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20. 现有两块同样大小的长方形纸片（如图①和图②），小星采用如图①所示的方式，在长方形纸片上裁出两块面积分别为$18\ \mathrm{cm}^2$和$32\ \mathrm{cm}^2$的正方形纸片A，B.
（1）原长方形纸片的长$\_\_\_\_\_\_\ \mathrm{cm}$，宽为$\_\_\_\_\_\_\ \mathrm{cm}$.
（2）求图①中阴影部分的面积.
（3）若小星想采用如图②所示的方式，在长方形纸片上裁出两块面积均为$25\ \mathrm{cm}^2$的正方形纸片，请你判断能否裁出，并说明理由.
（1）原长方形纸片的长$\_\_\_\_\_\_\ \mathrm{cm}$，宽为$\_\_\_\_\_\_\ \mathrm{cm}$.
（2）求图①中阴影部分的面积.
（3）若小星想采用如图②所示的方式，在长方形纸片上裁出两块面积均为$25\ \mathrm{cm}^2$的正方形纸片，请你判断能否裁出，并说明理由.
答案
（1）$7\sqrt{2}$；$4\sqrt{2}$
（2）$6\ \mathrm{cm}^2$
（3）不能，理由：两个面积为$25\ \mathrm{cm}^2$的正方形边长均为$5\ \mathrm{cm}$，并排总长度为$10\ \mathrm{cm}$，原长方形长约为$9.9\ \mathrm{cm}$，$10＞9.9$，无法裁出。
（2）$6\ \mathrm{cm}^2$
（3）不能，理由：两个面积为$25\ \mathrm{cm}^2$的正方形边长均为$5\ \mathrm{cm}$，并排总长度为$10\ \mathrm{cm}$，原长方形长约为$9.9\ \mathrm{cm}$，$10＞9.9$，无法裁出。
解析
【分析】
解题时先利用正方形面积与边长的关系求出各正方形的边长，再结合图形边长的对应关系求解：
1. 求原长方形的长和宽：原长方形的长为两个正方形的边长之和，宽等于面积较大的正方形B的边长，先化简二次根式求出两个正方形的边长即可计算；
2. 求阴影部分面积：阴影部分为长方形，长等于小正方形A的边长，宽等于大正方形B与小正方形A的边长差，代入长方形面积公式计算即可；
3. 判断能否裁出指定正方形：先求出单块面积为25cm²的正方形边长，再计算两块并排的总长度，和原长方形的长比较大小即可得出结论。
【解析】
（1）先计算裁出的两个正方形的边长：
正方形A的面积为$18\ \mathrm{cm}^2$，则边长为$\sqrt{18}=3\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$；
正方形B的面积为$32\ \mathrm{cm}^2$，则边长为$\sqrt{32}=4\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$；
原长方形的长 = 正方形A的边长 + 正方形B的边长 = $3\sqrt{2}+4\sqrt{2}=7\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$；
原长方形的宽等于较大正方形B的边长，即$4\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$。
（2）阴影部分是长方形，长为小正方形A的边长$3\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$，宽为大正方形B与小正方形A的边长差：$4\sqrt{2}-3\sqrt{2}=\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$；
阴影部分面积 = 长×宽 = $3\sqrt{2} × \sqrt{2}=3×2=6\ \mathrm{cm}^2$。
（3）不能裁出，理由如下：
面积为$25\ \mathrm{cm}^2$的正方形边长为$\sqrt{25}=5\ \mathrm{cm}$，两块该正方形并排摆放的总长度为$5+5=10\ \mathrm{cm}$；
原长方形的长为$7\sqrt{2}\approx9.9\ \mathrm{cm}$，$10＞9.9$，因此无法裁出两块符合要求的正方形。
【答案】
（1）$7\sqrt{2}$；$4\sqrt{2}$
（2）$6\ \mathrm{cm}^2$
（3）不能，理由：两个面积为$25\ \mathrm{cm}^2$的正方形边长均为$5\ \mathrm{cm}$，并排总长度为$10\ \mathrm{cm}$，原长方形长约为$9.9\ \mathrm{cm}$，$10＞9.9$，无法裁出。
【知识点】
二次根式的应用，正方形面积计算，长方形面积计算
【点评】
本题结合图形裁剪问题考查二次根式的实际应用，解题核心是找准裁剪前后图形边长的对应关系，比较长度大小时可将无理数近似为小数降低判断难度。
【难度系数】
0.7
解题时先利用正方形面积与边长的关系求出各正方形的边长，再结合图形边长的对应关系求解：
1. 求原长方形的长和宽：原长方形的长为两个正方形的边长之和，宽等于面积较大的正方形B的边长，先化简二次根式求出两个正方形的边长即可计算；
2. 求阴影部分面积：阴影部分为长方形，长等于小正方形A的边长，宽等于大正方形B与小正方形A的边长差，代入长方形面积公式计算即可；
3. 判断能否裁出指定正方形：先求出单块面积为25cm²的正方形边长，再计算两块并排的总长度，和原长方形的长比较大小即可得出结论。
【解析】
（1）先计算裁出的两个正方形的边长：
正方形A的面积为$18\ \mathrm{cm}^2$，则边长为$\sqrt{18}=3\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$；
正方形B的面积为$32\ \mathrm{cm}^2$，则边长为$\sqrt{32}=4\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$；
原长方形的长 = 正方形A的边长 + 正方形B的边长 = $3\sqrt{2}+4\sqrt{2}=7\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$；
原长方形的宽等于较大正方形B的边长，即$4\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$。
（2）阴影部分是长方形，长为小正方形A的边长$3\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$，宽为大正方形B与小正方形A的边长差：$4\sqrt{2}-3\sqrt{2}=\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$；
阴影部分面积 = 长×宽 = $3\sqrt{2} × \sqrt{2}=3×2=6\ \mathrm{cm}^2$。
（3）不能裁出，理由如下：
面积为$25\ \mathrm{cm}^2$的正方形边长为$\sqrt{25}=5\ \mathrm{cm}$，两块该正方形并排摆放的总长度为$5+5=10\ \mathrm{cm}$；
原长方形的长为$7\sqrt{2}\approx9.9\ \mathrm{cm}$，$10＞9.9$，因此无法裁出两块符合要求的正方形。
【答案】
（1）$7\sqrt{2}$；$4\sqrt{2}$
（2）$6\ \mathrm{cm}^2$
（3）不能，理由：两个面积为$25\ \mathrm{cm}^2$的正方形边长均为$5\ \mathrm{cm}$，并排总长度为$10\ \mathrm{cm}$，原长方形长约为$9.9\ \mathrm{cm}$，$10＞9.9$，无法裁出。
【知识点】
二次根式的应用，正方形面积计算，长方形面积计算
【点评】
本题结合图形裁剪问题考查二次根式的实际应用，解题核心是找准裁剪前后图形边长的对应关系，比较长度大小时可将无理数近似为小数降低判断难度。
【难度系数】
0.7
