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三、解答题
11. 计算：
(1)$(\dfrac{1}{6}-\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{12})×(-48)$；
(2)$-2(3y^{2}-2xy)+3(y^{3}+2xy-8)-10xy.$
11. 计算：
(1)$(\dfrac{1}{6}-\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{12})×(-48)$；
(2)$-2(3y^{2}-2xy)+3(y^{3}+2xy-8)-10xy.$
答案
(1)原式$=\dfrac{1}{6}×(-48)-\dfrac{3}{4}×(-48)+\dfrac{1}{12}×(-48)=-8+36-4=24$.
(2)原式$=-6y^{2}+4xy+3y^{3}+6xy-24-10xy=3y^{3}-6y^{2}-24$.
(2)原式$=-6y^{2}+4xy+3y^{3}+6xy-24-10xy=3y^{3}-6y^{2}-24$.
12. 如图,已知 $C$ 是线段 $AB$ 上一点, $D$ 是线段 $AB$ 的中点,若 $AB=10\ \mathrm{cm},BC=3\ \mathrm{cm}$.
(1)求线段 $CD$ 的长.
(2)若 $E$ 是直线 $AB$ 上一点,且 $BE=2\ \mathrm{cm},F$ 是 $BE$ 的中点,求线段 $DF$ 的长.
(1)求线段 $CD$ 的长.
(2)若 $E$ 是直线 $AB$ 上一点,且 $BE=2\ \mathrm{cm},F$ 是 $BE$ 的中点,求线段 $DF$ 的长.
答案
(1)因为$D$是线段$AB$的中点,$AB=10\ \mathrm{cm}$,所以$BD=\dfrac{1}{2}AB=5\ \mathrm{cm}$.因为$BC=3\ \mathrm{cm}$,所以$CD=BD-BC=5-3=2(\mathrm{cm})$.
(2)当点$E$在线段$AB$的延长线上时,如图1,因为$BE=2\ \mathrm{cm}$,$F$是$BE$的中点,所以$BF=\dfrac{1}{2}BE=1\ \mathrm{cm}$,所以$DF=BD+BF=5+1=6(\mathrm{cm})$;当点$E$在线段$AB$上时,如图2,因为$BE=2\ \mathrm{cm}$,$F$是$BE$的中点,所以$BF=\dfrac{1}{2}BE=1\ \mathrm{cm}$,所以$DF=BD-BF=5-1=4(\mathrm{cm})$.综上所述,线段$DF$的长为6 cm或4 cm.
[图2]13. 如图,已知$∠ DEB=110^{\circ },∠ BAC=70^{\circ }.$
(1) 判断 $DF$ 与 $AC$ 的位置关系,并说明理由.
(2) 若$∠ ADF=∠ C,∠ DAC=130^{\circ }$,求$∠ B$ 的度数.
(1) 判断 $DF$ 与 $AC$ 的位置关系,并说明理由.
(2) 若$∠ ADF=∠ C,∠ DAC=130^{\circ }$,求$∠ B$ 的度数.
答案
(1)$DF// AC$.理由如下:因为$∠ DEB=110°$,所以$∠ AEF=∠ DEB=110°$.因为$∠ BAC=70°$,所以$∠ AEF+∠ BAC=110°+70°=180°$,所以$DF// AC$.
(2)因为$DF// AC$,所以$∠ DFB=∠ C$.因为$∠ DAC=130°$,$∠ BAC=70°$,所以$∠ DAB=∠ DAC-∠ BAC=130°-70°=60°$.又因为$∠ ADF=∠ C$,所以$∠ DFB=∠ ADF$,所以$AD// BC$,所以$∠ B=∠ DAB=60°$.
(2)因为$DF// AC$,所以$∠ DFB=∠ C$.因为$∠ DAC=130°$,$∠ BAC=70°$,所以$∠ DAB=∠ DAC-∠ BAC=130°-70°=60°$.又因为$∠ ADF=∠ C$,所以$∠ DFB=∠ ADF$,所以$AD// BC$,所以$∠ B=∠ DAB=60°$.
14. 已知$∠ AOB = 120°$，$∠ COD$在$∠ AOB$内部，且$∠ COD = 60°$。
(1) 如图 1，若$∠ BOD = 30°$，求$∠ AOC$的度数。
(2) 如图 2，若$OE$平分$∠ BOC$，试说明：$∠ AOC = 2∠ EOD$。
(3) 如图 3，若在$∠ AOB$的外部分别作$∠ AOC$、$∠ BOD$的余角$∠ AOP$、$∠ BOQ$，试探究$∠ AOP$、$∠ BOQ$、$∠ COD$之间的数量关系，并说明理由。
(1) 如图 1，若$∠ BOD = 30°$，求$∠ AOC$的度数。
(2) 如图 2，若$OE$平分$∠ BOC$，试说明：$∠ AOC = 2∠ EOD$。
(3) 如图 3，若在$∠ AOB$的外部分别作$∠ AOC$、$∠ BOD$的余角$∠ AOP$、$∠ BOQ$，试探究$∠ AOP$、$∠ BOQ$、$∠ COD$之间的数量关系，并说明理由。
答案
因为$∠ COD$在$∠ AOB$内部,$∠ AOB=120°$,$∠ COD=60°$,所以$∠ BOD+∠ AOC=∠ AOB-∠ COD=60°$.
(1)因为$∠ BOD=30°$,所以$∠ AOC=60°-∠ BOD=30°$.
(2)设$∠ BOD=α$,所以$∠ AOC=60°-∠ BOD=60°-α$,$∠ BOC=∠ COD+∠ BOD=60°+α$.因为$OE$平分$∠ BOC$,所以$∠ BOE=\dfrac{1}{2}∠ BOC=\dfrac{1}{2}×(60°+α)=30°+\dfrac{1}{2}α$,所以$∠ EOD=∠ BOE-∠ BOD=30°+\dfrac{1}{2}α-α=30°-\dfrac{1}{2}α$,所以$2∠ EOD=2×(30°-\dfrac{1}{2}α)=60°-α$,所以$∠ AOC=2∠ EOD$.
(3)$∠ AOP+∠ BOQ+∠ COD=180°$.理由如下:设$∠ BOD=α$,则$∠ AOC=60°-α$.因为$∠ AOP+∠ AOC=90°$,$∠ BOQ+∠ BOD=90°$,所以$∠ AOP=90°-∠ AOC=90°-(60°-α)=30°+α$,$∠ BOQ=90°-∠ BOD=90°-α$.又因为$∠ COD=60°$,所以$∠ AOP+∠ BOQ+∠ COD=30°+α+90°-α+60°=180°$.
(1)因为$∠ BOD=30°$,所以$∠ AOC=60°-∠ BOD=30°$.
(2)设$∠ BOD=α$,所以$∠ AOC=60°-∠ BOD=60°-α$,$∠ BOC=∠ COD+∠ BOD=60°+α$.因为$OE$平分$∠ BOC$,所以$∠ BOE=\dfrac{1}{2}∠ BOC=\dfrac{1}{2}×(60°+α)=30°+\dfrac{1}{2}α$,所以$∠ EOD=∠ BOE-∠ BOD=30°+\dfrac{1}{2}α-α=30°-\dfrac{1}{2}α$,所以$2∠ EOD=2×(30°-\dfrac{1}{2}α)=60°-α$,所以$∠ AOC=2∠ EOD$.
(3)$∠ AOP+∠ BOQ+∠ COD=180°$.理由如下:设$∠ BOD=α$,则$∠ AOC=60°-α$.因为$∠ AOP+∠ AOC=90°$,$∠ BOQ+∠ BOD=90°$,所以$∠ AOP=90°-∠ AOC=90°-(60°-α)=30°+α$,$∠ BOQ=90°-∠ BOD=90°-α$.又因为$∠ COD=60°$,所以$∠ AOP+∠ BOQ+∠ COD=30°+α+90°-α+60°=180°$.
