12. [教材改编]如图,$∠ AOB=30^{\circ },OP=8$,若$\odot P$与射线OA只有一个交点,则$\odot P$的半径r的取值范围是.

12. $r=4$或$r＞8$

【分析】
要解决⊙P与射线OA只有一个交点的问题，需结合直线与圆的位置关系，同时注意是射线OA而非直线OA，分两种情况讨论：一是⊙P与射线OA相切，此时只有一个交点；二是⊙P半径足够大时，射线OA上仅存在一个交点。首先过P作OA的垂线，利用直角三角形性质求出相切时的半径，再分析半径大于OP时的情况。
【解析】
过点P作PC⊥OA于点C，在Rt△OPC中，∠AOB=30°，OP=8，根据直角三角形中30°角对的直角边为斜边的一半，得PC=OP·sin30°=8×$\frac{1}{2}$=4。
1. 当⊙P与射线OA相切时，半径r=PC=4，此时⊙P与射线OA只有1个交点；
2. 当⊙P的半径r＞OP=8时，O点在⊙P内部，射线OA与⊙P的交点仅在射线OA的正方向上，故此时⊙P与射线OA也只有1个交点；
当4＜r＜8时，⊙P与射线OA有2个交点；当r＜4时，⊙P与射线OA无交点。
综上，⊙P的半径r的取值范围是r=4或r＞8。
【答案】
r=4或r＞8
【知识点】
直线与圆的位置关系，直角三角形性质
【点评】
本题需注意区分直线与射线的差异，不能直接按直线与圆的位置关系判断，需结合射线方向分析交点个数，是基础几何位置关系的应用题。
【难度系数】
0.5

13. 已知$\odot O$的半径为6,圆心O到直线l的距离为d,若$\odot O$与直线l有公共点,则d的取值范围是.

13. $0≤ d≤ 6$

【分析】首先明确圆与直线的位置关系和圆心到直线距离$d$、圆半径$r$的对应规则：当$d＞r$时，直线与圆相离，无公共点；当$d=r$时，直线与圆相切，有1个公共点；当$d＜r$时，直线与圆相交，有2个公共点。题目要求圆与直线有公共点，即包含相切、相交两种情况，同时距离$d$为非负数，结合已知半径$r=6$，即可推导$d$的取值范围。
【解析】已知$\odot O$的半径$r=6$，圆心$O$到直线$l$的距离为$d$。因为$\odot O$与直线$l$有公共点，所以直线与圆相切或相交：相切时$d=r=6$，相交时$d＜r=6$，且距离$d≥0$，因此$d$的取值范围是$0≤ d≤6$。
【答案】$0≤ d≤ 6$
【知识点】直线与圆的位置关系
【点评】本题考查直线与圆位置关系的基础应用，核心是掌握不同位置关系对应的$d$与半径的数量关系，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】0.8

14. 以点$P(1,2)$为圆心,r为半径画圆,与坐标轴恰好有三个公共点,则r的值为.

14. 2或$\sqrt{5}$

【分析】要解决这个问题，需先明确圆心到坐标轴的距离，再结合圆与坐标轴的交点规律分情况讨论：圆与坐标轴恰好有三个公共点，存在两种几何情况：一是圆与一条坐标轴相切，与另一条坐标轴相交；二是圆经过原点（此时与两轴各两个交点，原点为公共交点）。接下来分别计算两种情况对应的半径r。
【解析】
1. 确定圆心到坐标轴的距离：圆心P(1,2)到x轴的距离为2，到y轴的距离为1。
2. 情况一：圆与x轴相切，此时半径等于圆心到x轴的距离，即r=2。此时圆心到y轴的距离1＜2，圆与y轴有2个交点，总公共点为1+2=3，符合条件。
3. 情况二：圆经过原点，此时半径等于圆心到原点的距离，由两点间距离公式得r=√[(1-0)²+(2-0)²]=√5。此时圆与x轴交于(0,0)、(2,0)，与y轴交于(0,0)、(0,4)，总公共点为3个，符合条件。
综上，r的值为2或√5。
【答案】2或$\sqrt{5}$
【知识点】圆与坐标轴的位置关系，两点间距离公式
【点评】本题考查圆与坐标轴的交点问题，核心是分情况讨论圆与坐标轴的位置关系，需准确理解“恰好三个公共点”对应的两种几何场景，避免漏解。
【难度系数】0.5

15. 已知$\odot O$的半径是一元二次方程$x^{2}-2x-3=0$的一个根,圆心O到直线l的距离$d=4$,则直线l与$\odot O$的位置关系是()
A. 相交
B. 相切
C. 相离
D. 平行

15. C

【分析】
要判断直线与圆的位置关系，需先求出圆的半径：先解一元二次方程得到半径的可能值，结合半径为正数确定实际半径；再根据“半径r与圆心到直线距离d的大小关系”判定位置关系：r＜d时相离，r=d时相切，r＞d时相交。
【解析】
1. 解一元二次方程 $x^2 - 2x - 3 = 0$，因式分解得 $(x-3)(x+1)=0$，解得 $x_1=3$，$x_2=-1$。
2. 圆的半径为正数，故⊙O的半径 $r=3$。
3. 已知圆心O到直线l的距离 $d=4$，比较得 $r=3 ＜ d=4$，根据直线与圆的位置关系判定规则，此时直线l与⊙O相离。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的解，直线与圆的位置关系
【点评】
本题为基础题型，核心是先正确求解方程并舍去负根，再牢记直线与圆位置关系的判定条件，整体难度较低。
【难度系数】
0.7

16. 如图,在平面直角坐标系中,以点$A(2,0)$为圆心作圆,使圆经过点$B(0,-4)$,试判断点$C(0,4),D(-2,0),E(0,8)$与$\odot A$的位置关系.若点$M(0,m)$在$\odot A$外,求m的取值范围.

16. 点C在$\odot O$上,点D在$\odot O$内,点E在$\odot O$外,$m＜-4$或$m＞4$

【分析】要判断点与圆的位置关系，需计算点到圆心的距离，将其与圆的半径比较：距离大于半径时点在圆外，等于半径时点在圆上，小于半径时点在圆内。首先根据A、B两点坐标求出⊙A的半径，再分别计算点C、D、E到圆心A的距离，与半径比较得出位置关系；对于点M，根据其在圆外的条件列出不等式，求解m的范围。
【解析】
1. 求⊙A的半径：已知圆心$ A(2,0) $，圆经过点$ B(0,-4) $，根据两点间距离公式，半径$ r = AB = \sqrt{(2-0)^2 + (0 - (-4))^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} $。
2. 判断点C、D、E与⊙A的位置关系：
点$ C(0,4) $到A的距离：$ AC = \sqrt{(2-0)^2 + (0 - 4)^2} = \sqrt{4 + 16} = 2\sqrt{5} = r $，故点C在⊙A上；
点$ D(-2,0) $到A的距离：$ AD = |2 - (-2)| = 4 $，因为$ 4 ＜ 2\sqrt{5} $，故点D在⊙A内；
点$ E(0,8) $到A的距离：$ AE = \sqrt{(2-0)^2 + (0 - 8)^2} = \sqrt{4 + 64} = \sqrt{68} \approx 8.25 ＞ 2\sqrt{5} $，故点E在⊙A外；
3. 求m的取值范围：点$ M(0,m) $在⊙A外，则$ MA ＞ r $，其中$ MA = \sqrt{(2-0)^2 + (0 - m)^2} = \sqrt{4 + m^2} $，因此：
$ \sqrt{4 + m^2} ＞ 2\sqrt{5} $，两边平方得$ 4 + m^2 ＞ 20 $，即$ m^2 ＞ 16 $，解得$ m ＞ 4 $或$ m ＜ -4 $。
【答案】点C在⊙A上，点D在⊙A内，点E在⊙A外，$ m＜-4 $或$ m＞4 $
【知识点】点与圆的位置关系，两点间距离公式
【点评】本题考查点与圆的位置关系的判断，核心是利用“点到圆心的距离与半径的大小关系”这一判定方法，结合两点间距离公式计算，属于基础题型，难度不大。
【难度系数】0.6

17. 如图,$\odot O$的半径为5 cm,点O到直线l的距离OP为7 cm.
(1) 怎样平移直线l,才能使l与$\odot O$相切?
(2) 要使直线l与$\odot O$相交,设把直线l向上平移x cm,求x的取值范围.

17. (1)将直线l向上平移2 cm或12 cm,才能使l与$\odot O$相切. (2) $2＜x＜12$.

【分析】
要解决本题，需依据直线与圆的位置关系判定规则：设圆的半径为$r$，圆心到直线的距离为$d$，当$d=r$时直线与圆相切，当$d＜r$时直线与圆相交。已知$\odot O$半径$r=5\mathrm{cm}$，原圆心$O$到直线$l$的距离$OP=7\mathrm{cm}$，平移直线$l$时，圆心到直线的距离会随平移距离变化，据此建立方程或不等式求解。
【解析】
(1) 设将直线$l$向上平移$x\mathrm{cm}$后，直线$l$与$\odot O$相切，此时圆心$O$到直线$l$的距离为$|7 - x|\mathrm{cm}$。
根据相切条件：距离等于半径，得$|7 - x|=5$。
解方程：
当$7 - x=5$时，$x=2$；
当$7 - x=-5$时，$x=12$。
因此，将直线$l$向上平移$2\mathrm{cm}$或$12\mathrm{cm}$时，$l$与$\odot O$相切。
(2) 直线$l$向上平移$x\mathrm{cm}$后与$\odot O$相交，此时圆心到直线的距离需小于半径，即$|7 - x| ＜5$。
解不等式：
$\begin{cases}7 - x ＞ -5 \\7 - x ＜ 5\end{cases}$
解得：$2 ＜ x ＜12$。
【答案】
(1) 将直线$l$向上平移$2\mathrm{cm}$或$12\mathrm{cm}$；(2) $2＜x＜12$
【知识点】
直线与圆的位置关系、平移的性质
【点评】
本题考查直线与圆位置关系的实际应用，核心是利用相切、相交的距离条件建立方程或不等式，需注意平移后距离的绝对值处理，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.5

18. 如图1,在矩形ABCD中,$AB=3\ \mathrm{cm}$,$BC=4\ \mathrm{cm}$,点P以1.5 cm/s的速度从点A向点B运动,点Q以2 cm/s的速度从点C向点B运动.点P、Q同时出发,运动时间为$t\ \mathrm{s}(0＜ t＜2)$,$\odot M$是$△ PQB$的外接圆.
(1) 当$t=1$时,$\odot M$的半径是cm,$\odot M$与直线CD的位置关系是.

(2) 在点P从点A向点B运动的过程中,
①圆心M的运动路径长是cm;
②当$\odot M$与直线AD相切时,求t的值.
(3) 如图2,连接PD,交$\odot M$于点N,当$∠ APD=∠ NBQ$时,求t的值.

18. (1) $\frac{5}{4}$ 相离 (2) ①$\frac{5}{2}$ ②$\frac{1}{2}$ (3) $\frac{4}{3}$

【分析】
本题是矩形与圆结合的动点问题，需利用直角三角形外接圆性质、坐标法、直线与圆的位置关系、圆周角定理等解题。
(1) 当t=1时，先计算PB、QB长度，利用直角三角形外接圆直径为斜边求半径；再通过坐标法求圆心到直线CD的距离，与半径比较判断位置关系。
(2) ① 设圆心坐标，消参得轨迹直线，计算轨迹两端点距离得路径长；② 利用切线时圆心到直线AD的距离等于半径，列方程求解t，舍去超出范围的解。
(3) 利用圆周角定理得QN⊥PD，求出N点坐标，结合角度相等转化为正切值相等，列方程求解t，舍去不合理解。
【解析】
设矩形ABCD坐标：A(0,0)，B(3,0)，C(3,4)，D(0,4)，则P(1.5t,0)，Q(3,4-2t)。
(1) 当t=1时，PB=3-1.5×1=1.5，QB=4-2×1=2，△PQB为直角三角形，外接圆直径PQ=√(1.5²+2²)=2.5，故半径=2.5/2=5/4；圆心M为PQ中点，坐标((1.5×1+3)/2, (0+4-2×1)/2)=(2.25,1)，到CD（y=4）的距离=4-1=3＞5/4，故⊙M与CD相离。
(2) ① M坐标为((1.5t+3)/2, 2-t)，消参得轨迹直线x=-0.75y+3，t=0时M(1.5,2)，t=2时M(3,0)，路径长=√[(3-1.5)²+(0-2)²]=2.5=5/2；
② ⊙M与AD（x=0）相切时，圆心到AD的距离等于半径，即$\frac{1.5t+3}{2}=\frac{1}{2}\sqrt{(3-1.5t)^2+(4-2t)^2}$，化简得2t²-17t+8=0，解得t=1/2或t=8，0＜t＜2，故t=1/2。
(3) PQ为直径，故∠PNQ=90°，即QN⊥PD，PD方程为$y=-\frac{8}{3t}x+4$，QN斜率为$\frac{3t}{8}$，方程为$y-(4-2t)=\frac{3t}{8}(x-3)$，联立得N点坐标；由∠APD=∠NBQ，转化为正切值相等，列方程化简得9t³+18t²-136t+128=0，分解得(3t-4)(3t²+10t-32)=0，解得t=4/3（t=2舍去，负根舍去），故t=4/3。
【答案】
(1) $\frac{5}{4}$，相离；(2) ①$\frac{5}{2}$；②$\frac{1}{2}$；(3) $\frac{4}{3}$
【知识点】
矩形性质、直角三角形外接圆、直线与圆位置关系
【点评】
本题综合考查矩形、圆的性质及动点问题，需熟练运用坐标法与几何定理转化条件，计算量适中，需注意解的范围取舍。
【难度系数】
0.5