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18. 观察下列各式：
$\sqrt{1+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}}=1+\frac{1}{1}-\frac{1}{2}=1\frac{1}{2}$；
$\sqrt{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}}=1+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=1\frac{1}{6}$；
$\sqrt{1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}}=1+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=1\frac{1}{12}$.
(1)$\sqrt{1+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}}=\_\_\_\_\_\_$；
(2)请你按照上面等式反映的规律，写出用$n$($n$为正整数)表示的等式；
(3)利用上述规律计算：$\sqrt{\frac{82}{81}+\frac{1}{100}}$.
$\sqrt{1+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}}=1+\frac{1}{1}-\frac{1}{2}=1\frac{1}{2}$；
$\sqrt{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}}=1+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=1\frac{1}{6}$；
$\sqrt{1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}}=1+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=1\frac{1}{12}$.
(1)$\sqrt{1+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}}=\_\_\_\_\_\_$；
(2)请你按照上面等式反映的规律，写出用$n$($n$为正整数)表示的等式；
(3)利用上述规律计算：$\sqrt{\frac{82}{81}+\frac{1}{100}}$.
答案
18.(1)$1\dfrac{1}{20}$
(2)解:$\sqrt{1+\dfrac{1}{n^2}+\dfrac{1}{(n+1)^2}}=1+\dfrac{1}{n(n+1)}$.
(3)解:$\sqrt{\dfrac{82}{81}+\dfrac{1}{100}}=\sqrt{1+\dfrac{1}{81}+\dfrac{1}{100}}=\sqrt{1+\dfrac{1}{9^2}+\dfrac{1}{10^2}}=1+\dfrac{1}{9}-\dfrac{1}{10}=1\dfrac{1}{90}$.
(2)解:$\sqrt{1+\dfrac{1}{n^2}+\dfrac{1}{(n+1)^2}}=1+\dfrac{1}{n(n+1)}$.
(3)解:$\sqrt{\dfrac{82}{81}+\dfrac{1}{100}}=\sqrt{1+\dfrac{1}{81}+\dfrac{1}{100}}=\sqrt{1+\dfrac{1}{9^2}+\dfrac{1}{10^2}}=1+\dfrac{1}{9}-\dfrac{1}{10}=1\dfrac{1}{90}$.
解析
【分析】
这是一道二次根式相关的规律探究题，解题思路如下：
1. 第(1)问：观察给出的3个等式，发现等式左边根号下的式子都是“$1+\frac{1}{m^2}+\frac{1}{(m+1)^2}$”的结构，对应右边结果为“$1+\frac{1}{m}-\frac{1}{m+1}$”，本题中$m=4$，直接代入计算即可。
2. 第(2)问：把特殊值$m$替换为正整数$n$，总结出通用的等式，可通过分式运算验证规律的正确性。
3. 第(3)问：先对被开方数进行变形，将$\frac{82}{81}$拆分为$1+\frac{1}{81}$，转化为规律中左边的标准结构，再代入规律计算即可。
【解析】
(1) 参照已知等式的规律，当$m=4$时：
$\sqrt{1+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}}=1+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}=1+\frac{5-4}{20}=1\frac{1}{20}$
(2) 观察等式的共性，$n$为正整数时，左边根号下的结构为$1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{(n+1)^2}$，右边化简可得：
$1+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=1+\frac{(n+1)-n}{n(n+1)}=1+\frac{1}{n(n+1)}$
因此通用等式为：$\sqrt{1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{(n+1)^2}}=1+\frac{1}{n(n+1)}$
(3) 先对被开方数变形：
$\sqrt{\frac{82}{81}+\frac{1}{100}}=\sqrt{1+\frac{1}{81}+\frac{1}{100}}=\sqrt{1+\frac{1}{9^2}+\frac{1}{10^2}}$
代入上述规律，$n=9$时：
原式$=1+\frac{1}{9}-\frac{1}{10}=1+\frac{10-9}{90}=1\frac{1}{90}$
【答案】
(1)$1\dfrac{1}{20}$
(2)$\sqrt{1+\dfrac{1}{n^2}+\dfrac{1}{(n+1)^2}}=1+\dfrac{1}{n(n+1)}$（$n$为正整数）
(3)$1\dfrac{1}{90}$
【知识点】
二次根式化简、规律探究、分式运算
【点评】
本题要求学生具备从特殊案例中归纳普遍规律的能力，第三问需要主动将原式变形匹配规律结构，既考查了观察归纳能力，也考查了知识的灵活迁移应用能力。
【难度系数】
0.7
这是一道二次根式相关的规律探究题，解题思路如下：
1. 第(1)问：观察给出的3个等式，发现等式左边根号下的式子都是“$1+\frac{1}{m^2}+\frac{1}{(m+1)^2}$”的结构，对应右边结果为“$1+\frac{1}{m}-\frac{1}{m+1}$”，本题中$m=4$，直接代入计算即可。
2. 第(2)问：把特殊值$m$替换为正整数$n$，总结出通用的等式，可通过分式运算验证规律的正确性。
3. 第(3)问：先对被开方数进行变形，将$\frac{82}{81}$拆分为$1+\frac{1}{81}$，转化为规律中左边的标准结构，再代入规律计算即可。
【解析】
(1) 参照已知等式的规律，当$m=4$时：
$\sqrt{1+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}}=1+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}=1+\frac{5-4}{20}=1\frac{1}{20}$
(2) 观察等式的共性，$n$为正整数时，左边根号下的结构为$1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{(n+1)^2}$，右边化简可得：
$1+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=1+\frac{(n+1)-n}{n(n+1)}=1+\frac{1}{n(n+1)}$
因此通用等式为：$\sqrt{1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{(n+1)^2}}=1+\frac{1}{n(n+1)}$
(3) 先对被开方数变形：
$\sqrt{\frac{82}{81}+\frac{1}{100}}=\sqrt{1+\frac{1}{81}+\frac{1}{100}}=\sqrt{1+\frac{1}{9^2}+\frac{1}{10^2}}$
代入上述规律，$n=9$时：
原式$=1+\frac{1}{9}-\frac{1}{10}=1+\frac{10-9}{90}=1\frac{1}{90}$
【答案】
(1)$1\dfrac{1}{20}$
(2)$\sqrt{1+\dfrac{1}{n^2}+\dfrac{1}{(n+1)^2}}=1+\dfrac{1}{n(n+1)}$（$n$为正整数）
(3)$1\dfrac{1}{90}$
【知识点】
二次根式化简、规律探究、分式运算
【点评】
本题要求学生具备从特殊案例中归纳普遍规律的能力，第三问需要主动将原式变形匹配规律结构，既考查了观察归纳能力，也考查了知识的灵活迁移应用能力。
【难度系数】
0.7
19. 如图所示,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是AD的中点,点F,G在AB上,EF⊥AB,OG//EF.
(1)求证:四边形OEFG是矩形;
(2)若AD=10,EF=4,求OE和BG的长.
(1)求证:四边形OEFG是矩形;
(2)若AD=10,EF=4,求OE和BG的长.
答案
19.(1)证明:由四边形$ABCD$为菱形,可知点$O$为$BD$的中点.
$∵$点$E$为$AD$的中点,$∴OE$为$△ABD$的中位线.$∴OE// FG$.
$∵OG// EF,∴$四边形$OEFG$为平行四边形.
$∵EF⊥AB,∴$四边形$OEFG$是矩形.
(2)解:由条件,可知$AE=\dfrac{1}{2}AD=5.∵∠EFA=90°,EF=4,∴$在$\mathrm{Rt}△AEF$中,$AF=\sqrt{5^2-4^2}=3$.
$∵$四边形$ABCD$为菱形,$∴AB=AD=10.∴OE=\dfrac{1}{2}AB=5$.
$∵$四边形$OEFG$为矩形,$∴FG=OE=5.∴BG=10-3-5=2$.
$∵$点$E$为$AD$的中点,$∴OE$为$△ABD$的中位线.$∴OE// FG$.
$∵OG// EF,∴$四边形$OEFG$为平行四边形.
$∵EF⊥AB,∴$四边形$OEFG$是矩形.
(2)解:由条件,可知$AE=\dfrac{1}{2}AD=5.∵∠EFA=90°,EF=4,∴$在$\mathrm{Rt}△AEF$中,$AF=\sqrt{5^2-4^2}=3$.
$∵$四边形$ABCD$为菱形,$∴AB=AD=10.∴OE=\dfrac{1}{2}AB=5$.
$∵$四边形$OEFG$为矩形,$∴FG=OE=5.∴BG=10-3-5=2$.
解析
【分析】
(1)要证明四边形OEFG是矩形，可按照“先证平行四边形，再证有一个内角为直角”的思路推导：首先利用菱形对角线互相平分的性质，得O为BD中点，结合E是AD中点，可推出OE是△ABD的中位线，得到OE//AB；再结合已知OG//EF，可判定四边形OEFG是平行四边形，最后由EF⊥AB得到直角，即可证得矩形。
(2)求OE长度时，直接利用三角形中位线的性质，OE等于菱形边长的一半即可求解；求BG长度时，先在Rt△AEF中用勾股定理算出AF的长，再利用矩形对边相等得到FG=OE，最后用AB的总长减去AF和FG的长度，即可得到BG的长。
【解析】
(1)证明：
∵四边形ABCD是菱形，
∴对角线AC、BD互相平分，即点O是BD的中点，
又
∵E是AD的中点，
∴OE是△ABD的中位线，
∴OE//AB，即OE//FG，
∵OG//EF，
∴四边形OEFG是平行四边形，
∵EF⊥AB，即∠EFG=90°，
∴平行四边形OEFG是矩形。
(2)解：
∵E是AD的中点，AD=10，
∴$AE=\frac{1}{2}AD=5$，
∵EF⊥AB，
∴∠EFA=90°，
在Rt△AEF中，EF=4，由勾股定理得：
$AF=\sqrt{AE^2-EF^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD=10，
∵OE是△ABD的中位线，
∴$OE=\frac{1}{2}AB=5$，
∵四边形OEFG是矩形，
∴FG=OE=5，
∴BG=AB-AF-FG=10-3-5=2。
【答案】
(1)已证得四边形OEFG是矩形；
(2)OE=5，BG=2
【知识点】
菱形的性质、矩形的判定、勾股定理
【点评】
本题属于特殊四边形的综合基础题，结合了菱形性质、三角形中位线定理、矩形判定和勾股定理进行考察，解题关键是熟练掌握特殊几何图形的性质与判定规则，理清线段之间的数量关系。
【难度系数】
0.7
(1)要证明四边形OEFG是矩形，可按照“先证平行四边形，再证有一个内角为直角”的思路推导：首先利用菱形对角线互相平分的性质，得O为BD中点，结合E是AD中点，可推出OE是△ABD的中位线，得到OE//AB；再结合已知OG//EF，可判定四边形OEFG是平行四边形，最后由EF⊥AB得到直角，即可证得矩形。
(2)求OE长度时，直接利用三角形中位线的性质，OE等于菱形边长的一半即可求解；求BG长度时，先在Rt△AEF中用勾股定理算出AF的长，再利用矩形对边相等得到FG=OE，最后用AB的总长减去AF和FG的长度，即可得到BG的长。
【解析】
(1)证明：
∵四边形ABCD是菱形，
∴对角线AC、BD互相平分，即点O是BD的中点，
又
∵E是AD的中点，
∴OE是△ABD的中位线，
∴OE//AB，即OE//FG，
∵OG//EF，
∴四边形OEFG是平行四边形，
∵EF⊥AB，即∠EFG=90°，
∴平行四边形OEFG是矩形。
(2)解：
∵E是AD的中点，AD=10，
∴$AE=\frac{1}{2}AD=5$，
∵EF⊥AB，
∴∠EFA=90°，
在Rt△AEF中，EF=4，由勾股定理得：
$AF=\sqrt{AE^2-EF^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD=10，
∵OE是△ABD的中位线，
∴$OE=\frac{1}{2}AB=5$，
∵四边形OEFG是矩形，
∴FG=OE=5，
∴BG=AB-AF-FG=10-3-5=2。
【答案】
(1)已证得四边形OEFG是矩形；
(2)OE=5，BG=2
【知识点】
菱形的性质、矩形的判定、勾股定理
【点评】
本题属于特殊四边形的综合基础题，结合了菱形性质、三角形中位线定理、矩形判定和勾股定理进行考察，解题关键是熟练掌握特殊几何图形的性质与判定规则，理清线段之间的数量关系。
【难度系数】
0.7
