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10.如图所示的是男生宿舍的一个可伸缩衣架，这个衣架可以看作由三个菱形组成，我们将其中一个记为菱形ABCD.小宇测得这个菱形的对角线$AC=8\ \mathrm{cm}$，$BD=16\ \mathrm{cm}$，则这个菱形的面积为$\underline{\hspace{3em}}$.
答案
10.$64\ \mathrm{cm^2}$
解析
【分析】
解题时首先回忆菱形的面积计算方法，已知条件给出了菱形两条对角线的长度，对应菱形面积等于两条对角线乘积的一半这一公式，直接代入数值计算即可得到结果。
【解析】
菱形的面积计算公式为：$S=\frac{1}{2} × 对角线1 × 对角线2$
已知菱形的对角线$AC=8\ \mathrm{cm}$，$BD=16\ \mathrm{cm}$，代入公式得：
$S=\frac{1}{2} × AC × BD=\frac{1}{2} × 8 × 16=64\ \mathrm{cm^2}$
【答案】
$64\ \mathrm{cm^2}$
【知识点】
菱形的面积计算
【点评】
本题是基础计算题，主要考查菱形面积公式的应用，熟练掌握菱形用对角线求面积的公式即可快速求解。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆菱形的面积计算方法，已知条件给出了菱形两条对角线的长度，对应菱形面积等于两条对角线乘积的一半这一公式，直接代入数值计算即可得到结果。
【解析】
菱形的面积计算公式为：$S=\frac{1}{2} × 对角线1 × 对角线2$
已知菱形的对角线$AC=8\ \mathrm{cm}$，$BD=16\ \mathrm{cm}$，代入公式得：
$S=\frac{1}{2} × AC × BD=\frac{1}{2} × 8 × 16=64\ \mathrm{cm^2}$
【答案】
$64\ \mathrm{cm^2}$
【知识点】
菱形的面积计算
【点评】
本题是基础计算题，主要考查菱形面积公式的应用，熟练掌握菱形用对角线求面积的公式即可快速求解。
【难度系数】
0.9
11. 计算：
(1)$\dfrac{\sqrt{8}+\sqrt{18}}{\sqrt{2}} - \sqrt{16}$；
(2)$(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)+(\sqrt{3}-2)^2$。
(1)$\dfrac{\sqrt{8}+\sqrt{18}}{\sqrt{2}} - \sqrt{16}$；
(2)$(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)+(\sqrt{3}-2)^2$。
答案
11.解:(1)$\dfrac{\sqrt{8}+\sqrt{18}}{\sqrt{2}}-\sqrt{16}=\dfrac{2\sqrt{2}+3\sqrt{2}}{\sqrt{2}}-4=\dfrac{5\sqrt{2}}{\sqrt{2}}-4=5-4=1$.
(2)$(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)+(\sqrt{3}-2)^2=2-1+3+4-4\sqrt{3}=8-4\sqrt{3}$.
(2)$(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)+(\sqrt{3}-2)^2=2-1+3+4-4\sqrt{3}=8-4\sqrt{3}$.
解析
【分析】
(1) 第一个算式的解题思路：第一步先将分子中的$\sqrt{8}$、$\sqrt{18}$化为最简二次根式，第二步合并分子里的同类二次根式，第三步计算二次根式的除法，第四步算出$\sqrt{16}$的结果，最后做减法得到答案。
(2) 第二个算式的解题思路：第一步观察到$(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)$符合平方差公式结构，$(\sqrt{3}-2)^2$符合完全平方公式结构，分别用两个乘法公式展开计算，第二步合并所有常数项和同类二次根式，即可得到结果。
【解析】
(1) 先化简各二次根式：
$\dfrac{\sqrt{8}+\sqrt{18}}{\sqrt{2}} - \sqrt{16}=\dfrac{2\sqrt{2}+3\sqrt{2}}{\sqrt{2}}-4$
合并分子的同类二次根式：
$=\dfrac{5\sqrt{2}}{\sqrt{2}}-4$
计算除法和减法：
$=5-4=1$
(2) 分别用平方差公式和完全平方公式展开：
$(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)+(\sqrt{3}-2)^2=[(\sqrt{2})^2-1^2]+[(\sqrt{3})^2-2×\sqrt{3}×2+2^2]$
计算各项展开结果：
$=(2-1)+(3-4\sqrt{3}+4)$
合并同类项：
$=1+3+4-4\sqrt{3}=8-4\sqrt{3}$
【答案】
(1) $\boxed{1}$；(2) $\boxed{8-4\sqrt{3}}$
【知识点】
二次根式化简；二次根式混合运算；乘法公式应用
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题型，核心考察对二次根式化简规则和平方差、完全平方公式的掌握程度，计算时注意完全平方展开不要漏了中间的交叉项，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.8
(1) 第一个算式的解题思路：第一步先将分子中的$\sqrt{8}$、$\sqrt{18}$化为最简二次根式，第二步合并分子里的同类二次根式，第三步计算二次根式的除法，第四步算出$\sqrt{16}$的结果，最后做减法得到答案。
(2) 第二个算式的解题思路：第一步观察到$(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)$符合平方差公式结构，$(\sqrt{3}-2)^2$符合完全平方公式结构，分别用两个乘法公式展开计算，第二步合并所有常数项和同类二次根式，即可得到结果。
【解析】
(1) 先化简各二次根式：
$\dfrac{\sqrt{8}+\sqrt{18}}{\sqrt{2}} - \sqrt{16}=\dfrac{2\sqrt{2}+3\sqrt{2}}{\sqrt{2}}-4$
合并分子的同类二次根式：
$=\dfrac{5\sqrt{2}}{\sqrt{2}}-4$
计算除法和减法：
$=5-4=1$
(2) 分别用平方差公式和完全平方公式展开：
$(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)+(\sqrt{3}-2)^2=[(\sqrt{2})^2-1^2]+[(\sqrt{3})^2-2×\sqrt{3}×2+2^2]$
计算各项展开结果：
$=(2-1)+(3-4\sqrt{3}+4)$
合并同类项：
$=1+3+4-4\sqrt{3}=8-4\sqrt{3}$
【答案】
(1) $\boxed{1}$；(2) $\boxed{8-4\sqrt{3}}$
【知识点】
二次根式化简；二次根式混合运算；乘法公式应用
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题型，核心考察对二次根式化简规则和平方差、完全平方公式的掌握程度，计算时注意完全平方展开不要漏了中间的交叉项，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.8
12. 如图所示，已知$□ ABCD$的对角线$AC$，$BD$相交于点$O$，$AC⊥ AB$，$AC=10$，$BD=26$.
(1)求$AB$的长；
(2)求$□ ABCD$的面积.
(1)求$AB$的长；
(2)求$□ ABCD$的面积.
答案
12.解:(1)$∵$四边形$ABCD$是平行四边形,$AC=10,BD=26$,
$∴OA=OC=\dfrac{1}{2}AC=5,OB=OD=\dfrac{1}{2}BD=13$.
$∵AC⊥AB,∴∠BAO=90°$.
在$\mathrm{Rt}△BAO$中,由勾股定理,得$AB=\sqrt{OB^2-OA^2}=\sqrt{13^2-5^2}=12$,
$∴AB$的长为12.
(2)$∵AC⊥AB,∴□ABCD$的面积$=AB·AC=12×10=120$.
$∴OA=OC=\dfrac{1}{2}AC=5,OB=OD=\dfrac{1}{2}BD=13$.
$∵AC⊥AB,∴∠BAO=90°$.
在$\mathrm{Rt}△BAO$中,由勾股定理,得$AB=\sqrt{OB^2-OA^2}=\sqrt{13^2-5^2}=12$,
$∴AB$的长为12.
(2)$∵AC⊥AB,∴□ABCD$的面积$=AB·AC=12×10=120$.
解析
【分析】
本题可分两步求解：(1)求AB的长：首先回忆平行四边形对角线的性质，对角线互相平分，因此可先由已知的AC、BD长度求出OA、OB的长度；又已知AC⊥AB，可得△BAO是直角三角形，最后利用勾股定理即可求出AB的长度。(2)求平行四边形的面积：平行四边形的面积公式为底×对应高，由AC⊥AB可知，AB为底时AC就是对应的高，代入AB和AC的数值计算即可。
【解析】
(1)
∵四边形ABCD是平行四边形，AC=10，BD=26，
∴根据平行四边形对角线互相平分的性质，可得$OA=OC=\dfrac{1}{2}AC=5$，$OB=OD=\dfrac{1}{2}BD=13$。
∵AC⊥AB，
∴∠BAO=90°，即△BAO是直角三角形。
在Rt△BAO中，由勾股定理，可得：
$AB=\sqrt{OB^2-OA^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12$，
即AB的长为12。
(2)
∵AC⊥AB，即平行四边形ABCD中，边AB上的高为AC的长度，
∴$S_{□ ABCD}=AB·AC=12×10=120$。
【答案】
(1)12；(2)120
【知识点】
平行四边形的性质，勾股定理，平行四边形面积计算
【点评】
本题是几何基础计算题，解题的关键是熟练运用平行四边形对角线互相平分的性质，结合直角三角形的勾股定理求出未知边长，计算面积时要找准底和对应的高，避免错用边长计算。
【难度系数】
0.8
本题可分两步求解：(1)求AB的长：首先回忆平行四边形对角线的性质，对角线互相平分，因此可先由已知的AC、BD长度求出OA、OB的长度；又已知AC⊥AB，可得△BAO是直角三角形，最后利用勾股定理即可求出AB的长度。(2)求平行四边形的面积：平行四边形的面积公式为底×对应高，由AC⊥AB可知，AB为底时AC就是对应的高，代入AB和AC的数值计算即可。
【解析】
(1)
∵四边形ABCD是平行四边形，AC=10，BD=26，
∴根据平行四边形对角线互相平分的性质，可得$OA=OC=\dfrac{1}{2}AC=5$，$OB=OD=\dfrac{1}{2}BD=13$。
∵AC⊥AB，
∴∠BAO=90°，即△BAO是直角三角形。
在Rt△BAO中，由勾股定理，可得：
$AB=\sqrt{OB^2-OA^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12$，
即AB的长为12。
(2)
∵AC⊥AB，即平行四边形ABCD中，边AB上的高为AC的长度，
∴$S_{□ ABCD}=AB·AC=12×10=120$。
【答案】
(1)12；(2)120
【知识点】
平行四边形的性质，勾股定理，平行四边形面积计算
【点评】
本题是几何基础计算题，解题的关键是熟练运用平行四边形对角线互相平分的性质，结合直角三角形的勾股定理求出未知边长，计算面积时要找准底和对应的高，避免错用边长计算。
【难度系数】
0.8
13. 如图所示，施工队正在沿公路AB修路，学校在公路附近的点C处，点C与点A，B的距离分别为150 m和200 m，AB＝250 m，施工场地周围130 m以内的区域将受噪声影响。
(1)求∠ACB的度数。
(2)学校会受噪声影响吗？为什么？
(1)求∠ACB的度数。
(2)学校会受噪声影响吗？为什么？
答案
13.解:(1)$∵AC=150\ \mathrm{m},BC=200\ \mathrm{m},AB=250\ \mathrm{m}$,
$∴AC^2+BC^2=150^2+200^2=62\ 500=250^2=AB^2$.
$∴△ABC$是直角三角形,且$∠ACB=90°$.
(2)学校会受噪声影响.理由如下:
如图所示,过点$C$作$CD⊥AB$于点$D$,则$S_{△ABC}=\dfrac{1}{2}AC·BC=\dfrac{1}{2}AB·CD$,
$∴\dfrac{1}{2}×150×200=\dfrac{1}{2}×250·CD.∴CD=120\ \mathrm{m}$.
$∵$施工场地周围130 m以内的区域将受噪声影响,$120＜130,∴$学校会受噪声影响.
$∴AC^2+BC^2=150^2+200^2=62\ 500=250^2=AB^2$.
$∴△ABC$是直角三角形,且$∠ACB=90°$.
(2)学校会受噪声影响.理由如下:
如图所示,过点$C$作$CD⊥AB$于点$D$,则$S_{△ABC}=\dfrac{1}{2}AC·BC=\dfrac{1}{2}AB·CD$,
$∴\dfrac{1}{2}×150×200=\dfrac{1}{2}×250·CD.∴CD=120\ \mathrm{m}$.
$∵$施工场地周围130 m以内的区域将受噪声影响,$120＜130,∴$学校会受噪声影响.
解析
【分析】
(1) 要求∠ACB的度数，已知△ABC三边的长度，可运用勾股定理的逆定理判断：若三角形两条短边的平方和等于最长边的平方，该三角形为直角三角形，最长边所对的角为直角。我们只需计算AC²+BC²是否等于AB²，即可判断三角形形状，得到∠ACB的度数。
(2) 判断学校是否受噪声影响，本质是求点C到直线AB的最短距离，再和130m比较：若距离小于130m则受影响，反之不受。可通过等面积法求直角三角形斜边上的高：直角三角形面积既可以用两条直角边乘积的一半计算，也可以用斜边乘斜边上高的一半计算，联立即可算出点C到AB的距离，再和130m比较即可。
【解析】
(1) 已知$AC=150\ \mathrm{m},BC=200\ \mathrm{m},AB=250\ \mathrm{m}$，
计算得：$AC^2+BC^2=150^2+200^2=22500+40000=62500$，
$AB^2=250^2=62500$，
因此$AC^2+BC^2=AB^2$，
根据勾股定理的逆定理可知，$△ ABC$是直角三角形，且AB为最长边，所以$∠ ACB=90°$。
(2) 学校会受噪声影响，理由如下：
过点$C$作$CD⊥ AB$于点$D$，$CD$即为点$C$到直线$AB$的最短距离。
$△ ABC$的面积可表示为$S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}AC·BC$，也可表示为$S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}AB·CD$，
因此可得等式：$\dfrac{1}{2}×150×200=\dfrac{1}{2}×250·CD$，
化简计算得$CD=120\ \mathrm{m}$。
已知施工噪声影响范围是周围130m以内，因为$120＜130$，所以学校会受噪声影响。
【答案】
(1) $∠ ACB=90°$；
(2) 学校会受噪声影响，因为点C到AB的最短距离为120m，小于130m的噪声影响范围。
【知识点】
勾股定理的逆定理，等面积法求高，点到直线的距离
【点评】
本题结合生活实际场景考查几何知识的应用，解题逻辑清晰，先通过勾股定理逆定理判断三角形形状，再用等面积法求出点到直线的距离，和影响范围对比即可得到结论，注重对基础定理和常用方法的应用考查。
【难度系数】
0.8
(1) 要求∠ACB的度数，已知△ABC三边的长度，可运用勾股定理的逆定理判断：若三角形两条短边的平方和等于最长边的平方，该三角形为直角三角形，最长边所对的角为直角。我们只需计算AC²+BC²是否等于AB²，即可判断三角形形状，得到∠ACB的度数。
(2) 判断学校是否受噪声影响，本质是求点C到直线AB的最短距离，再和130m比较：若距离小于130m则受影响，反之不受。可通过等面积法求直角三角形斜边上的高：直角三角形面积既可以用两条直角边乘积的一半计算，也可以用斜边乘斜边上高的一半计算，联立即可算出点C到AB的距离，再和130m比较即可。
【解析】
(1) 已知$AC=150\ \mathrm{m},BC=200\ \mathrm{m},AB=250\ \mathrm{m}$，
计算得：$AC^2+BC^2=150^2+200^2=22500+40000=62500$，
$AB^2=250^2=62500$，
因此$AC^2+BC^2=AB^2$，
根据勾股定理的逆定理可知，$△ ABC$是直角三角形，且AB为最长边，所以$∠ ACB=90°$。
(2) 学校会受噪声影响，理由如下：
过点$C$作$CD⊥ AB$于点$D$，$CD$即为点$C$到直线$AB$的最短距离。
$△ ABC$的面积可表示为$S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}AC·BC$，也可表示为$S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}AB·CD$，
因此可得等式：$\dfrac{1}{2}×150×200=\dfrac{1}{2}×250·CD$，
化简计算得$CD=120\ \mathrm{m}$。
已知施工噪声影响范围是周围130m以内，因为$120＜130$，所以学校会受噪声影响。
【答案】
(1) $∠ ACB=90°$；
(2) 学校会受噪声影响，因为点C到AB的最短距离为120m，小于130m的噪声影响范围。
【知识点】
勾股定理的逆定理，等面积法求高，点到直线的距离
【点评】
本题结合生活实际场景考查几何知识的应用，解题逻辑清晰，先通过勾股定理逆定理判断三角形形状，再用等面积法求出点到直线的距离，和影响范围对比即可得到结论，注重对基础定理和常用方法的应用考查。
【难度系数】
0.8
