登录
14. 我们都学过王之涣的《登鹳雀楼》，其中“欲穷千里目，更上一层楼”说的是登得高看得远. 若观测点的高度为 $ h \ \mathrm{km} $，则观测者能看到的最远距离 $ d \approx \sqrt{2hR} \ \mathrm{km} $（其中 $ R \approx 6\ 400 \ \mathrm{km} $）.
（1）若小亮站在鹳雀楼下，当 $ h = 0.02 \ \mathrm{km} $ 时，求 $ d $ 的长.
（2）若小亮站在鹳雀楼上，当 $ h = 0.05 \ \mathrm{km} $ 时，小亮能看到距离鹳雀楼 $ 1.2 \ \mathrm{km} $ 处的黄河吗？请说明理由.
（1）若小亮站在鹳雀楼下，当 $ h = 0.02 \ \mathrm{km} $ 时，求 $ d $ 的长.
（2）若小亮站在鹳雀楼上，当 $ h = 0.05 \ \mathrm{km} $ 时，小亮能看到距离鹳雀楼 $ 1.2 \ \mathrm{km} $ 处的黄河吗？请说明理由.
答案
14.解:(1)$∵d≈\sqrt{2hR}$,其中$R≈6\ 400\ \mathrm{km},h=0.02\ \mathrm{km}$,
$∴d≈\sqrt{2×0.02×6\ 400}=\sqrt{256}=16(\mathrm{km})$.
(2)小亮能看到距离鹳雀楼1.2 km处的黄河.理由如下:
$∵h=0.05\ \mathrm{km},∴d≈\sqrt{2×0.05×6\ 400}=\sqrt{640}≈25.3(\mathrm{km})$.
$∵25.3\ \mathrm{km}＞1.2\ \mathrm{km},∴$小亮能看到距离鹳雀楼1.2 km处的黄河.
$∴d≈\sqrt{2×0.02×6\ 400}=\sqrt{256}=16(\mathrm{km})$.
(2)小亮能看到距离鹳雀楼1.2 km处的黄河.理由如下:
$∵h=0.05\ \mathrm{km},∴d≈\sqrt{2×0.05×6\ 400}=\sqrt{640}≈25.3(\mathrm{km})$.
$∵25.3\ \mathrm{km}＞1.2\ \mathrm{km},∴$小亮能看到距离鹳雀楼1.2 km处的黄河.
解析
【分析】
本题给出了可视最远距离$d$的计算公式，解题可按以下思路进行：（1）第一问属于代数式直接求值问题，将已知的$h=0.02\ \mathrm{km}$、$R\approx 6400\ \mathrm{km}$代入公式$d \approx \sqrt{2hR}$，正确计算算术平方根即可得到$d$的长度；（2）第二问先代入$h=0.05\ \mathrm{km}$计算出此时的可视最远距离$d$，再将计算结果与$1.2\ \mathrm{km}$比较大小，若$d$大于$1.2\ \mathrm{km}$则能看到黄河，反之则不能。
【解析】
（1）由题意知$d \approx \sqrt{2hR}$，将$R\approx 6400\ \mathrm{km}$，$h=0.02\ \mathrm{km}$代入公式：
$\begin{aligned}d&\approx \sqrt{2× 0.02× 6400}\\&=\sqrt{256}\\&=16(\mathrm{km})\end{aligned}$
（2）小亮能看到距离鹳雀楼$1.2\ \mathrm{km}$处的黄河，理由如下：
将$h=0.05\ \mathrm{km}$，$R\approx 6400\ \mathrm{km}$代入公式：
$\begin{aligned}d&\approx \sqrt{2× 0.05× 6400}\\&=\sqrt{640}\\&\approx 25.3(\mathrm{km})\end{aligned}$
$\because 25.3\ \mathrm{km}＞1.2\ \mathrm{km}$，因此小亮可以看到该处的黄河。
【答案】
（1）$\boxed{16\ \mathrm{km}}$；
（2）能看到距离鹳雀楼$1.2\ \mathrm{km}$处的黄河，理由见解析。
【知识点】
代数式求值；算术平方根运算；实数大小比较
【点评】
本题结合古诗词创设情境，考查数学知识在实际生活中的应用，解题核心是准确代入数值计算，整体难度较低，掌握算术平方根的计算方法即可正确作答。
【难度系数】
0.85
本题给出了可视最远距离$d$的计算公式，解题可按以下思路进行：（1）第一问属于代数式直接求值问题，将已知的$h=0.02\ \mathrm{km}$、$R\approx 6400\ \mathrm{km}$代入公式$d \approx \sqrt{2hR}$，正确计算算术平方根即可得到$d$的长度；（2）第二问先代入$h=0.05\ \mathrm{km}$计算出此时的可视最远距离$d$，再将计算结果与$1.2\ \mathrm{km}$比较大小，若$d$大于$1.2\ \mathrm{km}$则能看到黄河，反之则不能。
【解析】
（1）由题意知$d \approx \sqrt{2hR}$，将$R\approx 6400\ \mathrm{km}$，$h=0.02\ \mathrm{km}$代入公式：
$\begin{aligned}d&\approx \sqrt{2× 0.02× 6400}\\&=\sqrt{256}\\&=16(\mathrm{km})\end{aligned}$
（2）小亮能看到距离鹳雀楼$1.2\ \mathrm{km}$处的黄河，理由如下：
将$h=0.05\ \mathrm{km}$，$R\approx 6400\ \mathrm{km}$代入公式：
$\begin{aligned}d&\approx \sqrt{2× 0.05× 6400}\\&=\sqrt{640}\\&\approx 25.3(\mathrm{km})\end{aligned}$
$\because 25.3\ \mathrm{km}＞1.2\ \mathrm{km}$，因此小亮可以看到该处的黄河。
【答案】
（1）$\boxed{16\ \mathrm{km}}$；
（2）能看到距离鹳雀楼$1.2\ \mathrm{km}$处的黄河，理由见解析。
【知识点】
代数式求值；算术平方根运算；实数大小比较
【点评】
本题结合古诗词创设情境，考查数学知识在实际生活中的应用，解题核心是准确代入数值计算，整体难度较低，掌握算术平方根的计算方法即可正确作答。
【难度系数】
0.85
15.若$\sqrt{9-n}$是整数,则满足条件的自然数$n$共有 （
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
C
）A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
答案
15.C
解析
【分析】
解题需先明确三个核心条件：一是二次根式有意义的前提是被开方数非负，由此可得到n的取值上限；二是n为自然数，因此n≥0；三是√(9-n)是整数，说明9-n是一个非负完全平方数。接下来只需列举出符合范围的所有完全平方数，求出对应的n值，统计符合要求的n的个数即可。
【解析】
第一步，根据二次根式有意义的条件，被开方数≥0，可得：
$9-n≥0$，即$n≤9$
又因为n是自然数，所以n的取值范围为$0≤ n≤9$，且n为整数。
第二步，由于$\sqrt{9-n}$是整数，因此9-n是0到9之间的非负完全平方数，符合要求的完全平方数有：0、1、4、9。
分别计算对应的n值：
当$9-n=0$时，$n=9$，符合要求；
当$9-n=1$时，$n=8$，符合要求；
当$9-n=4$时，$n=5$，符合要求；
当$9-n=9$时，$n=0$，符合要求。
综上，符合条件的自然数n共有4个。
【答案】
C
【知识点】
二次根式有意义的条件；完全平方数的概念
【点评】
本题易错点是容易遗漏完全平方数0，或者忽略自然数包含0的情况，导致少算符合条件的n值，解题时要注意全面列举所有符合范围的完全平方数，逐一验证。
【难度系数】
0.7
解题需先明确三个核心条件：一是二次根式有意义的前提是被开方数非负，由此可得到n的取值上限；二是n为自然数，因此n≥0；三是√(9-n)是整数，说明9-n是一个非负完全平方数。接下来只需列举出符合范围的所有完全平方数，求出对应的n值，统计符合要求的n的个数即可。
【解析】
第一步，根据二次根式有意义的条件，被开方数≥0，可得：
$9-n≥0$，即$n≤9$
又因为n是自然数，所以n的取值范围为$0≤ n≤9$，且n为整数。
第二步，由于$\sqrt{9-n}$是整数，因此9-n是0到9之间的非负完全平方数，符合要求的完全平方数有：0、1、4、9。
分别计算对应的n值：
当$9-n=0$时，$n=9$，符合要求；
当$9-n=1$时，$n=8$，符合要求；
当$9-n=4$时，$n=5$，符合要求；
当$9-n=9$时，$n=0$，符合要求。
综上，符合条件的自然数n共有4个。
【答案】
C
【知识点】
二次根式有意义的条件；完全平方数的概念
【点评】
本题易错点是容易遗漏完全平方数0，或者忽略自然数包含0的情况，导致少算符合条件的n值，解题时要注意全面列举所有符合范围的完全平方数，逐一验证。
【难度系数】
0.7
16. 如图所示,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AC=4$,$BC=6$,将它的锐角$A$翻折,使得点$A$落在边$BC$的中点$D$处,折痕交$AC$边于点$E$,交$AB$边于点$F$,则$DE$的长为 （
A.$2$
B.$3$
C.$\dfrac{25}{9}$
D.$\dfrac{25}{8}$
D
）A.$2$
B.$3$
C.$\dfrac{25}{9}$
D.$\dfrac{25}{8}$
答案
16.D
解析
【分析】
解题首先利用折叠的性质得到相等线段，即折叠后AE=DE，再结合D是BC中点求出CD的长度，最后在直角△ECD中设DE为未知数，用勾股定理建立方程求解即可。折叠类求线段长的核心思路是利用折叠前后对应边相等转化线段关系，再找到包含目标线段的直角三角形，用勾股定理列方程计算。
【解析】
解：
∵D是BC的中点，BC=6，
∴$CD=\frac{1}{2}BC=3$。
由折叠的性质可得：$AE=DE$，
设$DE=x$，则$AE=x$，
∵$AC=4$，
∴$EC=AC-AE=4-x$，
又
∵$∠ C=90°$，
∴在$\mathrm{Rt}△ECD$中，根据勾股定理：$EC^2+CD^2=DE^2$，
代入得：$(4-x)^2+3^2=x^2$，
展开计算：$16-8x+x^2+9=x^2$，
整理得：$25-8x=0$，
解得：$x=\frac{25}{8}$，即$DE=\frac{25}{8}$。
【答案】
D
【知识点】
折叠的性质；勾股定理；线段中点定义
【点评】
本题是几何计算的常见题型，将折叠性质与勾股定理结合考查，解题时要注意将未知线段和已知线段集中到同一个直角三角形中，通过列方程求解，是方程思想在几何问题中的典型应用。
【难度系数】
0.6
解题首先利用折叠的性质得到相等线段，即折叠后AE=DE，再结合D是BC中点求出CD的长度，最后在直角△ECD中设DE为未知数，用勾股定理建立方程求解即可。折叠类求线段长的核心思路是利用折叠前后对应边相等转化线段关系，再找到包含目标线段的直角三角形，用勾股定理列方程计算。
【解析】
解：
∵D是BC的中点，BC=6，
∴$CD=\frac{1}{2}BC=3$。
由折叠的性质可得：$AE=DE$，
设$DE=x$，则$AE=x$，
∵$AC=4$，
∴$EC=AC-AE=4-x$，
又
∵$∠ C=90°$，
∴在$\mathrm{Rt}△ECD$中，根据勾股定理：$EC^2+CD^2=DE^2$，
代入得：$(4-x)^2+3^2=x^2$，
展开计算：$16-8x+x^2+9=x^2$，
整理得：$25-8x=0$，
解得：$x=\frac{25}{8}$，即$DE=\frac{25}{8}$。
【答案】
D
【知识点】
折叠的性质；勾股定理；线段中点定义
【点评】
本题是几何计算的常见题型，将折叠性质与勾股定理结合考查，解题时要注意将未知线段和已知线段集中到同一个直角三角形中，通过列方程求解，是方程思想在几何问题中的典型应用。
【难度系数】
0.6
17. 如图所示，地面上铺了一块长方形地毯 $ABCD$，因使用时间长而变形，中间形成一个半圆柱形凸起，半圆柱的底面直径为$\frac{8}{π}\ \mathrm{m}$。已知 $AE + BF = 11\ \mathrm{m}$，$BC = 8\ \mathrm{m}$，一只蚂蚁从 $A$ 点爬到 $C$ 点，且必须翻过半圆柱形凸起，则它至少要走 $\_\_\_\_\_\_\ \mathrm{m}$ 的路程。
答案
17.17
解析
【分析】
要计算蚂蚁翻过半圆柱从A到C的最短路程，需将半圆柱的侧面展开为平面，利用“平面内两点之间线段最短”求解。首先计算半圆柱侧面展开后的半圆弧长度，它是展开后水平方向总长度的一部分；再得到展开后A、C两点所在直角三角形的两条直角边长，最后用勾股定理计算线段AC的长度即可。
【解析】
解：①先计算半圆柱底面半圆弧的长度：
已知半圆柱底面直径$d=\frac{8}{π}\ \mathrm{m}$，半圆弧长公式为$l=\frac{1}{2}π d$，代入得：
$l=\frac{1}{2}×π×\frac{8}{π}=4\ \mathrm{m}$
②将半圆柱侧面展开后，水平方向总长度为$AE+BF+l=11+4=15\ \mathrm{m}$，竖直方向边长为$BC=8\ \mathrm{m}$，此时A、C两点的最短路径为直角三角形的斜边，由勾股定理得：
最短路程$AC=\sqrt{15^2+8^2}=\sqrt{225+64}=\sqrt{289}=17\ \mathrm{m}$
【答案】
17
【知识点】
最短路径问题，圆柱侧面展开，勾股定理
【点评】
本题考查立体图形表面的最短路径计算，解题核心是将曲面展开为平面，把曲面路径转化为平面内的线段长度求解，计算时注意半圆弧长是展开后水平边长的组成部分，不要误用原EF的直线长度计算。
【难度系数】
0.6
要计算蚂蚁翻过半圆柱从A到C的最短路程，需将半圆柱的侧面展开为平面，利用“平面内两点之间线段最短”求解。首先计算半圆柱侧面展开后的半圆弧长度，它是展开后水平方向总长度的一部分；再得到展开后A、C两点所在直角三角形的两条直角边长，最后用勾股定理计算线段AC的长度即可。
【解析】
解：①先计算半圆柱底面半圆弧的长度：
已知半圆柱底面直径$d=\frac{8}{π}\ \mathrm{m}$，半圆弧长公式为$l=\frac{1}{2}π d$，代入得：
$l=\frac{1}{2}×π×\frac{8}{π}=4\ \mathrm{m}$
②将半圆柱侧面展开后，水平方向总长度为$AE+BF+l=11+4=15\ \mathrm{m}$，竖直方向边长为$BC=8\ \mathrm{m}$，此时A、C两点的最短路径为直角三角形的斜边，由勾股定理得：
最短路程$AC=\sqrt{15^2+8^2}=\sqrt{225+64}=\sqrt{289}=17\ \mathrm{m}$
【答案】
17
【知识点】
最短路径问题，圆柱侧面展开，勾股定理
【点评】
本题考查立体图形表面的最短路径计算，解题核心是将曲面展开为平面，把曲面路径转化为平面内的线段长度求解，计算时注意半圆弧长是展开后水平边长的组成部分，不要误用原EF的直线长度计算。
【难度系数】
0.6
