登录
16.在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，BD=AD。
(1)如图①，求∠BAC的度数；
(2)如图②，E是AB的中点，连接ED并延长，交BC的延长线于点F，连接AF，求∠AFB的度数。
(1)如图①，求∠BAC的度数；
(2)如图②，E是AB的中点，连接ED并延长，交BC的延长线于点F，连接AF，求∠AFB的度数。
答案
16.解:设$∠ABD=x°$。
(1)因为BD平分$∠ABC$,
所以$∠DBC=x°$。
因为AB=AC,
所以$∠C=∠ABC=2x°$。
因为BD=AD,
所以$∠A=∠ABD=x°$。
在$△ABC$中,$∠A+∠ABC+∠C=180°$,
所以$x+2x+2x=180$,
解得x=36,
所以$∠A=36°$,
即$∠BAC$的度数为36°。
(2)因为E是AB的中点,BD=AD,
所以EF是AB的垂直平分线,
所以AF=BF,
所以$∠FAB=∠FBA=2x°=72°$,
所以$∠AFB=36°$。
(1)因为BD平分$∠ABC$,
所以$∠DBC=x°$。
因为AB=AC,
所以$∠C=∠ABC=2x°$。
因为BD=AD,
所以$∠A=∠ABD=x°$。
在$△ABC$中,$∠A+∠ABC+∠C=180°$,
所以$x+2x+2x=180$,
解得x=36,
所以$∠A=36°$,
即$∠BAC$的度数为36°。
(2)因为E是AB的中点,BD=AD,
所以EF是AB的垂直平分线,
所以AF=BF,
所以$∠FAB=∠FBA=2x°=72°$,
所以$∠AFB=36°$。
解析
【分析】
(1) 题目给出多个等腰三角形和角平分线条件，适合用设未知角列方程的方法求解。首先根据角平分线性质得到相等的角，再结合等腰三角形“等边对等角”的性质，将△ABC的三个内角都用同一个未知数表示，最后利用三角形内角和为180°列方程，就能求出∠BAC的度数。
(2) 已知E是AB中点，且BD=AD，根据等腰三角形“三线合一”可判断EF是AB的垂直平分线，再根据垂直平分线的性质得到AF=BF，即△AFB为等腰三角形，结合(1)中求出的角度，利用等腰三角形性质和三角形内角和即可求出∠AFB的度数。
【解析】
解：设$∠ ABD=x°$。
(1) $\because$ BD平分$∠ ABC$，
$\therefore ∠ DBC=∠ ABD=x°$，$∠ ABC=2x°$。
$\because AB=AC$，
$\therefore ∠ C=∠ ABC=2x°$。
$\because BD=AD$，
$\therefore ∠ BAC=∠ ABD=x°$。
在$△ ABC$中，$∠ BAC+∠ ABC+∠ C=180°$，
代入得：$x+2x+2x=180$，
解得$x=36$，
即$∠ BAC=36°$。
(2) $\because$ E是AB的中点，且$BD=AD$，
$\therefore$ EF垂直平分AB（等腰三角形三线合一），
$\therefore AF=BF$（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
$\therefore ∠ FAB=∠ FBA=2x°=2×36°=72°$。
在$△ AFB$中，$∠ AFB=180°-∠ FAB-∠ FBA=180°-72°-72°=36°$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{36°}$；(2) $\boldsymbol{36°}$
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质
【点评】
本题是等腰三角形性质应用的典型题型，通过设未知角将角度关系转化为方程求解的思路十分常用，解题时要注意梳理图中等边、等角的对应关系，合理转化角度即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
(1) 题目给出多个等腰三角形和角平分线条件，适合用设未知角列方程的方法求解。首先根据角平分线性质得到相等的角，再结合等腰三角形“等边对等角”的性质，将△ABC的三个内角都用同一个未知数表示，最后利用三角形内角和为180°列方程，就能求出∠BAC的度数。
(2) 已知E是AB中点，且BD=AD，根据等腰三角形“三线合一”可判断EF是AB的垂直平分线，再根据垂直平分线的性质得到AF=BF，即△AFB为等腰三角形，结合(1)中求出的角度，利用等腰三角形性质和三角形内角和即可求出∠AFB的度数。
【解析】
解：设$∠ ABD=x°$。
(1) $\because$ BD平分$∠ ABC$，
$\therefore ∠ DBC=∠ ABD=x°$，$∠ ABC=2x°$。
$\because AB=AC$，
$\therefore ∠ C=∠ ABC=2x°$。
$\because BD=AD$，
$\therefore ∠ BAC=∠ ABD=x°$。
在$△ ABC$中，$∠ BAC+∠ ABC+∠ C=180°$，
代入得：$x+2x+2x=180$，
解得$x=36$，
即$∠ BAC=36°$。
(2) $\because$ E是AB的中点，且$BD=AD$，
$\therefore$ EF垂直平分AB（等腰三角形三线合一），
$\therefore AF=BF$（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
$\therefore ∠ FAB=∠ FBA=2x°=2×36°=72°$。
在$△ AFB$中，$∠ AFB=180°-∠ FAB-∠ FBA=180°-72°-72°=36°$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{36°}$；(2) $\boldsymbol{36°}$
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质
【点评】
本题是等腰三角形性质应用的典型题型，通过设未知角将角度关系转化为方程求解的思路十分常用，解题时要注意梳理图中等边、等角的对应关系，合理转化角度即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
17. 如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$AC=3$,$BC=4$,$AB=5$,$AD$是$∠ BAC$的平分线。若$P,Q$分别是$AD$和$AC$上的动点,则$PC+PQ$的最小值是 （
A.3
B.2.4
C.4
D.7
B
）A.3
B.2.4
C.4
D.7
答案
17.B
解析
【分析】
这是一道角平分线性质与最短路径结合的求最值问题，解题思路如下：1. 首先利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可知AD上的点P到AC的距离等于它到AB的距离；2. 因为Q是AC上的动点，对任意点P来说，PQ的最小值就是P到AC的垂线段长度，即可转化为P到AB的距离，那么PC+PQ的最小值就转化为PC与P到AB的距离之和的最小值；3. 根据垂线段最短，这个最小值就是点C到AB的垂线段长度，最后用三角形面积法算出这个长度即可。
【解析】
已知AD是∠BAC的平分线，根据角平分线的性质，AD上任意一点P到AC的距离等于点P到AB的距离。
∵Q是AC上的动点，
∴对任意点P，PQ的最小值为点P到AC的垂线段长度，即等于点P到AB的距离。
此时求PC+PQ的最小值，等价于求PC与点P到AB的距离之和的最小值，根据“垂线段最短”，该最小值就是点C到AB的垂线段的长度，设为h。
在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，三角形面积可通过两种方式表示：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AC × BC=\frac{1}{2}× AB × h$
代入$AC=3$，$BC=4$，$AB=5$，可得：
$\frac{1}{2}×3×4=\frac{1}{2}×5× h$
解得$h=\frac{12}{5}=2.4$
即$PC+PQ$的最小值为2.4。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的性质、垂线段最短、三角形面积计算
【点评】
本题是最短路径类的典型中档题，核心考查转化思想，解题的关键是利用角平分线的性质转化线段，将两条动线段的和转化为点到直线的距离，再结合面积法计算求解，熟练掌握相关基础性质是解题的前提。
【难度系数】
0.6
这是一道角平分线性质与最短路径结合的求最值问题，解题思路如下：1. 首先利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可知AD上的点P到AC的距离等于它到AB的距离；2. 因为Q是AC上的动点，对任意点P来说，PQ的最小值就是P到AC的垂线段长度，即可转化为P到AB的距离，那么PC+PQ的最小值就转化为PC与P到AB的距离之和的最小值；3. 根据垂线段最短，这个最小值就是点C到AB的垂线段长度，最后用三角形面积法算出这个长度即可。
【解析】
已知AD是∠BAC的平分线，根据角平分线的性质，AD上任意一点P到AC的距离等于点P到AB的距离。
∵Q是AC上的动点，
∴对任意点P，PQ的最小值为点P到AC的垂线段长度，即等于点P到AB的距离。
此时求PC+PQ的最小值，等价于求PC与点P到AB的距离之和的最小值，根据“垂线段最短”，该最小值就是点C到AB的垂线段的长度，设为h。
在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，三角形面积可通过两种方式表示：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AC × BC=\frac{1}{2}× AB × h$
代入$AC=3$，$BC=4$，$AB=5$，可得：
$\frac{1}{2}×3×4=\frac{1}{2}×5× h$
解得$h=\frac{12}{5}=2.4$
即$PC+PQ$的最小值为2.4。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的性质、垂线段最短、三角形面积计算
【点评】
本题是最短路径类的典型中档题，核心考查转化思想，解题的关键是利用角平分线的性质转化线段，将两条动线段的和转化为点到直线的距离，再结合面积法计算求解，熟练掌握相关基础性质是解题的前提。
【难度系数】
0.6
