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1. 当x______时，分式$\dfrac{|x|-3}{x-3}$有意义；当x______时，分式$\dfrac{|x|-3}{x-3}$的值为0.
答案
1. ≠3 =-3
解析
【分析】
解决这道题需要用到分式的相关性质：1. 分式有意义的核心条件是分母不能为0，据此可求出第一个空的取值范围；2. 分式的值为0需要同时满足两个要求：一是分子的值为0，二是分母的值不为0，二者缺一不可，先根据分子为0求出x的可能取值，再结合分母不为0的限制筛选出符合条件的x即可。
【解析】
1. 求分式有意义时x的取值：
分式有意义的条件是分母不为0，即：
$x - 3 ≠ 0$
解得：$x ≠ 3$
2. 求分式值为0时x的取值：
分式值为0需同时满足分子为0、分母不为0：
① 先令分子为0：$|x| - 3 = 0$，解得$|x|=3$，即$x=3$或$x=-3$；
② 结合分母不为0的限制$x ≠ 3$，排除$x=3$，最终得$x=-3$。
【答案】
≠3；=-3
【知识点】
分式有意义的条件；分式值为0的条件；绝对值的运算
【点评】
本题是分式性质的基础考查题，易错点是求解分式值为0的问题时，容易忽略分母不为0的限制，直接取分子为0的解导致出错，解题时要牢记两个条件需同时满足。
【难度系数】
0.8
解决这道题需要用到分式的相关性质：1. 分式有意义的核心条件是分母不能为0，据此可求出第一个空的取值范围；2. 分式的值为0需要同时满足两个要求：一是分子的值为0，二是分母的值不为0，二者缺一不可，先根据分子为0求出x的可能取值，再结合分母不为0的限制筛选出符合条件的x即可。
【解析】
1. 求分式有意义时x的取值：
分式有意义的条件是分母不为0，即：
$x - 3 ≠ 0$
解得：$x ≠ 3$
2. 求分式值为0时x的取值：
分式值为0需同时满足分子为0、分母不为0：
① 先令分子为0：$|x| - 3 = 0$，解得$|x|=3$，即$x=3$或$x=-3$；
② 结合分母不为0的限制$x ≠ 3$，排除$x=3$，最终得$x=-3$。
【答案】
≠3；=-3
【知识点】
分式有意义的条件；分式值为0的条件；绝对值的运算
【点评】
本题是分式性质的基础考查题，易错点是求解分式值为0的问题时，容易忽略分母不为0的限制，直接取分子为0的解导致出错，解题时要牢记两个条件需同时满足。
【难度系数】
0.8
2. $\dfrac{3a}{5xy}=\dfrac{(\quad)}{10axy}\ (a≠0);\ \dfrac{a+2}{a^2 - 4}=\dfrac{1}{(\quad)}.$
答案
2. $6a^2$ $a-2$
解析
【分析】
这道题考查分式的基本性质应用，解题思路如下：
1. 第一个空：先观察分母的变化，原分母5xy变为10axy，计算出分母乘的整式，再根据“分式的分子、分母同时乘同一个不为0的整式，分式的值不变”，给原分子也乘相同的整式就能得到结果。
2. 第二个空：先利用平方差公式把分母因式分解，再观察分子的变化，原分子a+2变为1，是除以了a+2，根据分式基本性质，分母也除以同一个不为0的整式a+2，即可求出结果。
【解析】
1. 求第一个空：
分母从$5xy$变为$10axy$，变化倍数为$\frac{10axy}{5xy}=2a$（已知$a≠0$，符合分式基本性质的要求）
根据分式基本性质，分子也要乘$2a$，即$3a×2a=6a^2$
2. 求第二个空：
先对分母因式分解，由平方差公式得$a^2-4=(a+2)(a-2)$
分子从$a+2$变为$1$，变化为除以$a+2$（$a^2-4$是原分式分母，故$a≠-2$，$a+2≠0$，符合要求）
根据分式基本性质，分母也要除以$a+2$，即$\frac{(a+2)(a-2)}{a+2}=a-2$
【答案】
$6a^2$；$a-2$
【知识点】
分式的基本性质、平方差公式、分式约分
【点评】
本题是分式性质的基础应用题型，解题关键是准确判断分子或分母的变化规律，同时要注意变形时乘除的整式不能为0，因式分解是解决此类分式变形题的常用基础技能，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.85
这道题考查分式的基本性质应用，解题思路如下：
1. 第一个空：先观察分母的变化，原分母5xy变为10axy，计算出分母乘的整式，再根据“分式的分子、分母同时乘同一个不为0的整式，分式的值不变”，给原分子也乘相同的整式就能得到结果。
2. 第二个空：先利用平方差公式把分母因式分解，再观察分子的变化，原分子a+2变为1，是除以了a+2，根据分式基本性质，分母也除以同一个不为0的整式a+2，即可求出结果。
【解析】
1. 求第一个空：
分母从$5xy$变为$10axy$，变化倍数为$\frac{10axy}{5xy}=2a$（已知$a≠0$，符合分式基本性质的要求）
根据分式基本性质，分子也要乘$2a$，即$3a×2a=6a^2$
2. 求第二个空：
先对分母因式分解，由平方差公式得$a^2-4=(a+2)(a-2)$
分子从$a+2$变为$1$，变化为除以$a+2$（$a^2-4$是原分式分母，故$a≠-2$，$a+2≠0$，符合要求）
根据分式基本性质，分母也要除以$a+2$，即$\frac{(a+2)(a-2)}{a+2}=a-2$
【答案】
$6a^2$；$a-2$
【知识点】
分式的基本性质、平方差公式、分式约分
【点评】
本题是分式性质的基础应用题型，解题关键是准确判断分子或分母的变化规律，同时要注意变形时乘除的整式不能为0，因式分解是解决此类分式变形题的常用基础技能，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.85
3. 不改变分式$\dfrac{-5 + x - x^2}{3 - 2x}$的值，将分子和分母的最高次项的系数化为正数，并将分子与分母按降幂排列为________.
答案
3. $\dfrac{x^2 - x + 5}{2x - 3}$
解析
【分析】
解题时首先回忆分式的符号法则：分式的分子、分母、分式本身的符号，改变其中任意两个，分式的值不变。第一步先将分子、分母都按x的降幂排列，观察到分子、分母的最高次项系数均为负数，因此我们可以分别给分子、分母提取负号，两个负号相互抵消，既可以将最高次项系数化为正数，又不会改变分式的值。
【解析】
1. 先将分子、分母按x的降幂排列：
原式$=\dfrac{-x^2 + x - 5}{-2x + 3}$
2. 分别给分子、分母提取负号，根据分式符号法则$\dfrac{-a}{-b}=\dfrac{a}{b}$，负号可约去：
$=\dfrac{-(x^2 - x + 5)}{-(2x - 3)}$
$=\dfrac{x^2 - x + 5}{2x - 3}$
【答案】
$\dfrac{x^2 - x + 5}{2x - 3}$
【知识点】
1. 分式的符号法则
2. 多项式降幂排列
【点评】
本题考查分式的基本变形，解题的关键是熟练掌握分式的符号法则，变形时注意不能改变分式的值，提取负号时要给分子、分母的每一项都变号，避免出现漏变号的错误。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆分式的符号法则：分式的分子、分母、分式本身的符号，改变其中任意两个，分式的值不变。第一步先将分子、分母都按x的降幂排列，观察到分子、分母的最高次项系数均为负数，因此我们可以分别给分子、分母提取负号，两个负号相互抵消，既可以将最高次项系数化为正数，又不会改变分式的值。
【解析】
1. 先将分子、分母按x的降幂排列：
原式$=\dfrac{-x^2 + x - 5}{-2x + 3}$
2. 分别给分子、分母提取负号，根据分式符号法则$\dfrac{-a}{-b}=\dfrac{a}{b}$，负号可约去：
$=\dfrac{-(x^2 - x + 5)}{-(2x - 3)}$
$=\dfrac{x^2 - x + 5}{2x - 3}$
【答案】
$\dfrac{x^2 - x + 5}{2x - 3}$
【知识点】
1. 分式的符号法则
2. 多项式降幂排列
【点评】
本题考查分式的基本变形，解题的关键是熟练掌握分式的符号法则，变形时注意不能改变分式的值，提取负号时要给分子、分母的每一项都变号，避免出现漏变号的错误。
【难度系数】
0.8
4. 对于不相等的两个实数$a$，$b$，定义运算“$*$”：$a*b=\dfrac{\sqrt{a}}{a - b}$，如$2*1=\dfrac{\sqrt{2}}{2 - 1}=\sqrt{2}$。则式子$3*(1 - x)$有意义的条件是________。
答案
4. $x≠-2$
解析
【分析】
要解决这个问题，首先要明确新定义运算“*”的规则，再结合代数式有意义的两个核心要求思考：一是二次根式的被开方数必须是非负数，二是分式的分母不能为0。首先确定式子$3*(1-x)$中对应新运算里的$a=3$，$b=1-x$，先判断被开方数3满足非负要求，因此只需要保证分母不为0，列不等式求解即可得到x的取值范围。
【解析】
根据新定义运算规则$a*b=\dfrac{\sqrt{a}}{a - b}$，可得$3*(1-x)$中$a=3$，$b=1-x$：
1. 二次根式$\sqrt{a}$的被开方数$a=3＞0$，已经满足有意义的条件；
2. 分式的分母不能为0，即$a-b≠0$，代入对应值可得：
$3-(1-x)≠0$
去括号计算：$3-1+x≠0$，即$2+x≠0$
解得：$x≠-2$
【答案】
$x≠-2$
【知识点】
新定义运算，分式有意义的条件，二次根式有意义的条件
【点评】
本题结合新定义运算考查代数式有意义的条件，解题关键是准确对应新运算中a、b的取值，再结合二次根式和分式的成立要求列式求解，注意不要遗漏任意限制条件。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先要明确新定义运算“*”的规则，再结合代数式有意义的两个核心要求思考：一是二次根式的被开方数必须是非负数，二是分式的分母不能为0。首先确定式子$3*(1-x)$中对应新运算里的$a=3$，$b=1-x$，先判断被开方数3满足非负要求，因此只需要保证分母不为0，列不等式求解即可得到x的取值范围。
【解析】
根据新定义运算规则$a*b=\dfrac{\sqrt{a}}{a - b}$，可得$3*(1-x)$中$a=3$，$b=1-x$：
1. 二次根式$\sqrt{a}$的被开方数$a=3＞0$，已经满足有意义的条件；
2. 分式的分母不能为0，即$a-b≠0$，代入对应值可得：
$3-(1-x)≠0$
去括号计算：$3-1+x≠0$，即$2+x≠0$
解得：$x≠-2$
【答案】
$x≠-2$
【知识点】
新定义运算，分式有意义的条件，二次根式有意义的条件
【点评】
本题结合新定义运算考查代数式有意义的条件，解题关键是准确对应新运算中a、b的取值，再结合二次根式和分式的成立要求列式求解，注意不要遗漏任意限制条件。
【难度系数】
0.8
5. 观察分式$\frac{1}{a}, -\frac{2}{a^2}, \frac{4}{a^3}, -\frac{8}{a^4}, \frac{16}{a^5}, \dots$. 根据其中规律，这一组分式中的第10个分式是________，第$n$个分式是________.
答案
5. $-\dfrac{2^9}{a^{10}}$ $(-1)^{n+1}\dfrac{2^{n-1}}{a^n}$
解析
【分析】
解这道题我们可以把分式拆成符号、分子、分母三个部分分别找规律：首先看符号，奇数项为正、偶数项为负；再看分子，数值依次是1、2、4、8、16，都是2的幂次，第1项是$2^0$，第2项是$2^1$，以此类推第k项分子为$2^{k-1}$；最后看分母，依次是$a^1、a^2、a^3……$，第k项分母为$a^k$，再把三部分规律组合即可得到结果。
【解析】
1. 符号规律：项数为奇数时符号为正，项数为偶数时符号为负，可用$(-1)^{n+1}$表示（n为项数，n=1时结果为正，n=2时结果为负，符合规律）。
2. 分子规律：第1项分子$1=2^0$，第2项分子$2=2^1$，第3项分子$4=2^2$，因此第n项分子为$2^{n-1}$。
3. 分母规律：第1项分母为$a^1$，第2项分母为$a^2$，因此第n项分母为$a^n$。
4. 求第10个分式：n=10为偶数，符号为负，分子为$2^{10-1}=2^9$，分母为$a^{10}$，即$-\dfrac{2^9}{a^{10}}$。
5. 求第n个分式：组合三部分规律得$(-1)^{n+1}\dfrac{2^{n-1}}{a^n}$。
【答案】
$-\dfrac{2^9}{a^{10}}$；$(-1)^{n+1}\dfrac{2^{n-1}}{a^n}$
【知识点】
数字规律探究；乘方的意义；分式的概念
【点评】
本题是规律探究类基础题，解题核心是将复杂的分式规律拆分为多个独立部分分别推导，要注意交替符号的幂次表达、分子指数和项数的对应关系不要混淆。
【难度系数】
0.7
解这道题我们可以把分式拆成符号、分子、分母三个部分分别找规律：首先看符号，奇数项为正、偶数项为负；再看分子，数值依次是1、2、4、8、16，都是2的幂次，第1项是$2^0$，第2项是$2^1$，以此类推第k项分子为$2^{k-1}$；最后看分母，依次是$a^1、a^2、a^3……$，第k项分母为$a^k$，再把三部分规律组合即可得到结果。
【解析】
1. 符号规律：项数为奇数时符号为正，项数为偶数时符号为负，可用$(-1)^{n+1}$表示（n为项数，n=1时结果为正，n=2时结果为负，符合规律）。
2. 分子规律：第1项分子$1=2^0$，第2项分子$2=2^1$，第3项分子$4=2^2$，因此第n项分子为$2^{n-1}$。
3. 分母规律：第1项分母为$a^1$，第2项分母为$a^2$，因此第n项分母为$a^n$。
4. 求第10个分式：n=10为偶数，符号为负，分子为$2^{10-1}=2^9$，分母为$a^{10}$，即$-\dfrac{2^9}{a^{10}}$。
5. 求第n个分式：组合三部分规律得$(-1)^{n+1}\dfrac{2^{n-1}}{a^n}$。
【答案】
$-\dfrac{2^9}{a^{10}}$；$(-1)^{n+1}\dfrac{2^{n-1}}{a^n}$
【知识点】
数字规律探究；乘方的意义；分式的概念
【点评】
本题是规律探究类基础题，解题核心是将复杂的分式规律拆分为多个独立部分分别推导，要注意交替符号的幂次表达、分子指数和项数的对应关系不要混淆。
【难度系数】
0.7
6. 在代数式$-\dfrac{3}{2}x$，$\dfrac{4}{x - y}$，$x + y$，$\dfrac{x^2 + 1}{π}$，$-\dfrac{7}{8}$，$\dfrac{1}{a}$中，分式有（
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
B
）。A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
6. B
解析
【分析】
要判断给定代数式中的分式，首先需要明确分式的判定标准：形如$\frac{A}{B}$的式子，其中A、B都是整式，且B中含有字母（注意π是固定的常数，不属于字母）。解题时只需逐个检查每个代数式的分母是否含有字母，即可筛选出分式，统计个数后对应选项。
【解析】
根据分式的定义，逐一判断各代数式：
1. $-\dfrac{3}{2}x$：分母为常数2，不含字母，属于整式，不是分式；
2. $\dfrac{4}{x - y}$：分母为$x-y$，含有字母x、y，是分式；
3. $x + y$：无分母，属于整式，不是分式；
4. $\dfrac{x^2 + 1}{π}$：分母为常数π，不含字母，属于整式，不是分式；
5. $-\dfrac{7}{8}$：是常数，属于整式，不是分式；
6. $\dfrac{1}{a}$：分母为a，含有字母，是分式。
综上，分式共有2个，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
分式的定义，整式与分式的判别
【点评】
本题核心考查分式的判别方法，易错点是容易误将常数π当作字母，错把$\dfrac{x^2 + 1}{π}$判定为分式，牢记分式的定义和π的常数属性是解题的关键。
【难度系数】
0.7
要判断给定代数式中的分式，首先需要明确分式的判定标准：形如$\frac{A}{B}$的式子，其中A、B都是整式，且B中含有字母（注意π是固定的常数，不属于字母）。解题时只需逐个检查每个代数式的分母是否含有字母，即可筛选出分式，统计个数后对应选项。
【解析】
根据分式的定义，逐一判断各代数式：
1. $-\dfrac{3}{2}x$：分母为常数2，不含字母，属于整式，不是分式；
2. $\dfrac{4}{x - y}$：分母为$x-y$，含有字母x、y，是分式；
3. $x + y$：无分母，属于整式，不是分式；
4. $\dfrac{x^2 + 1}{π}$：分母为常数π，不含字母，属于整式，不是分式；
5. $-\dfrac{7}{8}$：是常数，属于整式，不是分式；
6. $\dfrac{1}{a}$：分母为a，含有字母，是分式。
综上，分式共有2个，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
分式的定义，整式与分式的判别
【点评】
本题核心考查分式的判别方法，易错点是容易误将常数π当作字母，错把$\dfrac{x^2 + 1}{π}$判定为分式，牢记分式的定义和π的常数属性是解题的关键。
【难度系数】
0.7
7. 下列判断正确的是(
A.分式的分子中一定含有字母
B.当$B=0$时，$\dfrac{A}{B}$没有意义
C.当$A=0$时，$\dfrac{A}{B}$的值为0
D.分数一定是分式
B
).A.分式的分子中一定含有字母
B.当$B=0$时，$\dfrac{A}{B}$没有意义
C.当$A=0$时，$\dfrac{A}{B}$的值为0
D.分数一定是分式
答案
7. B
解析
【分析】
解题时首先回忆分式的相关核心概念：分式的定义、分式有意义的条件、分式值为0的条件，再带着这些概念逐一分析每个选项，排除不符合概念的错误选项即可得出正确答案。
【解析】
首先明确分式的相关基础概念：
1. 分式定义：若A、B为整式，且B中含有字母、B≠0，则式子$\dfrac{A}{B}$叫做分式；
2. 分式有意义的条件：分母$B≠ 0$；
3. 分式值为0的条件：分子$A=0$且分母$B≠ 0$。
逐一分析选项：
A. 分式仅要求分母中含有字母，分子可以不含字母，例如$\dfrac{1}{x}$是分式，分子为1不含字母，故A错误；
B. 根据分式有意义的条件，分母为0时分式无意义，因此当$B=0$时，$\dfrac{A}{B}$没有意义，故B正确；
C. 分式值为0需要同时满足分子为0、分母不为0，若仅$A=0$但$B=0$，此时分式无意义，不能说值为0，故C错误；
D. 分数的分母是常数，不含字母，属于整式，不属于分式，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
分式的定义；分式有意义的条件；分式值为0的条件
【点评】
本题是分式章节的基础题型，重点考查对分式基础概念的理解，解题的关键是准确区分分式与整式的差异，牢记分式分母不为0的隐含要求，避免漏看条件判断失误。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆分式的相关核心概念：分式的定义、分式有意义的条件、分式值为0的条件，再带着这些概念逐一分析每个选项，排除不符合概念的错误选项即可得出正确答案。
【解析】
首先明确分式的相关基础概念：
1. 分式定义：若A、B为整式，且B中含有字母、B≠0，则式子$\dfrac{A}{B}$叫做分式；
2. 分式有意义的条件：分母$B≠ 0$；
3. 分式值为0的条件：分子$A=0$且分母$B≠ 0$。
逐一分析选项：
A. 分式仅要求分母中含有字母，分子可以不含字母，例如$\dfrac{1}{x}$是分式，分子为1不含字母，故A错误；
B. 根据分式有意义的条件，分母为0时分式无意义，因此当$B=0$时，$\dfrac{A}{B}$没有意义，故B正确；
C. 分式值为0需要同时满足分子为0、分母不为0，若仅$A=0$但$B=0$，此时分式无意义，不能说值为0，故C错误；
D. 分数的分母是常数，不含字母，属于整式，不属于分式，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
分式的定义；分式有意义的条件；分式值为0的条件
【点评】
本题是分式章节的基础题型，重点考查对分式基础概念的理解，解题的关键是准确区分分式与整式的差异，牢记分式分母不为0的隐含要求，避免漏看条件判断失误。
【难度系数】
0.7
8. 下列约分正确的是(
A.$\dfrac{m}{m + 3}=1+\dfrac{m}{3}$
B.$\dfrac{x + y}{x - 2}=1-\dfrac{y}{2}$
C.$\dfrac{x(a - b)}{y(b - a)}=\dfrac{x}{y}$
D.$\dfrac{9b}{6a + 3}=\dfrac{3b}{2a + 1}$
D
).A.$\dfrac{m}{m + 3}=1+\dfrac{m}{3}$
B.$\dfrac{x + y}{x - 2}=1-\dfrac{y}{2}$
C.$\dfrac{x(a - b)}{y(b - a)}=\dfrac{x}{y}$
D.$\dfrac{9b}{6a + 3}=\dfrac{3b}{2a + 1}$
答案
8. D
解析
【分析】
本题可根据分式约分的规则（约分的依据是分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以同一个不为0的整式，分式的值不变），逐个分析选项判断正误：首先排查分子分母无公因式、随意拆分项的错误选项A、B；再判断带相反数因式的选项C的符号是否正确；最后验证选项D的约分是否符合规则即可。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A选项：$\dfrac{m}{m+3}$的分子和分母没有公因式，无法约分，且$1+\dfrac{m}{3}=\dfrac{3+m}{3}≠\dfrac{m}{m+3}$，故A错误；
B选项：$\dfrac{x+y}{x-2}$的分子和分母没有公因式，无法拆分约分，且$1-\dfrac{y}{2}=\dfrac{2-y}{2}≠\dfrac{x+y}{x-2}$，故B错误；
C选项：注意$b-a=-(a-b)$，因此$\dfrac{x(a - b)}{y(b - a)}=\dfrac{x(a-b)}{y×[-(a-b)]}=-\dfrac{x}{y}$，选项漏掉了负号，故C错误；
D选项：先给分母提取公因式3，可得$6a+3=3(2a+1)$，分子$9b=3×3b$，分子分母同时除以不为0的3，可得$\dfrac{9b}{6a + 3}=\dfrac{3×3b}{3×(2a+1)}=\dfrac{3b}{2a + 1}$，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
分式的基本性质；分式的约分
【点评】
本题核心考查分式约分的注意事项，要注意只有分子分母存在公因式时才能约分，当分子分母出现互为相反数的因式时，约分后不要遗漏负号，提取公因式时要确保提取彻底。
【难度系数】
0.8
本题可根据分式约分的规则（约分的依据是分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以同一个不为0的整式，分式的值不变），逐个分析选项判断正误：首先排查分子分母无公因式、随意拆分项的错误选项A、B；再判断带相反数因式的选项C的符号是否正确；最后验证选项D的约分是否符合规则即可。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A选项：$\dfrac{m}{m+3}$的分子和分母没有公因式，无法约分，且$1+\dfrac{m}{3}=\dfrac{3+m}{3}≠\dfrac{m}{m+3}$，故A错误；
B选项：$\dfrac{x+y}{x-2}$的分子和分母没有公因式，无法拆分约分，且$1-\dfrac{y}{2}=\dfrac{2-y}{2}≠\dfrac{x+y}{x-2}$，故B错误；
C选项：注意$b-a=-(a-b)$，因此$\dfrac{x(a - b)}{y(b - a)}=\dfrac{x(a-b)}{y×[-(a-b)]}=-\dfrac{x}{y}$，选项漏掉了负号，故C错误；
D选项：先给分母提取公因式3，可得$6a+3=3(2a+1)$，分子$9b=3×3b$，分子分母同时除以不为0的3，可得$\dfrac{9b}{6a + 3}=\dfrac{3×3b}{3×(2a+1)}=\dfrac{3b}{2a + 1}$，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
分式的基本性质；分式的约分
【点评】
本题核心考查分式约分的注意事项，要注意只有分子分母存在公因式时才能约分，当分子分母出现互为相反数的因式时，约分后不要遗漏负号，提取公因式时要确保提取彻底。
【难度系数】
0.8
