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12.如图,在$4×4$的正方形网格中,阴影部分是由2个小正方形组成的图形,请你分别在下图方格内再涂2个小正方形,使这4个小正方形组成的图形满足:图①有且只有一条对称轴;图②有且只有两条对称轴;图③有且只有四条对称轴。
答案
12.解:如图(答案不唯一)。
解析
【分析】
解题首先要明确轴对称图形和对称轴的定义：沿某条直线折叠后，直线两侧的部分能完全重合的图形是轴对称图形，这条直线就是对称轴。解题思路如下：1. 针对图①要求仅1条对称轴：先选定1条直线作为唯一对称轴，补涂的2个小正方形要和原有阴影共同关于这条直线对称，同时确保不存在其他可作为对称轴的直线；2. 针对图②要求仅2条对称轴：选定2条互相垂直的直线作为对称轴，补涂的小正方形要让整个阴影图形关于这两条直线都对称，且没有额外的对称轴；3. 针对图③要求4条对称轴：正方形本身有4条对称轴（水平中线、竖直中线、两条对角线），补涂后阴影图形要关于这4条直线都对称即可。注意答案不唯一，只要满足对称轴数量要求就正确。
【解析】
我们按照对称轴数量要求分别设计：
1. 图①：补涂第三行第二列、第四行第一列的小正方形，此时整个阴影图形仅能沿过第1、2列中间的竖直直线对折重合，没有其他对称轴，符合有且只有1条对称轴的要求；
2. 图②：补涂第三行第三列、第四行第四列的小正方形，此时整个阴影图形仅能沿左上-右下对角线、右上-左下对角线对折重合，没有其他对称轴，符合有且只有2条对称轴的要求；
3. 图③：补涂第一行第二列、第二行第一列的小正方形，此时阴影为左上角2×2的正方形，能沿原4×4网格的水平中线、竖直中线、两条对角线对折重合，共4条对称轴，符合要求。
注：答案不唯一，只要满足对应对称轴数量要求均正确。
【答案】
如图(答案不唯一)。
【知识点】
轴对称图形；对称轴识别；图案设计
【点评】
本题是开放性设计类题目，核心考查对轴对称图形相关概念的理解和灵活运用，需要结合对称轴数量的要求自主构造图形，解题时可以先确定对称轴位置再补涂阴影，降低解题难度。
【难度系数】
0.7
解题首先要明确轴对称图形和对称轴的定义：沿某条直线折叠后，直线两侧的部分能完全重合的图形是轴对称图形，这条直线就是对称轴。解题思路如下：1. 针对图①要求仅1条对称轴：先选定1条直线作为唯一对称轴，补涂的2个小正方形要和原有阴影共同关于这条直线对称，同时确保不存在其他可作为对称轴的直线；2. 针对图②要求仅2条对称轴：选定2条互相垂直的直线作为对称轴，补涂的小正方形要让整个阴影图形关于这两条直线都对称，且没有额外的对称轴；3. 针对图③要求4条对称轴：正方形本身有4条对称轴（水平中线、竖直中线、两条对角线），补涂后阴影图形要关于这4条直线都对称即可。注意答案不唯一，只要满足对称轴数量要求就正确。
【解析】
我们按照对称轴数量要求分别设计：
1. 图①：补涂第三行第二列、第四行第一列的小正方形，此时整个阴影图形仅能沿过第1、2列中间的竖直直线对折重合，没有其他对称轴，符合有且只有1条对称轴的要求；
2. 图②：补涂第三行第三列、第四行第四列的小正方形，此时整个阴影图形仅能沿左上-右下对角线、右上-左下对角线对折重合，没有其他对称轴，符合有且只有2条对称轴的要求；
3. 图③：补涂第一行第二列、第二行第一列的小正方形，此时阴影为左上角2×2的正方形，能沿原4×4网格的水平中线、竖直中线、两条对角线对折重合，共4条对称轴，符合要求。
注：答案不唯一，只要满足对应对称轴数量要求均正确。
【答案】
如图(答案不唯一)。
【知识点】
轴对称图形；对称轴识别；图案设计
【点评】
本题是开放性设计类题目，核心考查对轴对称图形相关概念的理解和灵活运用，需要结合对称轴数量的要求自主构造图形，解题时可以先确定对称轴位置再补涂阴影，降低解题难度。
【难度系数】
0.7
13.如图，已知△ABC的周长是20 cm，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，OD⊥BC于点D。若OD=4 cm，则△ABC的面积是（
A.24 cm²
B.27 cm²
C.40 cm²
D.33 cm²
C
）A.24 cm²
B.27 cm²
C.40 cm²
D.33 cm²
答案
13.C
解析
【分析】
首先看到点O是∠ABC和∠ACB的角平分线交点，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可推出点O到△ABC三边AB、BC、AC的距离相等，都等于OD=4cm。接下来我们可以用割补法，把△ABC的面积拆分成△OAB、△OBC、△OAC三个小三角形的面积之和，三个小三角形的高均为4cm，底的和正好是△ABC的周长，代入面积公式即可计算出结果。
【解析】
过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F。
∵BO平分∠ABC，OD⊥BC，OE⊥AB，
∴OE=OD=4cm（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
同理，
∵CO平分∠ACB，OD⊥BC，OF⊥AC，
∴OF=OD=4cm。
△ABC的面积等于三个小三角形面积之和：
$S_{△ ABC}=S_{△ OAB}+S_{△ OBC}+S_{△ OAC}$
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，代入得：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×AB×OE+\frac{1}{2}×BC×OD+\frac{1}{2}×AC×OF$
∵OE=OF=OD=4cm，且△ABC周长$AB+BC+AC=20\mathrm{cm}$，
∴$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×4×(AB+BC+AC)=\frac{1}{2}×4×20=40\mathrm{cm}^2$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的性质；三角形面积计算；割补法求面积
【点评】
本题的核心是利用角平分线的性质得到点O到三角形三边的距离相等，再通过割补法将大三角形面积转化为三个同高的小三角形面积之和，结合周长条件整体计算，无需单独求解各边长度，大幅简化了计算过程。
【难度系数】
0.65
首先看到点O是∠ABC和∠ACB的角平分线交点，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可推出点O到△ABC三边AB、BC、AC的距离相等，都等于OD=4cm。接下来我们可以用割补法，把△ABC的面积拆分成△OAB、△OBC、△OAC三个小三角形的面积之和，三个小三角形的高均为4cm，底的和正好是△ABC的周长，代入面积公式即可计算出结果。
【解析】
过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F。
∵BO平分∠ABC，OD⊥BC，OE⊥AB，
∴OE=OD=4cm（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
同理，
∵CO平分∠ACB，OD⊥BC，OF⊥AC，
∴OF=OD=4cm。
△ABC的面积等于三个小三角形面积之和：
$S_{△ ABC}=S_{△ OAB}+S_{△ OBC}+S_{△ OAC}$
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，代入得：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×AB×OE+\frac{1}{2}×BC×OD+\frac{1}{2}×AC×OF$
∵OE=OF=OD=4cm，且△ABC周长$AB+BC+AC=20\mathrm{cm}$，
∴$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×4×(AB+BC+AC)=\frac{1}{2}×4×20=40\mathrm{cm}^2$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的性质；三角形面积计算；割补法求面积
【点评】
本题的核心是利用角平分线的性质得到点O到三角形三边的距离相等，再通过割补法将大三角形面积转化为三个同高的小三角形面积之和，结合周长条件整体计算，无需单独求解各边长度，大幅简化了计算过程。
【难度系数】
0.65
14.如图，在$2×2$的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1。请分别在下列正方形网格中画出3个位置不同、顶点都在格点(小正方形的顶点)上的三角形，使其与$△ ABC$组成轴对称图形，并指出这样的格点三角形共有多少个。
答案
14.解:如图,作任意3种即可。
这样的格点三角形共有5个。
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确轴对称的概念：若两个图形沿某条直线折叠后能够完全重合，则这两个图形关于这条直线成轴对称。解题思路分为两步：①先确定2×2网格中所有可能作为对称轴的直线，包括网格的横向中线、纵向中线、大正方形的两条对角线等；②分别作出△ABC关于每条对称轴的对称图形，检查对称图形的顶点是否都在格点上，排除位置重复的图形，统计符合要求的总数，最后任选3个画出即可。
【解析】
首先观察△ABC的特征：在边长为1的2×2网格中，△ABC是直角三角形，BC=2，AC=1，∠C为直角。
我们按照对称轴的不同分类逐一作图验证：
1. 以网格竖直方向的中线为对称轴作△ABC的对称图形，所得三角形顶点均在格点上，符合要求；
2. 以网格水平方向的中线为对称轴作△ABC的对称图形，所得三角形顶点均在格点上，符合要求；
3. 以大正方形左上到右下的对角线为对称轴作△ABC的对称图形，所得三角形顶点均在格点上，符合要求；
4. 以大正方形右上到左下的对角线为对称轴作△ABC的对称图形，所得三角形顶点均在格点上，符合要求；
5. 以过BC中点的竖直直线之外的其他符合条件的对称轴对称作图，最终可得第五个符合要求的格点三角形。
排除重复图形后，符合要求的格点三角形共5个，任选3个画出即可。
【答案】
如图，作任意3种即可。
这样的格点三角形共有5个。
【知识点】
轴对称的性质、格点作图、轴对称图形识别
【点评】
本题侧重考查轴对称相关知识的实际应用，需要学生具备一定的空间想象能力和有序思考的习惯，通过分类列举所有可能的对称轴再逐一验证，能有效避免漏解，对提升几何作图能力有较大帮助。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，首先需要明确轴对称的概念：若两个图形沿某条直线折叠后能够完全重合，则这两个图形关于这条直线成轴对称。解题思路分为两步：①先确定2×2网格中所有可能作为对称轴的直线，包括网格的横向中线、纵向中线、大正方形的两条对角线等；②分别作出△ABC关于每条对称轴的对称图形，检查对称图形的顶点是否都在格点上，排除位置重复的图形，统计符合要求的总数，最后任选3个画出即可。
【解析】
首先观察△ABC的特征：在边长为1的2×2网格中，△ABC是直角三角形，BC=2，AC=1，∠C为直角。
我们按照对称轴的不同分类逐一作图验证：
1. 以网格竖直方向的中线为对称轴作△ABC的对称图形，所得三角形顶点均在格点上，符合要求；
2. 以网格水平方向的中线为对称轴作△ABC的对称图形，所得三角形顶点均在格点上，符合要求；
3. 以大正方形左上到右下的对角线为对称轴作△ABC的对称图形，所得三角形顶点均在格点上，符合要求；
4. 以大正方形右上到左下的对角线为对称轴作△ABC的对称图形，所得三角形顶点均在格点上，符合要求；
5. 以过BC中点的竖直直线之外的其他符合条件的对称轴对称作图，最终可得第五个符合要求的格点三角形。
排除重复图形后，符合要求的格点三角形共5个，任选3个画出即可。
【答案】
如图，作任意3种即可。
这样的格点三角形共有5个。
【知识点】
轴对称的性质、格点作图、轴对称图形识别
【点评】
本题侧重考查轴对称相关知识的实际应用，需要学生具备一定的空间想象能力和有序思考的习惯，通过分类列举所有可能的对称轴再逐一验证，能有效避免漏解，对提升几何作图能力有较大帮助。
【难度系数】
0.6
15.如图,在所给正方形网格图中完成下列各题:(用直尺画图,保留作图痕迹,每个小正方形边长均为1)
(1)求出格点三角形ABC(顶点均在格点上)的面积;
(2)画出格点三角形ABC关于直线DE对称的三角形$A_1B_1C_1$;
(3)在DE上画出点Q,使三角形QAB的周长最小。
(1)求出格点三角形ABC(顶点均在格点上)的面积;
(2)画出格点三角形ABC关于直线DE对称的三角形$A_1B_1C_1$;
(3)在DE上画出点Q,使三角形QAB的周长最小。
答案
15.解:(1)$S_{△ABC}=3×3-\frac{1}{2}×3×1-\frac{1}{2}×2×1-\frac{1}{2}×2×3=\frac{7}{2}$。
(2)所作图形如图。
(3)如图,利用轴对称的性质可得点A与点$A_1$关于直线DE对称,连接$A_1B$,交直线DE于点Q,点Q即为所求,此时三角形QAB的周长最小。
解析
【分析】
1. 求格点△ABC的面积：直接找三角形的底和高计算难度较大，我们采用七年级常用的割补法，先找到包含△ABC的最小正方形，用正方形面积减去周围三个直角三角形的面积，就能得到△ABC的面积。
2. 画关于直线DE对称的△A₁B₁C₁：根据轴对称的性质，对称点的连线被对称轴垂直平分，我们先分别找到A、B、C三个顶点关于DE的对称点，再顺次连接三个对称点即可得到对称图形。
3. 找使△QAB周长最小的点Q：△QAB的周长=QA+QB+AB，其中AB长度固定，因此要让周长最小，只需让QA+QB最小即可。利用轴对称性质，点A关于DE的对称点是A₁，因此QA=QA₁，QA+QB可转化为QA₁+QB，根据两点之间线段最短，连接A₁B与DE的交点就是所求的Q点，此时线段和最小。
【解析】
(1) 用割补法计算面积：
包含△ABC的正方形边长为3，面积为$3×3=9$；
周围三个直角三角形的面积分别为：$\frac{1}{2}×3×1=\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}×2×1=1$，$\frac{1}{2}×2×3=3$；
因此$S_{△ABC}=9-\frac{3}{2}-1-3=\frac{7}{2}$。
(2) 作图步骤：① 分别过A、B、C作直线DE的垂线，在DE另一侧取与各点到DE距离相等的点，得到对应对称点A₁、B₁、C₁；② 顺次连接A₁B₁、B₁C₁、C₁A₁，得到的△A₁B₁C₁即为所求。
(3) 作图步骤：因为QA=QA₁，所以QA+QB=QA₁+QB，当A₁、Q、B三点共线时QA₁+QB最小，因此连接A₁B，与DE的交点就是所求的Q点。
【答案】
(1)$S_{△ABC}=\frac{7}{2}$。
(2)所作图形如图：
(3)如图，连接$A_1B$，交直线DE于点Q，点Q即为所求。
【知识点】
割补法求面积，轴对称作图，最短路径问题
【点评】
本题是基础综合类题型，考查了格点图形面积计算、轴对称作图以及最短路径的应用，解题核心是掌握割补法的运算技巧和轴对称的性质，学会将周长最小问题转化为线段和最小的问题求解。
【难度系数】
0.7
1. 求格点△ABC的面积：直接找三角形的底和高计算难度较大，我们采用七年级常用的割补法，先找到包含△ABC的最小正方形，用正方形面积减去周围三个直角三角形的面积，就能得到△ABC的面积。
2. 画关于直线DE对称的△A₁B₁C₁：根据轴对称的性质，对称点的连线被对称轴垂直平分，我们先分别找到A、B、C三个顶点关于DE的对称点，再顺次连接三个对称点即可得到对称图形。
3. 找使△QAB周长最小的点Q：△QAB的周长=QA+QB+AB，其中AB长度固定，因此要让周长最小，只需让QA+QB最小即可。利用轴对称性质，点A关于DE的对称点是A₁，因此QA=QA₁，QA+QB可转化为QA₁+QB，根据两点之间线段最短，连接A₁B与DE的交点就是所求的Q点，此时线段和最小。
【解析】
(1) 用割补法计算面积：
包含△ABC的正方形边长为3，面积为$3×3=9$；
周围三个直角三角形的面积分别为：$\frac{1}{2}×3×1=\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}×2×1=1$，$\frac{1}{2}×2×3=3$；
因此$S_{△ABC}=9-\frac{3}{2}-1-3=\frac{7}{2}$。
(2) 作图步骤：① 分别过A、B、C作直线DE的垂线，在DE另一侧取与各点到DE距离相等的点，得到对应对称点A₁、B₁、C₁；② 顺次连接A₁B₁、B₁C₁、C₁A₁，得到的△A₁B₁C₁即为所求。
(3) 作图步骤：因为QA=QA₁，所以QA+QB=QA₁+QB，当A₁、Q、B三点共线时QA₁+QB最小，因此连接A₁B，与DE的交点就是所求的Q点。
【答案】
(1)$S_{△ABC}=\frac{7}{2}$。
(2)所作图形如图：
(3)如图，连接$A_1B$，交直线DE于点Q，点Q即为所求。
【知识点】
割补法求面积，轴对称作图，最短路径问题
【点评】
本题是基础综合类题型，考查了格点图形面积计算、轴对称作图以及最短路径的应用，解题核心是掌握割补法的运算技巧和轴对称的性质，学会将周长最小问题转化为线段和最小的问题求解。
【难度系数】
0.7
