登录
20.科学课上,科技小组做了一个关于滑轮的物理实验,获得如下信息：
| 素材1 | 将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮$A$,一端拴在滑块$B$上,另一端拴在物体$C$上,滑块$B$放置在水平地面的直轨道上,可通过滑块$B$的左右滑动来调节物体$C$的升降 |
| ---- | ---- |
| 素材2 | 实验初始状态如图(1)所示,物体$C$静止在直轨道上$C_1$位置,滑块$B$在直轨道上$B_1$位置,物体$C$到滑块$B$的水平距离是$6\ \mathrm{dm}$,物体$C$到定滑轮$A$的垂直距离是$8\ \mathrm{dm}$(实验过程中,绳子始终保持绷紧状态,定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计) |
(1)求绳子的总长度(即$AB+AC$的长度).
(2)如图(2)所示,滑块$B$从$B_1$位置向左移动,当绳子$AB$与地面的夹角为$30°$时,物体$C$升高了多少?
(3)如图(3)所示,滑块$B$从$B_1$位置向左移动,当物体$C$升高$7\ \mathrm{dm}$时,求滑块$B$向左滑动的距离.
| 素材1 | 将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮$A$,一端拴在滑块$B$上,另一端拴在物体$C$上,滑块$B$放置在水平地面的直轨道上,可通过滑块$B$的左右滑动来调节物体$C$的升降 |
| ---- | ---- |
| 素材2 | 实验初始状态如图(1)所示,物体$C$静止在直轨道上$C_1$位置,滑块$B$在直轨道上$B_1$位置,物体$C$到滑块$B$的水平距离是$6\ \mathrm{dm}$,物体$C$到定滑轮$A$的垂直距离是$8\ \mathrm{dm}$(实验过程中,绳子始终保持绷紧状态,定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计) |
(1)求绳子的总长度(即$AB+AC$的长度).
(2)如图(2)所示,滑块$B$从$B_1$位置向左移动,当绳子$AB$与地面的夹角为$30°$时,物体$C$升高了多少?
(3)如图(3)所示,滑块$B$从$B_1$位置向左移动,当物体$C$升高$7\ \mathrm{dm}$时,求滑块$B$向左滑动的距离.
答案
20.解:(1)$∵∠ACB=90°,∴AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10(\mathrm{dm})$.
$∴$绳子的总长度为$AB+AC=10+8=18(\mathrm{dm})$.
(2)$∵∠ABC_1=30°,∠AC_1B=90°,∴AB=2AC_1=16\ \mathrm{dm}.∴AC=2\ \mathrm{dm}$.
$∴CC_1=AC_1-AC=8-2=6(\mathrm{dm}).∴$物体$C$升高了6 dm.
(3)$∵$物体$C$升高7 dm,$∴CC_1=7\ \mathrm{dm}.∴AC=1\ \mathrm{dm}$.
$∴AB=18-1=17(\mathrm{dm}).∴BC_1=\sqrt{AB^2-AC_1^2}=\sqrt{17^2-8^2}=15(\mathrm{dm})$.
$∴$滑块$B$向左滑动的距离为$BB_1=BC_1-B_1C_1=15-6=9(\mathrm{dm})$.
$∴$绳子的总长度为$AB+AC=10+8=18(\mathrm{dm})$.
(2)$∵∠ABC_1=30°,∠AC_1B=90°,∴AB=2AC_1=16\ \mathrm{dm}.∴AC=2\ \mathrm{dm}$.
$∴CC_1=AC_1-AC=8-2=6(\mathrm{dm}).∴$物体$C$升高了6 dm.
(3)$∵$物体$C$升高7 dm,$∴CC_1=7\ \mathrm{dm}.∴AC=1\ \mathrm{dm}$.
$∴AB=18-1=17(\mathrm{dm}).∴BC_1=\sqrt{AB^2-AC_1^2}=\sqrt{17^2-8^2}=15(\mathrm{dm})$.
$∴$滑块$B$向左滑动的距离为$BB_1=BC_1-B_1C_1=15-6=9(\mathrm{dm})$.
解析
【分析】
解题核心是抓住隐含条件：绳子总长度始终不变，且定滑轮A到地面的垂直距离固定为8dm，滑块B与物体C初始位置的连线为水平线段，始终构成直角三角形。
(1) 初始状态下△AC₁B₁为直角三角形，已知两条直角边长度，直接用勾股定理求出AB₁的长度，再加AC₁的长度即可得到绳子总长度。
(2) 当AB与地面夹角为30°时，利用含30°角的直角三角形“30°角对的直角边是斜边的一半”的性质，求出此时AB的长度，用总绳长减去AB长度得到此时C到A的距离，初始AC₁减去该距离就是C升高的高度。
(3) 当C升高7dm时，先算出此时C到A的距离，再用总绳长减去该距离得到此时AB的长度，最后在直角三角形中用勾股定理求出此时B到C初始位置的水平距离，减去初始B₁C₁的长度就是滑块向左滑动的距离。
【解析】
(1) 初始状态下，∠AC₁B₁=90°，AC₁=8dm，B₁C₁=6dm，
由勾股定理得：$AB_1=\sqrt{AC_1^2+B_1C_1^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10(\mathrm{dm})$，
绳子总长度为$AB_1+AC_1=10+8=18(\mathrm{dm})$。
(2) 当绳子AB与地面夹角为30°时，∠AC₁B=90°，
在$\mathrm{Rt}△ AC_1B$中，$∠ ABC_1=30°$，直角边$AC_1=8\mathrm{dm}$，
$\therefore AB=2AC_1=16(\mathrm{dm})$，
此时C到A的距离为$18-16=2(\mathrm{dm})$，
$\therefore$物体C升高的高度为$8-2=6(\mathrm{dm})$。
(3) 当物体C升高7dm时，此时C到A的距离为$8-7=1(\mathrm{dm})$，
$\therefore$此时AB的长度为$18-1=17(\mathrm{dm})$，
在$\mathrm{Rt}△ AC_1B$中，由勾股定理得：$BC_1=\sqrt{AB^2-AC_1^2}=\sqrt{17^2-8^2}=15(\mathrm{dm})$，
$\therefore$滑块B向左滑动的距离为$BB_1=BC_1-B_1C_1=15-6=9(\mathrm{dm})$。
【答案】
(1) 绳子的总长度为$\boldsymbol{18\ \mathrm{dm}}$；
(2) 物体C升高了$\boldsymbol{6\ \mathrm{dm}}$；
(3) 滑块B向左滑动的距离为$\boldsymbol{9\ \mathrm{dm}}$。
【知识点】
勾股定理，含30°角的直角三角形性质，不变量分析
【点评】
本题结合物理实验场景命题，将实际问题转化为直角三角形模型求解，解题的核心是抓住绳子总长度不变的隐含条件，既考查了基础几何定理的应用，也锻炼了学生将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.7
解题核心是抓住隐含条件：绳子总长度始终不变，且定滑轮A到地面的垂直距离固定为8dm，滑块B与物体C初始位置的连线为水平线段，始终构成直角三角形。
(1) 初始状态下△AC₁B₁为直角三角形，已知两条直角边长度，直接用勾股定理求出AB₁的长度，再加AC₁的长度即可得到绳子总长度。
(2) 当AB与地面夹角为30°时，利用含30°角的直角三角形“30°角对的直角边是斜边的一半”的性质，求出此时AB的长度，用总绳长减去AB长度得到此时C到A的距离，初始AC₁减去该距离就是C升高的高度。
(3) 当C升高7dm时，先算出此时C到A的距离，再用总绳长减去该距离得到此时AB的长度，最后在直角三角形中用勾股定理求出此时B到C初始位置的水平距离，减去初始B₁C₁的长度就是滑块向左滑动的距离。
【解析】
(1) 初始状态下，∠AC₁B₁=90°，AC₁=8dm，B₁C₁=6dm，
由勾股定理得：$AB_1=\sqrt{AC_1^2+B_1C_1^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10(\mathrm{dm})$，
绳子总长度为$AB_1+AC_1=10+8=18(\mathrm{dm})$。
(2) 当绳子AB与地面夹角为30°时，∠AC₁B=90°，
在$\mathrm{Rt}△ AC_1B$中，$∠ ABC_1=30°$，直角边$AC_1=8\mathrm{dm}$，
$\therefore AB=2AC_1=16(\mathrm{dm})$，
此时C到A的距离为$18-16=2(\mathrm{dm})$，
$\therefore$物体C升高的高度为$8-2=6(\mathrm{dm})$。
(3) 当物体C升高7dm时，此时C到A的距离为$8-7=1(\mathrm{dm})$，
$\therefore$此时AB的长度为$18-1=17(\mathrm{dm})$，
在$\mathrm{Rt}△ AC_1B$中，由勾股定理得：$BC_1=\sqrt{AB^2-AC_1^2}=\sqrt{17^2-8^2}=15(\mathrm{dm})$，
$\therefore$滑块B向左滑动的距离为$BB_1=BC_1-B_1C_1=15-6=9(\mathrm{dm})$。
【答案】
(1) 绳子的总长度为$\boldsymbol{18\ \mathrm{dm}}$；
(2) 物体C升高了$\boldsymbol{6\ \mathrm{dm}}$；
(3) 滑块B向左滑动的距离为$\boldsymbol{9\ \mathrm{dm}}$。
【知识点】
勾股定理，含30°角的直角三角形性质，不变量分析
【点评】
本题结合物理实验场景命题，将实际问题转化为直角三角形模型求解，解题的核心是抓住绳子总长度不变的隐含条件，既考查了基础几何定理的应用，也锻炼了学生将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.7
