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三、能力提升
21. 在数学小组探究学习中，小明所在的小组遇到以下问题.
已知 $ a=\dfrac{1}{2+\sqrt{3}} $，求 $ 2a^2 - 8a + 1 $ 的值. 他们这样解答：
$ a=\dfrac{1}{2+\sqrt{3}}=\dfrac{2-\sqrt{3}}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}=2-\sqrt{3} $，
$ \therefore a-2=-\sqrt{3} $，$ \therefore (a-2)^2=3 $，即 $ a^2 - 4a + 4=3 $，
$ \therefore a^2 - 4a=-1 $，$ \therefore 2a^2 - 8a + 1=2(a^2 - 4a)+1=2×(-1)+1=-1 $.
请你根据小明所在小组的解题方法和过程，解决以下问题.
（1）化简：$ \dfrac{1}{\sqrt{5}-2}= $ \underline{$\quad\quad\quad\quad$}.
（2）计算：$ ( \dfrac{1}{\sqrt{2}+1}+\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}+\dots+\dfrac{1}{\sqrt{2\,026}+\sqrt{2\,025}} )×(\sqrt{2\,026}+1) $.
（3）已知 $ a=\dfrac{1}{\sqrt{5}-2} $.
①求 $ a^2 - 4a $ 的值.
②求 $ 2a^4 - 8a^3 - 8a + 4 $ 的值.
21. 在数学小组探究学习中，小明所在的小组遇到以下问题.
已知 $ a=\dfrac{1}{2+\sqrt{3}} $，求 $ 2a^2 - 8a + 1 $ 的值. 他们这样解答：
$ a=\dfrac{1}{2+\sqrt{3}}=\dfrac{2-\sqrt{3}}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}=2-\sqrt{3} $，
$ \therefore a-2=-\sqrt{3} $，$ \therefore (a-2)^2=3 $，即 $ a^2 - 4a + 4=3 $，
$ \therefore a^2 - 4a=-1 $，$ \therefore 2a^2 - 8a + 1=2(a^2 - 4a)+1=2×(-1)+1=-1 $.
请你根据小明所在小组的解题方法和过程，解决以下问题.
（1）化简：$ \dfrac{1}{\sqrt{5}-2}= $ \underline{$\quad\quad\quad\quad$}.
（2）计算：$ ( \dfrac{1}{\sqrt{2}+1}+\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}+\dots+\dfrac{1}{\sqrt{2\,026}+\sqrt{2\,025}} )×(\sqrt{2\,026}+1) $.
（3）已知 $ a=\dfrac{1}{\sqrt{5}-2} $.
①求 $ a^2 - 4a $ 的值.
②求 $ 2a^4 - 8a^3 - 8a + 4 $ 的值.
答案
（1）$\sqrt{5}+2$；（2）$2025$；（3）①$1$；②$6$
解析
【分析】
（1）本题考查分母有理化，利用平方差公式，给分子分母同乘分母的共轭根式$\sqrt{5}+2$，消去分母中的根号即可化简。
（2）先将每一项分式仿照（1）的方法分母有理化，可发现相邻项能相互抵消（裂项相消），得到化简后的和之后，再和后面的$(\sqrt{2026}+1)$用平方差公式计算即可。
（3）①先根据（1）的结果得到$a$的值，变形得到$a-2$的表达式，两边平方后整理即可求出$a^2-4a$的值；②将所求高次多项式变形，把$a^2-4a=1$作为整体代入，逐步降次计算即可，避免直接代入$a$的复杂运算。
【解析】
（1）化简$\dfrac{1}{\sqrt{5}-2}$：
分子分母同乘$\sqrt{5}+2$，得
$\dfrac{1}{\sqrt{5}-2}=\dfrac{\sqrt{5}+2}{(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)}=\dfrac{\sqrt{5}+2}{(\sqrt{5})^2-2^2}=\dfrac{\sqrt{5}+2}{5-4}=\sqrt{5}+2$。
（2）计算$( \dfrac{1}{\sqrt{2}+1}+\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}+\dots+\dfrac{1}{\sqrt{2\,026}+\sqrt{2\,025}} )×(\sqrt{2\,026}+1)$：
先对每一项分母有理化：
$\dfrac{1}{\sqrt{2}+1}=\sqrt{2}-1$，$\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\sqrt{3}-\sqrt{2}$，$\dfrac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}=\sqrt{4}-\sqrt{3}$，……，$\dfrac{1}{\sqrt{2026}+\sqrt{2025}}=\sqrt{2026}-\sqrt{2025}$。
将上述结果代入原式括号内，得：
$(\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{4}-\sqrt{3}+\dots+\sqrt{2026}-\sqrt{2025})×(\sqrt{2026}+1)$
中间项全部抵消，仅剩$(\sqrt{2026}-1)×(\sqrt{2026}+1)$，由平方差公式得：
$(\sqrt{2026})^2-1^2=2026-1=2025$。
（3）已知$a=\dfrac{1}{\sqrt{5}-2}$，由（1）得$a=\sqrt{5}+2$。
①求$a^2-4a$的值：
由$a=\sqrt{5}+2$移项得$a-2=\sqrt{5}$，两边平方得：
$(a-2)^2=(\sqrt{5})^2$，即$a^2-4a+4=5$，整理得$a^2-4a=1$。
②求$2a^4 - 8a^3 - 8a + 4$的值：
对多项式变形，前两项提取公因式$2a^2$，得：
$2a^2(a^2-4a)-8a+4$
将$a^2-4a=1$代入，得$2a^2×1 -8a +4=2(a^2-4a)+4$，
再代入$a^2-4a=1$，得$2×1+4=6$。
【答案】
（1）$\sqrt{5}+2$；（2）$2025$；（3）①$1$；②$6$
【知识点】
分母有理化，二次根式运算，整体代入求值
【点评】
本题围绕二次根式的化简展开，考查了分母有理化、裂项相消、整体代入等常用解题方法，将高次多项式通过整体代入降次，能大幅简化计算，熟练掌握平方差公式是解决这类问题的基础。
【难度系数】
0.7
（1）本题考查分母有理化，利用平方差公式，给分子分母同乘分母的共轭根式$\sqrt{5}+2$，消去分母中的根号即可化简。
（2）先将每一项分式仿照（1）的方法分母有理化，可发现相邻项能相互抵消（裂项相消），得到化简后的和之后，再和后面的$(\sqrt{2026}+1)$用平方差公式计算即可。
（3）①先根据（1）的结果得到$a$的值，变形得到$a-2$的表达式，两边平方后整理即可求出$a^2-4a$的值；②将所求高次多项式变形，把$a^2-4a=1$作为整体代入，逐步降次计算即可，避免直接代入$a$的复杂运算。
【解析】
（1）化简$\dfrac{1}{\sqrt{5}-2}$：
分子分母同乘$\sqrt{5}+2$，得
$\dfrac{1}{\sqrt{5}-2}=\dfrac{\sqrt{5}+2}{(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)}=\dfrac{\sqrt{5}+2}{(\sqrt{5})^2-2^2}=\dfrac{\sqrt{5}+2}{5-4}=\sqrt{5}+2$。
（2）计算$( \dfrac{1}{\sqrt{2}+1}+\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}+\dots+\dfrac{1}{\sqrt{2\,026}+\sqrt{2\,025}} )×(\sqrt{2\,026}+1)$：
先对每一项分母有理化：
$\dfrac{1}{\sqrt{2}+1}=\sqrt{2}-1$，$\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\sqrt{3}-\sqrt{2}$，$\dfrac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}=\sqrt{4}-\sqrt{3}$，……，$\dfrac{1}{\sqrt{2026}+\sqrt{2025}}=\sqrt{2026}-\sqrt{2025}$。
将上述结果代入原式括号内，得：
$(\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{4}-\sqrt{3}+\dots+\sqrt{2026}-\sqrt{2025})×(\sqrt{2026}+1)$
中间项全部抵消，仅剩$(\sqrt{2026}-1)×(\sqrt{2026}+1)$，由平方差公式得：
$(\sqrt{2026})^2-1^2=2026-1=2025$。
（3）已知$a=\dfrac{1}{\sqrt{5}-2}$，由（1）得$a=\sqrt{5}+2$。
①求$a^2-4a$的值：
由$a=\sqrt{5}+2$移项得$a-2=\sqrt{5}$，两边平方得：
$(a-2)^2=(\sqrt{5})^2$，即$a^2-4a+4=5$，整理得$a^2-4a=1$。
②求$2a^4 - 8a^3 - 8a + 4$的值：
对多项式变形，前两项提取公因式$2a^2$，得：
$2a^2(a^2-4a)-8a+4$
将$a^2-4a=1$代入，得$2a^2×1 -8a +4=2(a^2-4a)+4$，
再代入$a^2-4a=1$，得$2×1+4=6$。
【答案】
（1）$\sqrt{5}+2$；（2）$2025$；（3）①$1$；②$6$
【知识点】
分母有理化，二次根式运算，整体代入求值
【点评】
本题围绕二次根式的化简展开，考查了分母有理化、裂项相消、整体代入等常用解题方法，将高次多项式通过整体代入降次，能大幅简化计算，熟练掌握平方差公式是解决这类问题的基础。
【难度系数】
0.7
