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6. 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,根据尺规作图的痕迹,判断以下结论错误的是 (
A.$∠ BDE=∠ BAC$
B.$AE=AC$
C.$DE=DC$
D.$∠ ADE=∠ BDE$
D
)A.$∠ BDE=∠ BAC$
B.$AE=AC$
C.$DE=DC$
D.$∠ ADE=∠ BDE$
答案
6.D
解析
【分析】
首先识别尺规作图的结果：图中尺规作图先作出了∠BAC的角平分线AD，再过点D作DE⊥AB于点E。解题时结合角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的余角性质逐个判断选项：1. 利用同角的余角相等判断A选项；2. 证明△ACD≌△AED，根据全等三角形对应边相等判断B、C选项；3. 分析D选项的成立条件，判断其是否一定成立即可。
【解析】
由尺规作图痕迹可知：AD平分∠BAC，且DE⊥AB，已知∠C=90°即DC⊥AC。
1. 判断A选项：在Rt△BDE中，∠BDE + ∠B = 90°；在Rt△ABC中，∠BAC + ∠B = 90°，根据同角的余角相等，可得∠BDE=∠BAC，故A正确。
2. 判断B、C选项：在△ACD和△AED中，
$\{\begin{array}{l}∠ C=∠ AED=90°\\ ∠ CAD=∠ EAD\\ AD=AD\end{array} $
∴△ACD≌△AED（AAS），
∴AE=AC，DE=DC，故B、C均正确。
3. 判断D选项：只有当∠B=30°时，∠BAD=∠B=30°，此时DE垂直平分AB，才有∠ADE=∠BDE，题目未给出该条件，该结论不一定成立，故D错误。
本题要求选错误的，故选D。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质
【点评】
本题结合尺规作图考查基础几何性质，解题关键是先准确识别作图的含义，再结合相关性质逐一验证选项，注意要判断结论是否一定成立，不要自行添加题目未给出的条件。
【难度系数】
0.7
首先识别尺规作图的结果：图中尺规作图先作出了∠BAC的角平分线AD，再过点D作DE⊥AB于点E。解题时结合角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的余角性质逐个判断选项：1. 利用同角的余角相等判断A选项；2. 证明△ACD≌△AED，根据全等三角形对应边相等判断B、C选项；3. 分析D选项的成立条件，判断其是否一定成立即可。
【解析】
由尺规作图痕迹可知：AD平分∠BAC，且DE⊥AB，已知∠C=90°即DC⊥AC。
1. 判断A选项：在Rt△BDE中，∠BDE + ∠B = 90°；在Rt△ABC中，∠BAC + ∠B = 90°，根据同角的余角相等，可得∠BDE=∠BAC，故A正确。
2. 判断B、C选项：在△ACD和△AED中，
$\{\begin{array}{l}∠ C=∠ AED=90°\\ ∠ CAD=∠ EAD\\ AD=AD\end{array} $
∴△ACD≌△AED（AAS），
∴AE=AC，DE=DC，故B、C均正确。
3. 判断D选项：只有当∠B=30°时，∠BAD=∠B=30°，此时DE垂直平分AB，才有∠ADE=∠BDE，题目未给出该条件，该结论不一定成立，故D错误。
本题要求选错误的，故选D。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质
【点评】
本题结合尺规作图考查基础几何性质，解题关键是先准确识别作图的含义，再结合相关性质逐一验证选项，注意要判断结论是否一定成立，不要自行添加题目未给出的条件。
【难度系数】
0.7
7.如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AF=EF$。若$∠ CFE=72°$，则$∠ B=\_\_\_\_\_\_°$。
答案
7.54
解析
【分析】
解题时首先观察已知条件AF=EF，可联想到等腰三角形等边对等角的性质，得到∠A=∠AEF；再发现∠CFE是△AEF的外角，利用三角形外角的性质可建立∠CFE与∠A的数量关系，求出∠A的度数；最后结合直角三角形两锐角互余的性质，即可计算出∠B的度数。
【解析】
解：
∵ AF=EF，
∴ ∠A=∠AEF（等边对等角）。
∵ ∠CFE是△AEF的外角，
∴ ∠CFE=∠A+∠AEF=2∠A（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）。
已知∠CFE=72°，
∴ 2∠A=72°，解得∠A=36°。
在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴ ∠A+∠B=90°（直角三角形的两个锐角互余），
∴ ∠B=90°-36°=54°。
【答案】
54
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形外角的性质，直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何题，综合考查了三角形相关的基础性质，解题的关键是找准角与角之间的等量关系，结合已知条件逐步推导即可得到结果。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察已知条件AF=EF，可联想到等腰三角形等边对等角的性质，得到∠A=∠AEF；再发现∠CFE是△AEF的外角，利用三角形外角的性质可建立∠CFE与∠A的数量关系，求出∠A的度数；最后结合直角三角形两锐角互余的性质，即可计算出∠B的度数。
【解析】
解：
∵ AF=EF，
∴ ∠A=∠AEF（等边对等角）。
∵ ∠CFE是△AEF的外角，
∴ ∠CFE=∠A+∠AEF=2∠A（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）。
已知∠CFE=72°，
∴ 2∠A=72°，解得∠A=36°。
在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴ ∠A+∠B=90°（直角三角形的两个锐角互余），
∴ ∠B=90°-36°=54°。
【答案】
54
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形外角的性质，直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何题，综合考查了三角形相关的基础性质，解题的关键是找准角与角之间的等量关系，结合已知条件逐步推导即可得到结果。
【难度系数】
0.7
8. 将一张长方形纸片按如图的方式折叠，BD，BE为折痕，∠ABE=34°，则∠CBD=
56
度。答案
8.56
解析
【分析】
解决本题首先回忆折叠的性质：折叠前后对应角相等。首先观察折痕，BE是∠ABA'的折痕，因此∠ABE=∠A'BE；BD是∠CBC'的折痕，因此∠CBD=∠C'BD。又因为A、B、C三点共线，∠ABC是平角为180°，即四个角∠ABE、∠A'BE、∠C'BD、∠CBD的和为180°，将相等的角合并后可得∠ABE与∠CBD的和为90°，代入已知∠ABE的度数即可求出∠CBD的度数。
【解析】
根据折叠的性质可知：
∠A'BE = ∠ABE = 34°，∠C'BD = ∠CBD
∵ A、B、C在同一直线上，∠ABC是平角
∴ ∠ABE + ∠A'BE + ∠C'BD + ∠CBD = 180°
代入得：$2×34° + 2∠ CBD = 180°$
计算得：$68° + 2∠ CBD = 180°$
移项得：$2∠ CBD = 180° - 68° = 112°$
∴ $∠ CBD = 112° ÷ 2 = 56°$
【答案】
56
【知识点】
折叠的性质；平角的定义；角度计算
【点评】
本题是折叠类基础角度计算题，解题的核心是抓住折叠前后对应角相等的性质，结合平角的度数建立角度和的关系即可快速求解，解题时注意不要遗漏折叠带来的等角关系。
【难度系数】
0.8
解决本题首先回忆折叠的性质：折叠前后对应角相等。首先观察折痕，BE是∠ABA'的折痕，因此∠ABE=∠A'BE；BD是∠CBC'的折痕，因此∠CBD=∠C'BD。又因为A、B、C三点共线，∠ABC是平角为180°，即四个角∠ABE、∠A'BE、∠C'BD、∠CBD的和为180°，将相等的角合并后可得∠ABE与∠CBD的和为90°，代入已知∠ABE的度数即可求出∠CBD的度数。
【解析】
根据折叠的性质可知：
∠A'BE = ∠ABE = 34°，∠C'BD = ∠CBD
∵ A、B、C在同一直线上，∠ABC是平角
∴ ∠ABE + ∠A'BE + ∠C'BD + ∠CBD = 180°
代入得：$2×34° + 2∠ CBD = 180°$
计算得：$68° + 2∠ CBD = 180°$
移项得：$2∠ CBD = 180° - 68° = 112°$
∴ $∠ CBD = 112° ÷ 2 = 56°$
【答案】
56
【知识点】
折叠的性质；平角的定义；角度计算
【点评】
本题是折叠类基础角度计算题，解题的核心是抓住折叠前后对应角相等的性质，结合平角的度数建立角度和的关系即可快速求解，解题时注意不要遗漏折叠带来的等角关系。
【难度系数】
0.8
9. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$。分别以点B和点C为圆心、大于$\frac{1}{2}BC$的长为半径作弧,两弧交于点D,作直线AD交BC于点E。若$∠ BAC=110°$,则$∠ BAE$为
55
度。答案
9.55
解析
【分析】
首先判断作图的含义：分别以B、C为圆心，大于$\frac{1}{2}BC$长为半径作弧，两交点的连线是线段BC的垂直平分线，因此AD垂直平分BC；其次已知$AB=AC$，可知$△ ABC$是等腰三角形，根据等腰三角形“三线合一”的性质，底边上的高同时是顶角的角平分线，因此AE平分$∠ BAC$，最后用$∠ BAC$的度数除以2即可求出$∠ BAE$的度数。
【解析】
由尺规作图的规则可知，直线AD是线段BC的垂直平分线，因此$AE⊥ BC$。
∵ $AB=AC$，
∴ $△ ABC$是等腰三角形，BC为底边。
根据等腰三角形三线合一的性质，底边BC上的高AE同时平分顶角$∠ BAC$，
∴ $∠ BAE = \frac{1}{2}∠ BAC$。
已知$∠ BAC=110°$，代入得：$∠ BAE=\frac{1}{2}×110°=55°$。
【答案】
55
【知识点】
等腰三角形性质，线段垂直平分线作图，角的计算
【点评】
本题结合尺规作图考查等腰三角形的核心性质，解题关键是识别出所作直线是BC的垂直平分线，再利用三线合一得到角的倍分关系，属于基础常规题。
【难度系数】
0.8
首先判断作图的含义：分别以B、C为圆心，大于$\frac{1}{2}BC$长为半径作弧，两交点的连线是线段BC的垂直平分线，因此AD垂直平分BC；其次已知$AB=AC$，可知$△ ABC$是等腰三角形，根据等腰三角形“三线合一”的性质，底边上的高同时是顶角的角平分线，因此AE平分$∠ BAC$，最后用$∠ BAC$的度数除以2即可求出$∠ BAE$的度数。
【解析】
由尺规作图的规则可知，直线AD是线段BC的垂直平分线，因此$AE⊥ BC$。
∵ $AB=AC$，
∴ $△ ABC$是等腰三角形，BC为底边。
根据等腰三角形三线合一的性质，底边BC上的高AE同时平分顶角$∠ BAC$，
∴ $∠ BAE = \frac{1}{2}∠ BAC$。
已知$∠ BAC=110°$，代入得：$∠ BAE=\frac{1}{2}×110°=55°$。
【答案】
55
【知识点】
等腰三角形性质，线段垂直平分线作图，角的计算
【点评】
本题结合尺规作图考查等腰三角形的核心性质，解题关键是识别出所作直线是BC的垂直平分线，再利用三线合一得到角的倍分关系，属于基础常规题。
【难度系数】
0.8
10.如图，将$△ ABC$折叠，使点$B$与点$A$重合，折痕为$DE$。若$△ ABC$与$△ ACD$的周长分别为12 cm，7 cm，则$AE$的长是
2.5 cm
。答案
10.2.5 cm
解析
【分析】
解题时先利用折叠的性质得到相等的线段：AD=BD，AE=BE。观察两个三角形的周长：△ACD的周长可通过AD=BD转化为AC+BC的长度，再结合△ABC的周长即可求出AB的长，最后由AE是AB的一半即可得出结果。
【解析】
∵ 将△ABC折叠，点B与点A重合，折痕为DE
∴ AD=BD，AE=BE=$\frac{1}{2}$AB
∵ △ACD的周长为7 cm
∴ $AC+CD+AD=7\ \mathrm{cm}$
将AD替换为BD，可得：$AC+CD+BD=AC+BC=7\ \mathrm{cm}$
又
∵ △ABC的周长为12 cm
∴ $AC+BC+AB=12\ \mathrm{cm}$
把$AC+BC=7\ \mathrm{cm}$代入上式，得：$7+AB=12\ \mathrm{cm}$，解得$AB=5\ \mathrm{cm}$
∴ $AE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×5=2.5\ \mathrm{cm}$
【答案】
2.5 cm
【知识点】
折叠的性质，三角形周长计算，等量代换
【点评】
本题是几何基础计算题，解题核心是利用折叠的性质实现线段的等量替换，将两个三角形的周长建立关联，进而求出未知线段的长度，这类题型能很好地考查学生的转化思维和对周长概念的理解。
【难度系数】
0.7
解题时先利用折叠的性质得到相等的线段：AD=BD，AE=BE。观察两个三角形的周长：△ACD的周长可通过AD=BD转化为AC+BC的长度，再结合△ABC的周长即可求出AB的长，最后由AE是AB的一半即可得出结果。
【解析】
∵ 将△ABC折叠，点B与点A重合，折痕为DE
∴ AD=BD，AE=BE=$\frac{1}{2}$AB
∵ △ACD的周长为7 cm
∴ $AC+CD+AD=7\ \mathrm{cm}$
将AD替换为BD，可得：$AC+CD+BD=AC+BC=7\ \mathrm{cm}$
又
∵ △ABC的周长为12 cm
∴ $AC+BC+AB=12\ \mathrm{cm}$
把$AC+BC=7\ \mathrm{cm}$代入上式，得：$7+AB=12\ \mathrm{cm}$，解得$AB=5\ \mathrm{cm}$
∴ $AE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×5=2.5\ \mathrm{cm}$
【答案】
2.5 cm
【知识点】
折叠的性质，三角形周长计算，等量代换
【点评】
本题是几何基础计算题，解题核心是利用折叠的性质实现线段的等量替换，将两个三角形的周长建立关联，进而求出未知线段的长度，这类题型能很好地考查学生的转化思维和对周长概念的理解。
【难度系数】
0.7
11.作图(不写作法,但要保留作图痕迹)。
(1)如图①,作出∠AOB的平分线OC；
(2)把图②中的图形补成关于直线l对称的图形；
(3)如图③,要在燃气管道上修建一个储配站P,分别向A,B两镇供气,储配站修在管道的什么地方,可使所用的输气管道最短?在图上画出点P的位置。
(1)如图①,作出∠AOB的平分线OC；
(2)把图②中的图形补成关于直线l对称的图形；
(3)如图③,要在燃气管道上修建一个储配站P,分别向A,B两镇供气,储配站修在管道的什么地方,可使所用的输气管道最短?在图上画出点P的位置。
答案
11.解:(1)如图①,射线OC即为所求。
(2)图②即为补全的图形。
(3)如图③,点P即为所求。
解析
【分析】
本题是三类基础作图题，解题思路如下：
(1) 作角平分线：利用尺规作图构造角平分线，通过两次画弧找到角内部的交点，连线即可得到角平分线，原理是全等三角形SSS判定，构造出的射线可平分已知角。
(2) 补全轴对称图形：轴对称图形的对应点到对称轴距离相等、对应点连线垂直于对称轴，只需找出原图形的所有顶点，作出它们关于直线l的对称点，再顺次连接对称点即可补全图形。
(3) 最短路径选址：属于“将军饮马”模型，要使输气管道总长度（即PA+PB）最短，利用轴对称性质将同侧两点转化为异侧两点，根据两点之间线段最短，连接异侧两点与直线的交点就是所求P点。
【解析】
(1) 作∠AOB平分线OC：①以点O为圆心，取适当长度为半径画弧，分别与OA、OB交于两点；②分别以这两个交点为圆心，取大于两点间距离一半的长度为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C；③过O、C作射线OC，OC即为∠AOB的平分线。
(2) 补全关于直线l对称的图形：①确定原三角形的三个顶点，分别过每个顶点向直线l作垂线，延长垂线至直线l的另一侧，使延长的长度等于顶点到直线l的垂线段长度，得到三个顶点的对称点；②按照原图形的连接顺序顺次连接三个对称点，所得图形即为原图形关于直线l对称的部分，整体就是补全后的轴对称图形。
(3) 确定储配站P的位置：①作点A关于燃气管道所在直线的对称点A'；②连接A'B，线段A'B与燃气管道所在直线的交点即为点P。此时PA=PA'，因此PA+PB=PA'+PB=A'B，根据两点之间线段最短，此时输气管道总长度最短。
【答案】
11.解:(1)如图①,射线OC即为所求。
(2)图②即为补全的图形。
(3)如图③,点P即为所求。
【知识点】
角平分线尺规作图；轴对称图形作图；最短路径问题
【点评】
本题考查基础的尺规作图方法和轴对称的实际应用，涵盖三类常见的作图考点，要求熟练掌握基本作图规则和最短路径模型的应用方法。
【难度系数】
0.8
本题是三类基础作图题，解题思路如下：
(1) 作角平分线：利用尺规作图构造角平分线，通过两次画弧找到角内部的交点，连线即可得到角平分线，原理是全等三角形SSS判定，构造出的射线可平分已知角。
(2) 补全轴对称图形：轴对称图形的对应点到对称轴距离相等、对应点连线垂直于对称轴，只需找出原图形的所有顶点，作出它们关于直线l的对称点，再顺次连接对称点即可补全图形。
(3) 最短路径选址：属于“将军饮马”模型，要使输气管道总长度（即PA+PB）最短，利用轴对称性质将同侧两点转化为异侧两点，根据两点之间线段最短，连接异侧两点与直线的交点就是所求P点。
【解析】
(1) 作∠AOB平分线OC：①以点O为圆心，取适当长度为半径画弧，分别与OA、OB交于两点；②分别以这两个交点为圆心，取大于两点间距离一半的长度为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C；③过O、C作射线OC，OC即为∠AOB的平分线。
(2) 补全关于直线l对称的图形：①确定原三角形的三个顶点，分别过每个顶点向直线l作垂线，延长垂线至直线l的另一侧，使延长的长度等于顶点到直线l的垂线段长度，得到三个顶点的对称点；②按照原图形的连接顺序顺次连接三个对称点，所得图形即为原图形关于直线l对称的部分，整体就是补全后的轴对称图形。
(3) 确定储配站P的位置：①作点A关于燃气管道所在直线的对称点A'；②连接A'B，线段A'B与燃气管道所在直线的交点即为点P。此时PA=PA'，因此PA+PB=PA'+PB=A'B，根据两点之间线段最短，此时输气管道总长度最短。
【答案】
11.解:(1)如图①,射线OC即为所求。
(2)图②即为补全的图形。
(3)如图③,点P即为所求。
【知识点】
角平分线尺规作图；轴对称图形作图；最短路径问题
【点评】
本题考查基础的尺规作图方法和轴对称的实际应用，涵盖三类常见的作图考点，要求熟练掌握基本作图规则和最短路径模型的应用方法。
【难度系数】
0.8
