登录
13. 从下列三个代数式中任选两个构成一个分式，并化简该分式：
$x^2 - 6xy + 9y^2$，$x^2 - 9y^2$，$x - 3y$。
$x^2 - 6xy + 9y^2$，$x^2 - 9y^2$，$x - 3y$。
答案
13. 答案不唯一，例如$\dfrac{x^2 - 9y^2}{x^2 - 6xy + 9y^2}=\dfrac{x + 3y}{x - 3y}$，$\dfrac{x - 3y}{x^2 - 9y^2}=\dfrac{1}{x + 3y}$等
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确分式的定义：两个整式相除，且分母中含有字母的式子叫做分式。解题可以分三步进行：第一步，从三个代数式中任选两个，将一个作为分子、另一个作为分母，构成符合定义的分式；第二步，利用学过的完全平方公式、平方差公式对分子、分母中的多项式进行因式分解；第三步，约去分子分母的公因式完成化简，注意要保证分母不为0即可，本题答案不唯一，选择任意合理组合都可以。
【解析】
举两个常见的组合示例：
示例1：选$x^2 - 9y^2$为分子，$x^2 - 6xy + 9y^2$为分母，构成分式$\dfrac{x^2 - 9y^2}{x^2 - 6xy + 9y^2}$。
分别对分子分母因式分解：
分子：$x^2 - 9y^2 = (x+3y)(x-3y)$，
分母：$x^2 - 6xy + 9y^2 = (x-3y)^2$，
约去公因式$(x-3y)$（$x≠3y$，保证分母不为0），得：
$\dfrac{(x+3y)(x-3y)}{(x-3y)^2}=\dfrac{x+3y}{x-3y}$。
示例2：选$x-3y$为分子，$x^2 - 9y^2$为分母，构成分式$\dfrac{x - 3y}{x^2 - 9y^2}$。
对分母因式分解：$x^2 - 9y^2=(x+3y)(x-3y)$，
约去公因式$(x-3y)$（$x≠\pm3y$，保证分母不为0），得：
$\dfrac{x - 3y}{(x+3y)(x-3y)}=\dfrac{1}{x+3y}$。
其余合理组合也可。
【答案】
答案不唯一，例如$\dfrac{x^2 - 9y^2}{x^2 - 6xy + 9y^2}=\dfrac{x + 3y}{x - 3y}$，$\dfrac{x - 3y}{x^2 - 9y^2}=\dfrac{1}{x + 3y}$等
【知识点】
分式的定义，因式分解，分式的约分
【点评】
本题属于开放性试题，既考查对分式概念的理解，也考查因式分解、分式化简的基础运算能力，解题时要注意约分的前提是分母不为0，不要遗漏隐含的限制条件。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先要明确分式的定义：两个整式相除，且分母中含有字母的式子叫做分式。解题可以分三步进行：第一步，从三个代数式中任选两个，将一个作为分子、另一个作为分母，构成符合定义的分式；第二步，利用学过的完全平方公式、平方差公式对分子、分母中的多项式进行因式分解；第三步，约去分子分母的公因式完成化简，注意要保证分母不为0即可，本题答案不唯一，选择任意合理组合都可以。
【解析】
举两个常见的组合示例：
示例1：选$x^2 - 9y^2$为分子，$x^2 - 6xy + 9y^2$为分母，构成分式$\dfrac{x^2 - 9y^2}{x^2 - 6xy + 9y^2}$。
分别对分子分母因式分解：
分子：$x^2 - 9y^2 = (x+3y)(x-3y)$，
分母：$x^2 - 6xy + 9y^2 = (x-3y)^2$，
约去公因式$(x-3y)$（$x≠3y$，保证分母不为0），得：
$\dfrac{(x+3y)(x-3y)}{(x-3y)^2}=\dfrac{x+3y}{x-3y}$。
示例2：选$x-3y$为分子，$x^2 - 9y^2$为分母，构成分式$\dfrac{x - 3y}{x^2 - 9y^2}$。
对分母因式分解：$x^2 - 9y^2=(x+3y)(x-3y)$，
约去公因式$(x-3y)$（$x≠\pm3y$，保证分母不为0），得：
$\dfrac{x - 3y}{(x+3y)(x-3y)}=\dfrac{1}{x+3y}$。
其余合理组合也可。
【答案】
答案不唯一，例如$\dfrac{x^2 - 9y^2}{x^2 - 6xy + 9y^2}=\dfrac{x + 3y}{x - 3y}$，$\dfrac{x - 3y}{x^2 - 9y^2}=\dfrac{1}{x + 3y}$等
【知识点】
分式的定义，因式分解，分式的约分
【点评】
本题属于开放性试题，既考查对分式概念的理解，也考查因式分解、分式化简的基础运算能力，解题时要注意约分的前提是分母不为0，不要遗漏隐含的限制条件。
【难度系数】
0.8
14. 我们知道，当$a$是$c$的因数时，$\frac{c}{a}$（$a$，$c$为整数）的值是整数. 例如，当$a=\pm1$或$\pm2$时，$\frac{2}{a}$的值是整数；又如，因为$\frac{3m + 5}{m}=3+\frac{5}{m}$，所以当$m=\pm1$或$\pm5$时，$\frac{3m + 5}{m}$的值是整数. 如果分式$\frac{a + 8}{a + 3}$的值是整数，那么$a$的整数值可以是多少？
答案
14. $\dfrac{a + 8}{a + 3}=1+\dfrac{5}{a + 3}$，所以$a + 3=\pm1$或$\pm5$，解得$a=-2$或$-4$或$2$或$-8$
解析
【分析】
要解决分式$\frac{a+8}{a+3}$的值为整数时$a$的整数值问题，我们可以参考题目给出的示例方法：先将分式拆分成“整数 + 分子为常数的分式”的形式，再根据“分式值为整数”的条件，转化为常数分式的分母是分子的整数因数即可。第一步先变形分式：把分子$a+8$改写为$(a+3)+5$，这样原分式就可以拆成两部分，其中一部分是整数，另一部分是分子为5的简单分式；第二步要让整个分式的值是整数，只需简单分式部分是整数，也就是分母$a+3$是5的整数因数；第三步列出5的所有整数因数，分别求解$a$的值即可。
【解析】
解：先对分式进行变形：
$\frac{a + 8}{a + 3}=\frac{(a + 3) + 5}{a + 3}=\frac{a + 3}{a + 3}+\frac{5}{a + 3}=1+\frac{5}{a + 3}$
因为分式的值是整数，且$a$为整数，1是整数，所以$\frac{5}{a + 3}$必须是整数，即$a + 3$是5的整数因数。
5的整数因数为$\pm1,\pm5$，因此：
当$a+3=1$时，解得$a=-2$；
当$a+3=-1$时，解得$a=-4$；
当$a+3=5$时，解得$a=2$；
当$a+3=-5$时，解得$a=-8$。
上述$a$的取值均使分母$a+3≠0$，符合分式有意义的要求。
【答案】
$a$的整数值为$-2$、$-4$、$2$、$-8$
【知识点】
分式化简、整数因数、分式整数解
【点评】
本题属于分式整数解的典型题型，解题核心是运用拆分法将复杂分式转化为整式加简单分式的结构，把原问题转化为求常数的整数因数问题，大大降低了解题难度，熟练掌握这种拆分技巧可以高效处理同类型题目。
【难度系数】
0.7
要解决分式$\frac{a+8}{a+3}$的值为整数时$a$的整数值问题，我们可以参考题目给出的示例方法：先将分式拆分成“整数 + 分子为常数的分式”的形式，再根据“分式值为整数”的条件，转化为常数分式的分母是分子的整数因数即可。第一步先变形分式：把分子$a+8$改写为$(a+3)+5$，这样原分式就可以拆成两部分，其中一部分是整数，另一部分是分子为5的简单分式；第二步要让整个分式的值是整数，只需简单分式部分是整数，也就是分母$a+3$是5的整数因数；第三步列出5的所有整数因数，分别求解$a$的值即可。
【解析】
解：先对分式进行变形：
$\frac{a + 8}{a + 3}=\frac{(a + 3) + 5}{a + 3}=\frac{a + 3}{a + 3}+\frac{5}{a + 3}=1+\frac{5}{a + 3}$
因为分式的值是整数，且$a$为整数，1是整数，所以$\frac{5}{a + 3}$必须是整数，即$a + 3$是5的整数因数。
5的整数因数为$\pm1,\pm5$，因此：
当$a+3=1$时，解得$a=-2$；
当$a+3=-1$时，解得$a=-4$；
当$a+3=5$时，解得$a=2$；
当$a+3=-5$时，解得$a=-8$。
上述$a$的取值均使分母$a+3≠0$，符合分式有意义的要求。
【答案】
$a$的整数值为$-2$、$-4$、$2$、$-8$
【知识点】
分式化简、整数因数、分式整数解
【点评】
本题属于分式整数解的典型题型，解题核心是运用拆分法将复杂分式转化为整式加简单分式的结构，把原问题转化为求常数的整数因数问题，大大降低了解题难度，熟练掌握这种拆分技巧可以高效处理同类型题目。
【难度系数】
0.7
