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9. 若分式$\dfrac{x^2 - 1}{x + 1}$的值等于0，则$x$的值为（
A.0
B.$\pm1$
C.1
D.$-1$
C
）.A.0
B.$\pm1$
C.1
D.$-1$
答案
9. C
解析
【分析】
要解决分式值为0的问题，需牢记两个核心条件：首先分式的分子必须等于0，其次分式的分母不能为0（分母为0时分式无意义，不满足求值前提）。解题时先通过分子为0求出x的所有可能取值，再代入分母验证，排除使分母为0的取值，剩下的就是正确结果。
【解析】
若分式$\dfrac{x^2 - 1}{x + 1}$的值为0，需同时满足两个条件：
1. 分子等于0：$x^2 - 1 = 0$，
解方程得$x^2=1$，即$x=1$或$x=-1$；
2. 分母不等于0：$x + 1 ≠ 0$，
解得$x ≠ -1$。
结合两个条件，排除$x=-1$，因此$x$的值为1。
【答案】
C
【知识点】
1. 分式值为零的条件
2. 分式有意义的条件
【点评】
本题是分式章节的基础常考题，易错点是忽略分母不为0的前提，仅根据分子为0得出$x=\pm1$的错误结论，求解分式相关问题时要始终先考虑分式有意义的限制条件。
【难度系数】
0.7
要解决分式值为0的问题，需牢记两个核心条件：首先分式的分子必须等于0，其次分式的分母不能为0（分母为0时分式无意义，不满足求值前提）。解题时先通过分子为0求出x的所有可能取值，再代入分母验证，排除使分母为0的取值，剩下的就是正确结果。
【解析】
若分式$\dfrac{x^2 - 1}{x + 1}$的值为0，需同时满足两个条件：
1. 分子等于0：$x^2 - 1 = 0$，
解方程得$x^2=1$，即$x=1$或$x=-1$；
2. 分母不等于0：$x + 1 ≠ 0$，
解得$x ≠ -1$。
结合两个条件，排除$x=-1$，因此$x$的值为1。
【答案】
C
【知识点】
1. 分式值为零的条件
2. 分式有意义的条件
【点评】
本题是分式章节的基础常考题，易错点是忽略分母不为0的前提，仅根据分子为0得出$x=\pm1$的错误结论，求解分式相关问题时要始终先考虑分式有意义的限制条件。
【难度系数】
0.7
10. 一份工作，甲单独做需要 $ a $ 天完成，乙单独做需要 $ b $ 天完成. 甲、乙两人一起做需要的工作天数是（
A.$ a + b $
B.$ \dfrac{1}{a + b} $
C.$ \dfrac{a + b}{2} $
D.$ \dfrac{ab}{a + b} $
D
）.A.$ a + b $
B.$ \dfrac{1}{a + b} $
C.$ \dfrac{a + b}{2} $
D.$ \dfrac{ab}{a + b} $
答案
10. D
解析
【分析】
这是典型的工程问题，解题思路如下：第一步，工程问题通常把总工作量看作单位“1”，根据“工作效率=总工作量÷单独完成的工作时间”，分别求出甲、乙的工作效率；第二步，两人合作的工作效率为两人各自工作效率之和；第三步，再根据“工作时间=总工作量÷工作效率”，代入数据计算即可得到合作需要的天数。
【解析】
设这份工作的总工作量为单位“1”。
甲单独做需要a天完成，则甲的工作效率为：$\frac{1}{a}$
乙单独做需要b天完成，则乙的工作效率为：$\frac{1}{b}$
甲、乙合作的工作效率为：$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{b+a}{ab}$
根据“工作时间=总工作量÷工作效率”，可得两人合作需要的天数为：
$1÷\frac{a+b}{ab}=\frac{ab}{a+b}$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
工程问题；分式运算；列代数式
【点评】
本题是工程类问题的常规题型，核心是掌握工作总量、工作效率、工作时间三者的数量关系，将总工作量看作单位“1”是工程问题的常用解题技巧，同时需要熟练掌握分式的通分和除法运算规则。
【难度系数】
0.7
这是典型的工程问题，解题思路如下：第一步，工程问题通常把总工作量看作单位“1”，根据“工作效率=总工作量÷单独完成的工作时间”，分别求出甲、乙的工作效率；第二步，两人合作的工作效率为两人各自工作效率之和；第三步，再根据“工作时间=总工作量÷工作效率”，代入数据计算即可得到合作需要的天数。
【解析】
设这份工作的总工作量为单位“1”。
甲单独做需要a天完成，则甲的工作效率为：$\frac{1}{a}$
乙单独做需要b天完成，则乙的工作效率为：$\frac{1}{b}$
甲、乙合作的工作效率为：$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{b+a}{ab}$
根据“工作时间=总工作量÷工作效率”，可得两人合作需要的天数为：
$1÷\frac{a+b}{ab}=\frac{ab}{a+b}$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
工程问题；分式运算；列代数式
【点评】
本题是工程类问题的常规题型，核心是掌握工作总量、工作效率、工作时间三者的数量关系，将总工作量看作单位“1”是工程问题的常用解题技巧，同时需要熟练掌握分式的通分和除法运算规则。
【难度系数】
0.7
三、解答题
11. 约分：
(1) $\dfrac{x^2 + 6x + 9}{x^2 - 9}$；
(2) $\dfrac{m^2 - 3m + 2}{m^2 - m}$。
11. 约分：
(1) $\dfrac{x^2 + 6x + 9}{x^2 - 9}$；
(2) $\dfrac{m^2 - 3m + 2}{m^2 - m}$。
答案
11. (1) $\dfrac{x + 3}{x - 3}$ (2) $\dfrac{m - 2}{m}$
解析
【分析】
约分的核心步骤是先将分式的分子、分母分别因式分解，再约去二者的公因式，最终得到最简分式。第(1)题中，分子是完全平方式，分母是平方差形式，分别用对应公式因式分解后找到公因式约分即可；第(2)题中，分子是二次三项式可用十字相乘法分解，分母可提取公因式分解，再约去公因式就能得到结果。
【解析】
(1) 先对分子、分母分别因式分解：
分子$x^2 + 6x + 9 = (x+3)^2$，
分母$x^2 - 9 = (x+3)(x-3)$，
因此原式$=\dfrac{(x+3)^2}{(x+3)(x-3)}$（$x≠\pm3$），约去公因式$x+3$，可得结果为$\dfrac{x+3}{x-3}$。
(2) 先对分子、分母分别因式分解：
分子$m^2 - 3m + 2$用十字相乘法分解得$(m-1)(m-2)$，
分母$m^2 - m = m(m-1)$，
因此原式$=\dfrac{(m-1)(m-2)}{m(m-1)}$（$m≠0$且$m≠1$），约去公因式$m-1$，可得结果为$\dfrac{m-2}{m}$。
【答案】
(1) $\dfrac{x + 3}{x - 3}$ (2) $\dfrac{m - 2}{m}$
【知识点】
因式分解，分式的基本性质，分式约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，解题关键是熟练掌握常见的因式分解方法，约分后要确保结果为最简分式，同时注意约分的前提是分式有意义，约去的公因式不能为0。
【难度系数】
0.8
约分的核心步骤是先将分式的分子、分母分别因式分解，再约去二者的公因式，最终得到最简分式。第(1)题中，分子是完全平方式，分母是平方差形式，分别用对应公式因式分解后找到公因式约分即可；第(2)题中，分子是二次三项式可用十字相乘法分解，分母可提取公因式分解，再约去公因式就能得到结果。
【解析】
(1) 先对分子、分母分别因式分解：
分子$x^2 + 6x + 9 = (x+3)^2$，
分母$x^2 - 9 = (x+3)(x-3)$，
因此原式$=\dfrac{(x+3)^2}{(x+3)(x-3)}$（$x≠\pm3$），约去公因式$x+3$，可得结果为$\dfrac{x+3}{x-3}$。
(2) 先对分子、分母分别因式分解：
分子$m^2 - 3m + 2$用十字相乘法分解得$(m-1)(m-2)$，
分母$m^2 - m = m(m-1)$，
因此原式$=\dfrac{(m-1)(m-2)}{m(m-1)}$（$m≠0$且$m≠1$），约去公因式$m-1$，可得结果为$\dfrac{m-2}{m}$。
【答案】
(1) $\dfrac{x + 3}{x - 3}$ (2) $\dfrac{m - 2}{m}$
【知识点】
因式分解，分式的基本性质，分式约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，解题关键是熟练掌握常见的因式分解方法，约分后要确保结果为最简分式，同时注意约分的前提是分式有意义，约去的公因式不能为0。
【难度系数】
0.8
12. 通分：
(1) $\frac{x}{6ab^2}$ 和 $\frac{y}{9a^2bc}$；
(2) $\frac{a - 1}{a^2 + 2a + 1}$ 和 $\frac{6}{a^2 - 1}$.
(1) $\frac{x}{6ab^2}$ 和 $\frac{y}{9a^2bc}$；
(2) $\frac{a - 1}{a^2 + 2a + 1}$ 和 $\frac{6}{a^2 - 1}$.
答案
12. (1) $\dfrac{3acx}{18a^2b^2c}$ 和 $\dfrac{2by}{18a^2b^2c}$ (2) $\dfrac{(a - 1)^2}{(a + 1)^2(a - 1)}$ 和 $\dfrac{6(a + 1)}{(a + 1)^2(a - 1)}$
解析
【分析】
通分的核心是先确定各分式的最简公分母，再利用分式的基本性质，将每个分式的分子、分母同乘适当的整式，使分母统一为最简公分母。
(1)两个分式的分母都是单项式，找最简公分母时：系数取6和9的最小公倍数18，相同字母取最高次幂（a最高为2次，b最高为2次），单独出现的字母c连同指数保留，可得最简公分母为$18a^2b^2c$，再给两个分式的分子分母分别乘各自缺少的因式即可。
(2)两个分式的分母是多项式，第一步先因式分解分母：第一个分母$a^2+2a+1$是完全平方式，可分解为$(a+1)^2$；第二个分母$a^2-1$是平方差形式，可分解为$(a+1)(a-1)$。再取各因式的最高次幂，可得最简公分母为$(a+1)^2(a-1)$，再同理变形两个分式即可。
【解析】
(1) 先确定最简公分母为$18a^2b^2c$：
$\dfrac{x}{6ab^2} = \dfrac{x · 3ac}{6ab^2 · 3ac} = \dfrac{3acx}{18a^2b^2c}$
$\dfrac{y}{9a^2bc} = \dfrac{y · 2b}{9a^2bc · 2b} = \dfrac{2by}{18a^2b^2c}$
(2) 先因式分解分母：$a^2+2a+1=(a+1)^2$，$a^2-1=(a+1)(a-1)$，确定最简公分母为$(a+1)^2(a-1)$：
$\dfrac{a-1}{a^2+2a+1} = \dfrac{(a-1) · (a-1)}{(a+1)^2 · (a-1)} = \dfrac{(a-1)^2}{(a+1)^2(a-1)}$
$\dfrac{6}{a^2-1} = \dfrac{6 · (a+1)}{(a+1)(a-1) · (a+1)} = \dfrac{6(a+1)}{(a+1)^2(a-1)}$
【答案】
(1) $\dfrac{3acx}{18a^2b^2c}$ 和 $\dfrac{2by}{18a^2b^2c}$；(2) $\dfrac{(a - 1)^2}{(a + 1)^2(a - 1)}$ 和 $\dfrac{6(a + 1)}{(a + 1)^2(a - 1)}$
【知识点】
分式通分、最简公分母确定、因式分解
【点评】
本题考查分式通分的基本方法，解题的关键是准确求出最简公分母：单项式分母要兼顾系数的最小公倍数和字母的最高次幂，多项式分母需先因式分解再确定公分母，变形时要注意分子同步乘对应的因式，避免漏乘出错。
【难度系数】
0.7
通分的核心是先确定各分式的最简公分母，再利用分式的基本性质，将每个分式的分子、分母同乘适当的整式，使分母统一为最简公分母。
(1)两个分式的分母都是单项式，找最简公分母时：系数取6和9的最小公倍数18，相同字母取最高次幂（a最高为2次，b最高为2次），单独出现的字母c连同指数保留，可得最简公分母为$18a^2b^2c$，再给两个分式的分子分母分别乘各自缺少的因式即可。
(2)两个分式的分母是多项式，第一步先因式分解分母：第一个分母$a^2+2a+1$是完全平方式，可分解为$(a+1)^2$；第二个分母$a^2-1$是平方差形式，可分解为$(a+1)(a-1)$。再取各因式的最高次幂，可得最简公分母为$(a+1)^2(a-1)$，再同理变形两个分式即可。
【解析】
(1) 先确定最简公分母为$18a^2b^2c$：
$\dfrac{x}{6ab^2} = \dfrac{x · 3ac}{6ab^2 · 3ac} = \dfrac{3acx}{18a^2b^2c}$
$\dfrac{y}{9a^2bc} = \dfrac{y · 2b}{9a^2bc · 2b} = \dfrac{2by}{18a^2b^2c}$
(2) 先因式分解分母：$a^2+2a+1=(a+1)^2$，$a^2-1=(a+1)(a-1)$，确定最简公分母为$(a+1)^2(a-1)$：
$\dfrac{a-1}{a^2+2a+1} = \dfrac{(a-1) · (a-1)}{(a+1)^2 · (a-1)} = \dfrac{(a-1)^2}{(a+1)^2(a-1)}$
$\dfrac{6}{a^2-1} = \dfrac{6 · (a+1)}{(a+1)(a-1) · (a+1)} = \dfrac{6(a+1)}{(a+1)^2(a-1)}$
【答案】
(1) $\dfrac{3acx}{18a^2b^2c}$ 和 $\dfrac{2by}{18a^2b^2c}$；(2) $\dfrac{(a - 1)^2}{(a + 1)^2(a - 1)}$ 和 $\dfrac{6(a + 1)}{(a + 1)^2(a - 1)}$
【知识点】
分式通分、最简公分母确定、因式分解
【点评】
本题考查分式通分的基本方法，解题的关键是准确求出最简公分母：单项式分母要兼顾系数的最小公倍数和字母的最高次幂，多项式分母需先因式分解再确定公分母，变形时要注意分子同步乘对应的因式，避免漏乘出错。
【难度系数】
0.7
