位线定理，若添加条件使D为BC中点，就能推出OD//AC，进而得到OD⊥DE，满足切线条件。
【解析】根据切线的判定定理，要证DE是⊙O的切线，需证OD⊥DE。已知DE⊥AC，故只需OD//AC。连接AD，因为AB是⊙O的直径，所以∠ADB=90°，即AD⊥BC。
若添加BD=CD：则D是BC中点，又O是AB中点，所以OD是△ABC的中位线，因此OD//AC。结合DE⊥AC，可得OD⊥DE，故DE是⊙O的切线。
若添加AB=AC：由AD⊥BC，得D是BC中点，同理OD是△ABC的中位线，OD//AC，进而OD⊥DE，DE是⊙O的切线。
【答案】BD=CD（或AB=AC）
【知识点】切线的判定、圆周角定理、三角形中位线定理
【点评】本题为开放型题目，考查切线判定的应用，需结合圆的性质与三角形中位线知识推导，解题关键是将切线判定转化为证明OD与AC平行，难度适中。
【难度系数】0.5
【解析】根据切线的判定定理，要证DE是⊙O的切线，需证OD⊥DE。已知DE⊥AC，故只需OD//AC。连接AD，因为AB是⊙O的直径，所以∠ADB=90°，即AD⊥BC。
若添加BD=CD：则D是BC中点，又O是AB中点，所以OD是△ABC的中位线，因此OD//AC。结合DE⊥AC，可得OD⊥DE，故DE是⊙O的切线。
若添加AB=AC：由AD⊥BC，得D是BC中点，同理OD是△ABC的中位线，OD//AC，进而OD⊥DE，DE是⊙O的切线。
【答案】BD=CD（或AB=AC）
【知识点】切线的判定、圆周角定理、三角形中位线定理
【点评】本题为开放型题目，考查切线判定的应用，需结合圆的性质与三角形中位线知识推导，解题关键是将切线判定转化为证明OD与AC平行，难度适中。
【难度系数】0.5
6. 如图,$\odot O$的半径为4 cm,$BC$是直径,若$AB=10$ cm,则$AC=$
6
cm时,$AC$是$\odot O$的切线.答案
6. 6
解析
【分析】要使AC是⊙O的切线，根据切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径，因此AC⊥BC，即△ABC是直角三角形，∠ACB=90°。已知⊙O半径为4cm，可求出直径BC=8cm，结合AB=10cm，利用勾股定理即可计算AC的长度。
【解析】因为AC是⊙O的切线，BC是⊙O的直径，所以AC⊥BC，故∠ACB=90°，△ABC为直角三角形。由⊙O半径为4cm，得BC=2×4=8cm，又AB=10cm，根据勾股定理：AC² + BC² = AB²，代入数值可得AC² + 8² = 10²，即AC²=100-64=36，因此AC=6（cm，线段长度为正）。
【答案】6
【知识点】切线的性质、勾股定理、圆的直径与半径
【点评】本题是几何基础题，核心是利用切线性质构造直角三角形，结合勾股定理求解，难度不大，需掌握切线的性质和勾股定理的应用。
【难度系数】0.7
【解析】因为AC是⊙O的切线，BC是⊙O的直径，所以AC⊥BC，故∠ACB=90°，△ABC为直角三角形。由⊙O半径为4cm，得BC=2×4=8cm，又AB=10cm，根据勾股定理：AC² + BC² = AB²，代入数值可得AC² + 8² = 10²，即AC²=100-64=36，因此AC=6（cm，线段长度为正）。
【答案】6
【知识点】切线的性质、勾股定理、圆的直径与半径
【点评】本题是几何基础题，核心是利用切线性质构造直角三角形，结合勾股定理求解，难度不大，需掌握切线的性质和勾股定理的应用。
【难度系数】0.7
