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13. 二十四节气基本概括了一年中四季交替的准确时间以及大自然中一些物候等自然现象发生的规律。如图，若从二十四个节气中选一个节气，则抽到的节气在夏季的概率为 （
A.$\frac{1}{24}$
B.$\frac{1}{12}$
C.$\frac{1}{6}$
D.$\frac{1}{4}$
D
）A.$\frac{1}{24}$
B.$\frac{1}{12}$
C.$\frac{1}{6}$
D.$\frac{1}{4}$
答案
13.D
解析
【分析】
要计算抽到夏季节气的概率，需遵循等可能事件概率的计算逻辑：概率等于符合要求的结果数除以所有等可能的总结果数。首先明确抽取的总情况：24个节气中任选1个，共24种等可能结果；接下来数出属于夏季的节气数量，最后代入公式计算即可。
【解析】
解：从24个节气中随机抽取1个，共有24种等可能的结果。
观察题图可得，夏季的节气有立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑，共6种符合要求的结果。
根据概率公式：$P(抽到夏季节气)=\frac{符合条件的结果数}{所有等可能的结果数}=\frac{6}{24}=\frac{1}{4}$。
【答案】
D
【知识点】
简单概率计算，等可能事件
【点评】
本题结合二十四节气的传统文化常识考查概率的基础计算，解题的核心是准确统计夏季的节气数量，再代入概率公式求解，出题形式新颖，注重知识与生活常识的结合。
【难度系数】
0.8
要计算抽到夏季节气的概率，需遵循等可能事件概率的计算逻辑：概率等于符合要求的结果数除以所有等可能的总结果数。首先明确抽取的总情况：24个节气中任选1个，共24种等可能结果；接下来数出属于夏季的节气数量，最后代入公式计算即可。
【解析】
解：从24个节气中随机抽取1个，共有24种等可能的结果。
观察题图可得，夏季的节气有立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑，共6种符合要求的结果。
根据概率公式：$P(抽到夏季节气)=\frac{符合条件的结果数}{所有等可能的结果数}=\frac{6}{24}=\frac{1}{4}$。
【答案】
D
【知识点】
简单概率计算，等可能事件
【点评】
本题结合二十四节气的传统文化常识考查概率的基础计算，解题的核心是准确统计夏季的节气数量，再代入概率公式求解，出题形式新颖，注重知识与生活常识的结合。
【难度系数】
0.8
14.一个暗箱里有$ a $个除颜色外其他完全相同的球，其中只有3个红球，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回暗箱。通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在25%左右，那么可以推算出$ a= $
12
。答案
14.12
解析
【分析】
这道题我们可以利用频率和概率的关系来求解：首先，大量重复试验时，事件发生的频率会稳定在对应的概率附近，因此摸到红球的频率25%就可以近似看作摸到红球的概率。其次，根据概率的计算公式，摸到红球的概率等于红球的个数除以球的总个数，我们可以据此列出关于a的方程，解方程就能求出a的值。
【解析】
解：
∵大量重复摸球试验后，摸到红球的频率稳定在25%左右，
∴摸到红球的概率约为25%。
根据概率计算公式：$\mathrm{P(摸到红球)}=\frac{\mathrm{红球个数}}{\mathrm{球的总个数}}$，代入已知数据可得：
$\frac{3}{a}=25\%$
解得：$a=3÷25\%=12$
经检验，$a=12$时，原方程分母不为0，符合实际意义。
【答案】
12
【知识点】
频率估计概率，概率计算，解方程
【点评】
本题是统计与概率部分的基础常考题，解题核心是掌握“大量重复试验中，频率可近似作为事件发生的概率”这一结论，再结合概率公式列方程求解即可，整体计算量小，容易得分。
【难度系数】
0.8
这道题我们可以利用频率和概率的关系来求解：首先，大量重复试验时，事件发生的频率会稳定在对应的概率附近，因此摸到红球的频率25%就可以近似看作摸到红球的概率。其次，根据概率的计算公式，摸到红球的概率等于红球的个数除以球的总个数，我们可以据此列出关于a的方程，解方程就能求出a的值。
【解析】
解：
∵大量重复摸球试验后，摸到红球的频率稳定在25%左右，
∴摸到红球的概率约为25%。
根据概率计算公式：$\mathrm{P(摸到红球)}=\frac{\mathrm{红球个数}}{\mathrm{球的总个数}}$，代入已知数据可得：
$\frac{3}{a}=25\%$
解得：$a=3÷25\%=12$
经检验，$a=12$时，原方程分母不为0，符合实际意义。
【答案】
12
【知识点】
频率估计概率，概率计算，解方程
【点评】
本题是统计与概率部分的基础常考题，解题核心是掌握“大量重复试验中，频率可近似作为事件发生的概率”这一结论，再结合概率公式列方程求解即可，整体计算量小，容易得分。
【难度系数】
0.8
15.某学习小组做抛掷一枚瓶盖的试验，整理的试验数据如下表：
下面有三个推断：
①通过上述试验的数据，可以推断这枚瓶盖有很大的可能性不是质地均匀的；
②第2 000次试验的结果一定是“盖面朝上”；
③随着试验次数的增大，“盖面朝上”的频率接近0.53。
其中正确的是
下面有三个推断：
①通过上述试验的数据，可以推断这枚瓶盖有很大的可能性不是质地均匀的；
②第2 000次试验的结果一定是“盖面朝上”；
③随着试验次数的增大，“盖面朝上”的频率接近0.53。
其中正确的是
①③
。（填序号）答案
15.①③
解析
【分析】
要判断三个推断是否正确，我们可以结合频率和概率的相关知识思考：
1. 首先明确规律：当大量重复做同一个试验时，事件发生的频率会逐渐稳定在某个常数附近，这个常数就是该事件发生的概率，我们可以用频率来估计概率。
2. 逐一分析三个推断：
① 如果瓶盖质地均匀，那么盖面朝上和朝下的概率应该相等，都接近0.5，我们可以结合表格里的频率稳定值判断瓶盖是否均匀；
② 抛掷瓶盖是随机事件，单次试验的结果是不确定的，不能说某一次的结果一定是固定的；
③ 观察表格中随着抛掷次数增加，频率的变化趋势，就能判断是否接近0.53。
【解析】
我们逐个分析三个推断：
① 观察表格数据，随着抛掷次数不断增加，盖面朝上的频率稳定在0.53左右，明显偏离0.5，如果瓶盖质地均匀，盖面朝上的概率应接近0.5，因此可以推断这枚瓶盖有很大可能性不是质地均匀的，①正确；
② 每次抛掷瓶盖的结果都是随机的，第2000次试验的结果可能是盖面朝上，也可能是盖面朝下，“一定是盖面朝上”的说法错误，故②错误；
③ 从表格数据可以看出，累计抛掷次数越大，盖面朝上的频率逐渐稳定在0.53附近，即随着试验次数的增大，“盖面朝上”的频率接近0.53，③正确。
【答案】
①③
【知识点】
用频率估计概率，随机事件的特点
【点评】
本题考查概率初步的相关知识，重点是理解大量重复试验下频率的稳定性，同时要注意单次随机试验的结果具有不确定性，不能用频率的稳定性来判定单次试验的结果。
【难度系数】
0.7
要判断三个推断是否正确，我们可以结合频率和概率的相关知识思考：
1. 首先明确规律：当大量重复做同一个试验时，事件发生的频率会逐渐稳定在某个常数附近，这个常数就是该事件发生的概率，我们可以用频率来估计概率。
2. 逐一分析三个推断：
① 如果瓶盖质地均匀，那么盖面朝上和朝下的概率应该相等，都接近0.5，我们可以结合表格里的频率稳定值判断瓶盖是否均匀；
② 抛掷瓶盖是随机事件，单次试验的结果是不确定的，不能说某一次的结果一定是固定的；
③ 观察表格中随着抛掷次数增加，频率的变化趋势，就能判断是否接近0.53。
【解析】
我们逐个分析三个推断：
① 观察表格数据，随着抛掷次数不断增加，盖面朝上的频率稳定在0.53左右，明显偏离0.5，如果瓶盖质地均匀，盖面朝上的概率应接近0.5，因此可以推断这枚瓶盖有很大可能性不是质地均匀的，①正确；
② 每次抛掷瓶盖的结果都是随机的，第2000次试验的结果可能是盖面朝上，也可能是盖面朝下，“一定是盖面朝上”的说法错误，故②错误；
③ 从表格数据可以看出，累计抛掷次数越大，盖面朝上的频率逐渐稳定在0.53附近，即随着试验次数的增大，“盖面朝上”的频率接近0.53，③正确。
【答案】
①③
【知识点】
用频率估计概率，随机事件的特点
【点评】
本题考查概率初步的相关知识，重点是理解大量重复试验下频率的稳定性，同时要注意单次随机试验的结果具有不确定性，不能用频率的稳定性来判定单次试验的结果。
【难度系数】
0.7
16.让书香浸润人生，让阅读成为习惯。为了吸引更多阅读爱好者，某书店设立了一个可以自由转动的转盘(如图，转盘被平均分成12等份)，并规定：顾客每购买100元的图书，就可获得一次转动转盘的机会，如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色、绿色区域(若指针恰好指在分割线上，则重转一次，直到指针指向某一扇形区域为止)，那么顾客就可以分别获得50元、30元、20元的购书券，凭购书券可以在书店继续购书。
(1)甲顾客购书120元，可转动一次转盘，求他获得50元购书券的概率；
(2)乙顾客购书360元，可获得
(1)甲顾客购书120元，可转动一次转盘，求他获得50元购书券的概率；
(2)乙顾客购书360元，可获得
3
次转动转盘的机会，求任意转动一次转盘，获得购书券的概率。答案
16.解:(1)因为转盘被平均分成 12 等份,共有 12 种等可能的情况,其中红色占 2 份，
所以他获得 50 元购书券的概率是$\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。
(2)故答案为 3。
因为转盘被平均分成 12 等份,共有 12 种等可能的情况,其中红色占 2 份,黄色占 2 份,绿色占 2 份,
所以任意转动一次转盘获得购书券的概率是$\frac{2+2+2}{12}=\frac{1}{2}$。
所以他获得 50 元购书券的概率是$\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。
(2)故答案为 3。
因为转盘被平均分成 12 等份,共有 12 种等可能的情况,其中红色占 2 份,黄色占 2 份,绿色占 2 份,
所以任意转动一次转盘获得购书券的概率是$\frac{2+2+2}{12}=\frac{1}{2}$。
解析
【分析】
(1) 本题属于等可能事件的概率计算问题，转盘被平均分为12等份，指针指向每一份的可能性相同。获得50元购书券对应指针落在红色区域，因此只需先确定红色区域的份数，再用红色区域份数除以总份数，即可得到对应概率。
(2) 首先根据“每100元获得1次转动机会”的规则，计算360元可获得的转动次数；求转动一次获得购书券的概率时，先统计红色、黄色、绿色区域的总份数，再用总份数除以转盘总份数即可。
【解析】
解：(1) 转盘被平均分成12等份，转动一次转盘共有12种等可能的情况，其中红色区域占2份，
所以获得50元购书券的概率为 $\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。
(2) 每购买100元图书可获得1次转动转盘的机会，$360÷100=3······60$，因此乙顾客可获得3次转动机会。
转盘被平均分成12等份，转动一次共有12种等可能的情况，其中红色占2份、黄色占2份、绿色占2份，能获得购书券的情况共$2+2+2=6$种，
所以任意转动一次转盘获得购书券的概率为 $\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$。
【答案】
(1) $\frac{1}{6}$；(2) $3$，$\frac{1}{2}$
【知识点】
简单概率计算，等可能事件，概率的实际应用
【点评】
本题结合生活消费场景考查概率的基础计算，解题关键是准确找到总等可能情况数和符合条件的情况数，只要细心统计各颜色区域的份数即可正确作答。
【难度系数】
0.8
(1) 本题属于等可能事件的概率计算问题，转盘被平均分为12等份，指针指向每一份的可能性相同。获得50元购书券对应指针落在红色区域，因此只需先确定红色区域的份数，再用红色区域份数除以总份数，即可得到对应概率。
(2) 首先根据“每100元获得1次转动机会”的规则，计算360元可获得的转动次数；求转动一次获得购书券的概率时，先统计红色、黄色、绿色区域的总份数，再用总份数除以转盘总份数即可。
【解析】
解：(1) 转盘被平均分成12等份，转动一次转盘共有12种等可能的情况，其中红色区域占2份，
所以获得50元购书券的概率为 $\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。
(2) 每购买100元图书可获得1次转动转盘的机会，$360÷100=3······60$，因此乙顾客可获得3次转动机会。
转盘被平均分成12等份，转动一次共有12种等可能的情况，其中红色占2份、黄色占2份、绿色占2份，能获得购书券的情况共$2+2+2=6$种，
所以任意转动一次转盘获得购书券的概率为 $\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$。
【答案】
(1) $\frac{1}{6}$；(2) $3$，$\frac{1}{2}$
【知识点】
简单概率计算，等可能事件，概率的实际应用
【点评】
本题结合生活消费场景考查概率的基础计算，解题关键是准确找到总等可能情况数和符合条件的情况数，只要细心统计各颜色区域的份数即可正确作答。
【难度系数】
0.8
