综合与实践 生活中的拼图艺术——几何图形密铺探秘
我们常常可以看到用各种形状的地砖(或墙砖)铺砌成的平面图案.这种用形状相同或不同的平面封闭图形,覆盖平面区域,使图形间既无缝隙又不重叠地全部覆盖,在几何里叫作平面镶嵌.如果使用的平面封闭图形是多边形,那么我们称这样的平面镶嵌叫作多边形的镶嵌.镶嵌图案有很多,值得我们研究的问题也有很多.让我们一起来开展实践探究活动吧!
【活动一】观察生活中的镶嵌图案
用你的慧眼观察生活中的平面图形镶嵌现象,可以拍照,也可以手绘记录这些美丽的镶嵌图案.
【活动二】只用一种多边形进行镶嵌
如图(1)所示,把六个边长相同的正三角形不重叠摆放,彼此之间不留空隙,并把平面的一部分完全覆盖,所以正三角形能镶嵌平面.如图(2)所示,把四个边长相同的正方形按照相同的方法拼接,同样把平面的一部分完全覆盖,所以正方形能镶嵌平面.

(1)剪一些如图(3)所示的正五边形、正六边形,分别用它们进行镶嵌,你能得到怎样的结论呢?完成操作后,请填写在表中.
|能镶嵌成一个平面图案的图形是.贴出一个你的作品：|不能镶嵌成一个平面图案的图形是.简单描述不能镶嵌的理由：|
(2)任意剪出一些形状、大小相同的三角形、四边形,分别拼拼看,它们能否镶嵌成平面图案?如果可以,在表中贴出你的作品.

(3)通过以上活动,我们发现了镶嵌的一个“奥秘”:拼接在同一个点的各个角的和恰好等于度.
(4)校园休闲角里的一段小路是用型号相同的有三个内角相等的五边形地砖铺成的,如图(4)所示的是其中一部分图案,你能说出这个五边形地砖各内角的度数吗?

(1)剪一些题图(3)中的正五边形、正六边形,分别用它们进行镶嵌,结论如下：
能镶嵌成一个平面图案的图形是正六边形,作品如图①所示.
不能镶嵌成一个平面图案的图形是正五边形.理由如下：
正五边形的内角为108°,360°÷108°的结果不是整数,不可以进行平面镶嵌.
(2)任意剪出一些形状、大小相同的三角形、四边形,分别拼,它们能镶嵌成平面图案,如图②③所示.
(3)360
(4)如图④所示.
由铺成的小路,得∠BCM+∠FCM+∠FCD+∠BCD=360°,∠BCM=∠FCM=∠FCD=∠BCD,
∴∠BCM=∠FCM=∠FCD=∠BCD=90°.
∵五边形有三个内角相等,
∴∠ABC=∠BAE=∠AED=[(5-2)×180°-90°×2]÷3=120°.
∴这个五边形地砖各内角的度数分别为90°,90°,120°,120°,120°.

【分析】
解答本题需围绕平面镶嵌的核心条件逐步推导：
1. 第(1)问：先利用正多边形内角和公式计算正五边形、正六边形的内角度数，判断内角度数能否整除360°，能整除即可单独镶嵌，反之不能。
2. 第(2)问：任意三角形内角和为180°，任意四边形内角和为360°，都可凑出共顶点的角和为360°，因此均可镶嵌。
3. 第(3)问：根据镶嵌无缝隙、不重叠的要求，拼接在同一点的各角和必须等于周角，即360°。
4. 第(4)问：先观察拼接图案，可知五边形有2个相等的内角，共顶点处4个该角相加为360°，可算出这两个角的度数；再用五边形内角和减去这两个角的和，除以3即可得到另外三个相等内角的度数。
【解析】
(1) 正n边形内角公式为$\frac{(n-2)×180°}{n}$，计算得：
正六边形内角为$\frac{(6-2)×180°}{6}=120°$，$360°÷120°=3$，结果为整数，因此正六边形可以镶嵌；
正五边形内角为$\frac{(5-2)×180°}{5}=108°$，$360°÷108°$结果不是整数，因此正五边形不能镶嵌。
(2) 任意三角形内角和为$180°$，同一顶点处搭配摆放三角形的三个内角各2个，和为$2×180°=360°$；任意四边形内角和为$360°$，同一顶点处摆放1个四边形的四个内角即可凑出360°，因此形状、大小相同的三角形、四边形都能镶嵌。
(3) 平面镶嵌要求无缝隙、不重叠，因此拼接在同一个点的各个角的和恰好等于周角$360°$。
(4) 观察拼接图案可知：五边形有2个相等的内角，公共顶点处4个该角相加为$360°$，因此该角度数为$360°÷4=90°$；
五边形内角和为$(5-2)×180°=540°$，已知剩余3个内角相等，因此这3个角的度数为$(540° - 2×90°)÷3=120°$。
【答案】
(1) 能镶嵌成一个平面图案的图形是正六边形，作品如图①所示。
不能镶嵌成一个平面图案的图形是正五边形。理由：正五边形的内角为108°，360°÷108°的结果不是整数，不可以进行平面镶嵌。
(2) 形状、大小相同的三角形、四边形都能镶嵌成平面图案，如图②③所示。
(3) $\boxed{360}$
(4) 这个五边形地砖各内角的度数分别为90°,90°,120°,120°,120°，如图④所示。
【知识点】
多边形内角和，平面镶嵌（密铺），正多边形性质
【点评】
本题结合生活中的拼图场景，考查平面镶嵌的核心规律，引导学生通过实践操作总结规律，再运用规律解决实际问题，有助于提升动手探究能力和知识运用能力。
【难度系数】
0.7