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1. 如图2-3-1，若三个正方形中的两个的面积分别为$S_1=25$，$S_2=144$，则第三个正方形的面积$S_3$为(
A.17
B.119
C.169
D.无法计算
C
).A.17
B.119
C.169
D.无法计算
答案
1.C
解析
【分析】
首先观察图形，三个正方形的边长恰好对应中间直角三角形的三条边，正方形的面积等于边长的平方，因此我们可以结合勾股定理，找到三个正方形面积之间的关系，进而计算S₃的大小。
【解析】
设面积为$S_1$、$S_2$、$S_3$的正方形边长分别为$a$、$b$、$c$。
根据正方形面积公式可得：$S_1=a^2=25$，$S_2=b^2=144$，$S_3=c^2$。
由图可知，边长$a$、$b$为中间直角三角形的两条直角边，边长$c$为该直角三角形的斜边，根据勾股定理：
$a^2 + b^2 = c^2$
代入面积关系可得：
$S_3 = S_1 + S_2 = 25 + 144 = 169$
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；正方形面积计算
【点评】
本题是勾股定理的经典应用题型，解题关键是将正方形的面积与直角三角形的边长平方对应起来，直接利用勾股定理推导三个正方形的面积关系即可求解，计算量小。
【难度系数】
0.8
首先观察图形，三个正方形的边长恰好对应中间直角三角形的三条边，正方形的面积等于边长的平方，因此我们可以结合勾股定理，找到三个正方形面积之间的关系，进而计算S₃的大小。
【解析】
设面积为$S_1$、$S_2$、$S_3$的正方形边长分别为$a$、$b$、$c$。
根据正方形面积公式可得：$S_1=a^2=25$，$S_2=b^2=144$，$S_3=c^2$。
由图可知，边长$a$、$b$为中间直角三角形的两条直角边，边长$c$为该直角三角形的斜边，根据勾股定理：
$a^2 + b^2 = c^2$
代入面积关系可得：
$S_3 = S_1 + S_2 = 25 + 144 = 169$
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；正方形面积计算
【点评】
本题是勾股定理的经典应用题型，解题关键是将正方形的面积与直角三角形的边长平方对应起来，直接利用勾股定理推导三个正方形的面积关系即可求解，计算量小。
【难度系数】
0.8
2. 在$△ ABC$中，若$∠ A$，$∠ B$，$∠ C$的对边的长度分别是$a$，$b$，$c$，则下列条件不能判定$△ ABC$是直角三角形的是(
A.$∠ A+∠ B=90°$
B.$∠ A+∠ B=∠ C$
C.$a=1$，$b=3$，$c=\sqrt{10}$
D.$a:b:c=1:2:2$
D
).A.$∠ A+∠ B=90°$
B.$∠ A+∠ B=∠ C$
C.$a=1$，$b=3$，$c=\sqrt{10}$
D.$a:b:c=1:2:2$
答案
2.D
解析
【分析】
这道题考查直角三角形的判定，我们可以从角的关系、勾股定理逆定理两个角度逐一验证每个选项，最终选出无法判定△ABC为直角三角形的选项。解题思路如下：首先明确判定依据：1.角的判定：若三角形有一个内角为90°，或两个内角互余，则为直角三角形，可结合三角形内角和为180°推导角的度数；2.边的判定：若三角形两条较短边的平方和等于最长边的平方，根据勾股定理逆定理可判定为直角三角形。接下来逐个分析选项即可。
【解析】
我们逐个验证选项：
A选项：已知∠A+∠B=90°，根据三角形内角和为180°，可得∠C=180°-(∠A+∠B)=90°，可判定△ABC是直角三角形，不符合题意。
B选项：已知∠A+∠B=∠C，结合内角和公式∠A+∠B+∠C=180°，代入得2∠C=180°，解得∠C=90°，可判定△ABC是直角三角形，不符合题意。
C选项：已知三边长a=1，b=3，c=√10，最长边为c=√10，计算得a²+b²=1²+3²=10，c²=(√10)²=10，即a²+b²=c²，符合勾股定理逆定理，可判定△ABC是直角三角形，不符合题意。
D选项：已知a:b:c=1:2:2，设a=k，b=2k，c=2k（k＞0），最长边为b和c，计算得a²+b²=k²+(2k)²=5k²，c²=(2k)²=4k²，5k²≠4k²，不满足勾股定理逆定理，也无角的条件可推出直角，因此不能判定△ABC是直角三角形，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
直角三角形的判定；三角形内角和定理；勾股定理逆定理
【点评】
本题是直角三角形判定的基础题型，需要熟练掌握角、边两类判定方法，使用勾股定理逆定理时要先确定最长边，再验证平方和的等量关系，同时要注意审题，明确题目要求选“不能判定”的选项。
【难度系数】
0.8
这道题考查直角三角形的判定，我们可以从角的关系、勾股定理逆定理两个角度逐一验证每个选项，最终选出无法判定△ABC为直角三角形的选项。解题思路如下：首先明确判定依据：1.角的判定：若三角形有一个内角为90°，或两个内角互余，则为直角三角形，可结合三角形内角和为180°推导角的度数；2.边的判定：若三角形两条较短边的平方和等于最长边的平方，根据勾股定理逆定理可判定为直角三角形。接下来逐个分析选项即可。
【解析】
我们逐个验证选项：
A选项：已知∠A+∠B=90°，根据三角形内角和为180°，可得∠C=180°-(∠A+∠B)=90°，可判定△ABC是直角三角形，不符合题意。
B选项：已知∠A+∠B=∠C，结合内角和公式∠A+∠B+∠C=180°，代入得2∠C=180°，解得∠C=90°，可判定△ABC是直角三角形，不符合题意。
C选项：已知三边长a=1，b=3，c=√10，最长边为c=√10，计算得a²+b²=1²+3²=10，c²=(√10)²=10，即a²+b²=c²，符合勾股定理逆定理，可判定△ABC是直角三角形，不符合题意。
D选项：已知a:b:c=1:2:2，设a=k，b=2k，c=2k（k＞0），最长边为b和c，计算得a²+b²=k²+(2k)²=5k²，c²=(2k)²=4k²，5k²≠4k²，不满足勾股定理逆定理，也无角的条件可推出直角，因此不能判定△ABC是直角三角形，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
直角三角形的判定；三角形内角和定理；勾股定理逆定理
【点评】
本题是直角三角形判定的基础题型，需要熟练掌握角、边两类判定方法，使用勾股定理逆定理时要先确定最长边，再验证平方和的等量关系，同时要注意审题，明确题目要求选“不能判定”的选项。
【难度系数】
0.8
3. 如图2-3-2，等边三角形OAB的边长为2，则点B的坐标为(
A.(1，1)
B.(1，$\sqrt{3}$)
C.($\sqrt{3}$，1)
D.($\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$)
B
).A.(1，1)
B.(1，$\sqrt{3}$)
C.($\sqrt{3}$，1)
D.($\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$)
答案
3.B
解析
【分析】
要确定点B的坐标，需分别求出点B到x轴、y轴的距离，再结合所在象限确定坐标符号。可过点B向x轴作垂线，先利用等边三角形“三线合一”的性质求出横坐标对应的线段长度，再用勾股定理求出纵坐标对应的垂线段长度，即可得到点B的坐标。
【解析】
过点B作BC⊥OA于点C，
∵△OAB是边长为2的等边三角形，
∴OA=OB=2，根据等边三角形三线合一的性质，可得$OC=\frac{1}{2}OA=\frac{1}{2}×2=1$，
在Rt△OBC中，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{OB^2-OC^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$，
∵点B在第一象限，横、纵坐标均为正，
∴点B的坐标为$(1,\sqrt{3})$。
【答案】
B
【知识点】
等边三角形的性质、勾股定理、平面直角坐标系中点的坐标
【点评】
本题是几何与坐标结合的基础题型，解题关键是通过作垂线将坐标求解转化为直角三角形的边长计算，掌握等边三角形的特殊性质和勾股定理就能快速得出结果。
【难度系数】
0.8
要确定点B的坐标，需分别求出点B到x轴、y轴的距离，再结合所在象限确定坐标符号。可过点B向x轴作垂线，先利用等边三角形“三线合一”的性质求出横坐标对应的线段长度，再用勾股定理求出纵坐标对应的垂线段长度，即可得到点B的坐标。
【解析】
过点B作BC⊥OA于点C，
∵△OAB是边长为2的等边三角形，
∴OA=OB=2，根据等边三角形三线合一的性质，可得$OC=\frac{1}{2}OA=\frac{1}{2}×2=1$，
在Rt△OBC中，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{OB^2-OC^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$，
∵点B在第一象限，横、纵坐标均为正，
∴点B的坐标为$(1,\sqrt{3})$。
【答案】
B
【知识点】
等边三角形的性质、勾股定理、平面直角坐标系中点的坐标
【点评】
本题是几何与坐标结合的基础题型，解题关键是通过作垂线将坐标求解转化为直角三角形的边长计算，掌握等边三角形的特殊性质和勾股定理就能快速得出结果。
【难度系数】
0.8
4. 如图2-3-3，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，将△ABC折叠，使点B恰好落在边AC上，记为点B'，AE为折痕，
则BE的长等于(
A.3
B.2
C.1.5
D.2.5
则BE的长等于(
C
)。A.3
B.2
C.1.5
D.2.5
答案
4.C
解析
【分析】
遇到折叠类几何题，首先利用折叠的轴对称性质，可得对应边相等、对应角相等，因此BE=B'E，∠AB'E=∠B=90°。接下来先通过勾股定理求出斜边AC的长度，再设BE的长为x，将Rt△B'EC的三条边用含x的代数式表示，最后在Rt△B'EC中利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$
根据折叠的性质可知：$AB'=AB=3$，$B'E=BE$，$∠ AB'E=∠ B=90°$，
因此$∠ EB'C=90°$，$B'C=AC-AB'=5-3=2$。
设$BE=x$，则$B'E=x$，$EC=BC-BE=4-x$，
在Rt△B'EC中，由勾股定理得：$B'E^2 + B'C^2 = EC^2$，
代入得：$x^2 + 2^2 = (4-x)^2$
展开化简：$x^2 + 4 = 16 - 8x + x^2$
消去$x^2$后移项得：$8x=12$
解得：$x=1.5$，即BE的长为1.5。
【答案】
C
【知识点】
折叠的性质；勾股定理；方程思想
【点评】
本题是折叠与勾股定理结合的常规题型，核心是利用折叠性质转化相等的边与角，再通过设未知数构造勾股定理的等量关系求解，能够很好地考查数形结合的应用能力。
【难度系数】
0.7
遇到折叠类几何题，首先利用折叠的轴对称性质，可得对应边相等、对应角相等，因此BE=B'E，∠AB'E=∠B=90°。接下来先通过勾股定理求出斜边AC的长度，再设BE的长为x，将Rt△B'EC的三条边用含x的代数式表示，最后在Rt△B'EC中利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$
根据折叠的性质可知：$AB'=AB=3$，$B'E=BE$，$∠ AB'E=∠ B=90°$，
因此$∠ EB'C=90°$，$B'C=AC-AB'=5-3=2$。
设$BE=x$，则$B'E=x$，$EC=BC-BE=4-x$，
在Rt△B'EC中，由勾股定理得：$B'E^2 + B'C^2 = EC^2$，
代入得：$x^2 + 2^2 = (4-x)^2$
展开化简：$x^2 + 4 = 16 - 8x + x^2$
消去$x^2$后移项得：$8x=12$
解得：$x=1.5$，即BE的长为1.5。
【答案】
C
【知识点】
折叠的性质；勾股定理；方程思想
【点评】
本题是折叠与勾股定理结合的常规题型，核心是利用折叠性质转化相等的边与角，再通过设未知数构造勾股定理的等量关系求解，能够很好地考查数形结合的应用能力。
【难度系数】
0.7
5. 如图2-3-4，在$8×5$网格中，每个小正方形的边长都为1，则网格上的$△ ABC$的形状是
直角三角形
。答案
5. 直角三角形
解析
【分析】
要判断网格中△ABC的形状，我们可以先借助勾股定理求出三角形三条边长的平方，再利用勾股定理的逆定理，验证是否存在两边的平方和等于第三边的平方，即可判断三角形是否为直角三角形。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，根据勾股定理分别计算△ABC三边的平方：
1. 计算AB的平方：AB在横向的距离为2，纵向的距离为3，因此$AB^2=2^2+3^2=4+9=13$；
2. 计算BC的平方：BC在横向的距离为6，纵向的距离为4，因此$BC^2=6^2+4^2=36+16=52$；
3. 计算AC的平方：AC在横向的距离为8，纵向的距离为1，因此$AC^2=8^2+1^2=64+1=65$；
验证三边平方的关系：$AB^2+BC^2=13+52=65=AC^2$，根据勾股定理的逆定理，可知△ABC为直角三角形。
【答案】
直角三角形
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理
【点评】
本题考查网格背景下三角形形状的判定，核心是利用勾股定理求出各边长度的平方，再结合逆定理判断，解题时要注意准确数出各边对应的横向、纵向格数，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
要判断网格中△ABC的形状，我们可以先借助勾股定理求出三角形三条边长的平方，再利用勾股定理的逆定理，验证是否存在两边的平方和等于第三边的平方，即可判断三角形是否为直角三角形。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，根据勾股定理分别计算△ABC三边的平方：
1. 计算AB的平方：AB在横向的距离为2，纵向的距离为3，因此$AB^2=2^2+3^2=4+9=13$；
2. 计算BC的平方：BC在横向的距离为6，纵向的距离为4，因此$BC^2=6^2+4^2=36+16=52$；
3. 计算AC的平方：AC在横向的距离为8，纵向的距离为1，因此$AC^2=8^2+1^2=64+1=65$；
验证三边平方的关系：$AB^2+BC^2=13+52=65=AC^2$，根据勾股定理的逆定理，可知△ABC为直角三角形。
【答案】
直角三角形
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理
【点评】
本题考查网格背景下三角形形状的判定，核心是利用勾股定理求出各边长度的平方，再结合逆定理判断，解题时要注意准确数出各边对应的横向、纵向格数，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
6. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$a$，$b$，$c$分别是$∠ A$，$∠ B$，$∠ C$所对边的长.若$∠ B=90°$，$a=6$，$c=10$，则$b=$
$2\sqrt{34}$
.答案
6.$2\sqrt{34}$
解析
【分析】
首先明确本题是直角三角形边长计算问题，解题第一步要根据直角的位置确定斜边：直角所对的边为斜边，本题中∠B=90°，因此∠B对应的边b是斜边，a、c为两条直角边。接下来运用勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，代入已知边长计算，最后将结果化简为最简二次根式即可。
【解析】
解：
∵在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ B=90°$
∴$b$是直角三角形的斜边，$a$、$c$为两条直角边
根据勾股定理可得：$b^2=a^2+c^2$
将$a=6$，$c=10$代入公式得：
$b^2=6^2+10^2=36+100=136$
∵三角形边长为正数，即$b＞0$
∴$b=\sqrt{136}=\sqrt{4×34}=2\sqrt{34}$
【答案】
$2\sqrt{34}$
【知识点】
勾股定理，二次根式化简
【点评】
本题属于勾股定理的基础应用类题目，解题核心是先根据直角的位置准确区分斜边和直角边，避免受思维定式误将c当作斜边，最终计算结果要注意将二次根式化为最简形式。
【难度系数】
0.85
首先明确本题是直角三角形边长计算问题，解题第一步要根据直角的位置确定斜边：直角所对的边为斜边，本题中∠B=90°，因此∠B对应的边b是斜边，a、c为两条直角边。接下来运用勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，代入已知边长计算，最后将结果化简为最简二次根式即可。
【解析】
解：
∵在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ B=90°$
∴$b$是直角三角形的斜边，$a$、$c$为两条直角边
根据勾股定理可得：$b^2=a^2+c^2$
将$a=6$，$c=10$代入公式得：
$b^2=6^2+10^2=36+100=136$
∵三角形边长为正数，即$b＞0$
∴$b=\sqrt{136}=\sqrt{4×34}=2\sqrt{34}$
【答案】
$2\sqrt{34}$
【知识点】
勾股定理，二次根式化简
【点评】
本题属于勾股定理的基础应用类题目，解题核心是先根据直角的位置准确区分斜边和直角边，避免受思维定式误将c当作斜边，最终计算结果要注意将二次根式化为最简形式。
【难度系数】
0.85
7. 将一副三角尺按如图2-3-5所示的方式叠放在一起. 若AB=16 cm, 则阴影部分的面积是
图2-3-5
32
cm², AF的长为$8\sqrt{2}$
cm. 图2-3-5答案
7. 32；$8\sqrt{2}$
解析
【分析】
解题思路如下：第一步，先利用含30°角的直角三角形的性质求出直角边AC的长度；第二步，根据两条水平边CB和ED平行，由平行线的同位角相等得到∠AFC=45°，结合∠ACF是直角，可判断阴影部分的△ACF是等腰直角三角形，得到CF=AC；第三步，分别利用三角形面积公式计算阴影面积，利用勾股定理计算AF的长度即可。
【解析】
1. 求AC的长度：
在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB=16cm，根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得：
$ AC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×16=8\mathrm{cm} $
2. 判断△ACF的形状：
∵ $ CB// ED $，∠D=45°，
∴ 同位角∠AFC=∠D=45°，
又
∵ ∠ACF=90°，
∴ ∠CAF=90°-45°=45°，即∠CAF=∠AFC，
∴ $ CF=AC=8\mathrm{cm} $，△ACF为等腰直角三角形。
3. 计算阴影部分面积：
$ S_{\mathrm{阴影}}=\frac{1}{2}× AC× CF=\frac{1}{2}×8×8=32\mathrm{cm}^2 $
4. 计算AF的长度：
在等腰Rt△ACF中，由勾股定理得：
$ AF=\sqrt{AC^2+CF^2}=\sqrt{8^2+8^2}=8\sqrt{2}\mathrm{cm} $
【答案】
32；$ 8\sqrt{2} $
【知识点】
含30°角的直角三角形性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理
【点评】
本题结合常见的三角尺叠放场景考查特殊三角形的边角计算，解题的核心是先求出公共直角边AC的长度，再判断出阴影三角形为等腰直角三角形，是几何基础计算类的典型题目。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：第一步，先利用含30°角的直角三角形的性质求出直角边AC的长度；第二步，根据两条水平边CB和ED平行，由平行线的同位角相等得到∠AFC=45°，结合∠ACF是直角，可判断阴影部分的△ACF是等腰直角三角形，得到CF=AC；第三步，分别利用三角形面积公式计算阴影面积，利用勾股定理计算AF的长度即可。
【解析】
1. 求AC的长度：
在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB=16cm，根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得：
$ AC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×16=8\mathrm{cm} $
2. 判断△ACF的形状：
∵ $ CB// ED $，∠D=45°，
∴ 同位角∠AFC=∠D=45°，
又
∵ ∠ACF=90°，
∴ ∠CAF=90°-45°=45°，即∠CAF=∠AFC，
∴ $ CF=AC=8\mathrm{cm} $，△ACF为等腰直角三角形。
3. 计算阴影部分面积：
$ S_{\mathrm{阴影}}=\frac{1}{2}× AC× CF=\frac{1}{2}×8×8=32\mathrm{cm}^2 $
4. 计算AF的长度：
在等腰Rt△ACF中，由勾股定理得：
$ AF=\sqrt{AC^2+CF^2}=\sqrt{8^2+8^2}=8\sqrt{2}\mathrm{cm} $
【答案】
32；$ 8\sqrt{2} $
【知识点】
含30°角的直角三角形性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理
【点评】
本题结合常见的三角尺叠放场景考查特殊三角形的边角计算，解题的核心是先求出公共直角边AC的长度，再判断出阴影三角形为等腰直角三角形，是几何基础计算类的典型题目。
【难度系数】
0.7
8. 在$△ ABC$中，$AB=AC=5$，$BC=6$，则$△ ABC$的面积为________。
答案
8.12
解析
【分析】
这是一道等腰三角形面积计算的题目，解题思路如下：首先△ABC是AB=AC的等腰三角形，我们可以利用等腰三角形“三线合一”的性质，过顶点A作底边BC的高，将等腰三角形拆分为两个全等的直角三角形，先通过勾股定理求出高的长度，再代入三角形面积公式即可算出结果。
【解析】
解：过点A作AD⊥BC，垂足为D。
∵AB=AC=5，AD⊥BC，
∴根据等腰三角形三线合一的性质，D为BC的中点，
∵BC=6，
∴BD=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$×6=3。
在Rt△ABD中，由勾股定理得：
$AD^2+BD^2=AB^2$
代入数值：$AD^2+3^2=5^2$
计算得$AD^2=25-9=16$，
∵AD为三角形的高，长度为正，
∴AD=4。
∴$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×BC×AD=\frac{1}{2}×6×4=12$。
【答案】
12
【知识点】
等腰三角形的性质；勾股定理；三角形面积计算
【点评】
本题属于基础几何计算题，作底边的高是解决等腰三角形相关计算问题的常用辅助线方法，结合勾股定理求出高的长度是解题的核心，计算量小，解题思路固定。
【难度系数】
0.8
这是一道等腰三角形面积计算的题目，解题思路如下：首先△ABC是AB=AC的等腰三角形，我们可以利用等腰三角形“三线合一”的性质，过顶点A作底边BC的高，将等腰三角形拆分为两个全等的直角三角形，先通过勾股定理求出高的长度，再代入三角形面积公式即可算出结果。
【解析】
解：过点A作AD⊥BC，垂足为D。
∵AB=AC=5，AD⊥BC，
∴根据等腰三角形三线合一的性质，D为BC的中点，
∵BC=6，
∴BD=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$×6=3。
在Rt△ABD中，由勾股定理得：
$AD^2+BD^2=AB^2$
代入数值：$AD^2+3^2=5^2$
计算得$AD^2=25-9=16$，
∵AD为三角形的高，长度为正，
∴AD=4。
∴$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×BC×AD=\frac{1}{2}×6×4=12$。
【答案】
12
【知识点】
等腰三角形的性质；勾股定理；三角形面积计算
【点评】
本题属于基础几何计算题，作底边的高是解决等腰三角形相关计算问题的常用辅助线方法，结合勾股定理求出高的长度是解题的核心，计算量小，解题思路固定。
【难度系数】
0.8
9. 如图2-3-6，在两面墙之间有一架底端在A点的梯子，当它靠在一面墙上时，梯子的顶端在B点；当它靠在另一面墙上时，梯子的顶端在D点. 已知∠BAC=60°，∠DAE=45°，点D到地面的距离DE=3√2 m，则点B到地面的距离BC为
图2-3-6
$3\sqrt{3}$
m.图2-3-6
答案
9.$3\sqrt{3}$
解析
【分析】
解题的关键是抓住梯子长度不变，即AB=AD这一隐含条件。首先在Rt△ADE中，利用等腰直角三角形的性质结合勾股定理求出AD（即梯子的总长度），再将梯子长度代入Rt△ABC中，利用直角三角形30°角的性质和勾股定理计算出BC的长度即可。
【解析】
解：在Rt△ADE中，∠E=90°，∠DAE=45°，
∴∠ADE=∠DAE=45°，
∴AE=DE=$3\sqrt{2}$ m，
由勾股定理得：$AD=\sqrt{AE^2+DE^2}=\sqrt{(3\sqrt{2})^2+(3\sqrt{2})^2}=\sqrt{18+18}=\sqrt{36}=6$ m，
∵梯子长度不变，
∴AB=AD=6 m，
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=60°，
∴∠ABC=30°，
∴$AC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×6=3$ m，
再由勾股定理得：$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{6^2-3^2}=\sqrt{36-9}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}$ m。
【答案】
$3\sqrt{3}$
【知识点】
等腰直角三角形性质、勾股定理、直角三角形30°角性质
【点评】
本题结合生活中的梯子场景考查直角三角形相关性质的应用，解题时要注意挖掘梯子长度不变这一隐含条件，先后对两个直角三角形分析计算即可得出结果，侧重对基础知识的应用能力考查。
【难度系数】
0.7
解题的关键是抓住梯子长度不变，即AB=AD这一隐含条件。首先在Rt△ADE中，利用等腰直角三角形的性质结合勾股定理求出AD（即梯子的总长度），再将梯子长度代入Rt△ABC中，利用直角三角形30°角的性质和勾股定理计算出BC的长度即可。
【解析】
解：在Rt△ADE中，∠E=90°，∠DAE=45°，
∴∠ADE=∠DAE=45°，
∴AE=DE=$3\sqrt{2}$ m，
由勾股定理得：$AD=\sqrt{AE^2+DE^2}=\sqrt{(3\sqrt{2})^2+(3\sqrt{2})^2}=\sqrt{18+18}=\sqrt{36}=6$ m，
∵梯子长度不变，
∴AB=AD=6 m，
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=60°，
∴∠ABC=30°，
∴$AC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×6=3$ m，
再由勾股定理得：$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{6^2-3^2}=\sqrt{36-9}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}$ m。
【答案】
$3\sqrt{3}$
【知识点】
等腰直角三角形性质、勾股定理、直角三角形30°角性质
【点评】
本题结合生活中的梯子场景考查直角三角形相关性质的应用，解题时要注意挖掘梯子长度不变这一隐含条件，先后对两个直角三角形分析计算即可得出结果，侧重对基础知识的应用能力考查。
【难度系数】
0.7
