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10. 图2-3-7是一块地的示意图，已知AD=4 m，DC=3 m，CD⊥AD，AB=13 m，BC=12 m，则这块地的面积为
24
m². 答案
10.24
解析
【分析】
首先观察图形，已知△ADC是直角三角形且两条直角边长度已知，我们可以先连接辅助线AC：第一步利用勾股定理求出AC的长度；再结合给出的AB、BC的长度，利用勾股定理的逆定理判断△ABC是直角三角形；最后这块不规则地块的面积等于直角△ABC的面积减去直角△ADC的面积，即可求解。
【解析】
解：连接AC
∵ CD⊥AD
∴ ∠ADC = 90°
在Rt△ADC中，AD=4m，DC=3m，由勾股定理得：
$AC^2 = AD^2 + DC^2 = 4^2 + 3^2 = 25$
∴ $AC = 5m$
在△ABC中，AC=5m，BC=12m，AB=13m
∵ $AC^2 + BC^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$，$AB^2 = 13^2 = 169$
∴ $AC^2 + BC^2 = AB^2$
∴ ∠ACB = 90°，即△ABC为直角三角形
∴ 这块地的面积$S = S_{△ ABC} - S_{△ ADC}$
$= \frac{1}{2} × AC × BC - \frac{1}{2} × AD × DC$
$= \frac{1}{2} × 5 × 12 - \frac{1}{2} × 4 × 3$
$= 30 - 6$
$= 24(m^2)$
【答案】
24
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理；直角三角形面积计算
【点评】
本题的解题核心是通过添加辅助线将不规则图形转化为两个直角三角形的面积差，需要熟练掌握勾股定理求边长、勾股定理的逆定理判断直角三角形的方法，是几何中不规则图形面积计算的典型题型。
【难度系数】
0.7
首先观察图形，已知△ADC是直角三角形且两条直角边长度已知，我们可以先连接辅助线AC：第一步利用勾股定理求出AC的长度；再结合给出的AB、BC的长度，利用勾股定理的逆定理判断△ABC是直角三角形；最后这块不规则地块的面积等于直角△ABC的面积减去直角△ADC的面积，即可求解。
【解析】
解：连接AC
∵ CD⊥AD
∴ ∠ADC = 90°
在Rt△ADC中，AD=4m，DC=3m，由勾股定理得：
$AC^2 = AD^2 + DC^2 = 4^2 + 3^2 = 25$
∴ $AC = 5m$
在△ABC中，AC=5m，BC=12m，AB=13m
∵ $AC^2 + BC^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$，$AB^2 = 13^2 = 169$
∴ $AC^2 + BC^2 = AB^2$
∴ ∠ACB = 90°，即△ABC为直角三角形
∴ 这块地的面积$S = S_{△ ABC} - S_{△ ADC}$
$= \frac{1}{2} × AC × BC - \frac{1}{2} × AD × DC$
$= \frac{1}{2} × 5 × 12 - \frac{1}{2} × 4 × 3$
$= 30 - 6$
$= 24(m^2)$
【答案】
24
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理；直角三角形面积计算
【点评】
本题的解题核心是通过添加辅助线将不规则图形转化为两个直角三角形的面积差，需要熟练掌握勾股定理求边长、勾股定理的逆定理判断直角三角形的方法，是几何中不规则图形面积计算的典型题型。
【难度系数】
0.7
11. 已知a，b，c为$△ ABC$的三边长，且满足$(a - c)(a^2 + b^2 - c^2) = 0$，则$△ ABC$的形状是
等腰三角形或直角三角形
。答案
11. 等腰三角形或直角三角形
解析
【分析】
本题可根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式的值为0”分情况讨论，再结合三角形的相关判定定理判断形状。首先分析第一个因式为0的情况，可得两边相等，对应等腰三角形；再分析第二个因式为0的情况，符合勾股定理逆定理的形式，对应直角三角形，两种情况均满足等式，需全部列出，不可漏解，也不能错误判定为必须同时满足两个条件的等腰直角三角形。
【解析】
解：已知$(a - c)(a^2 + b^2 - c^2) = 0$，根据乘积为0的性质可得两种情况：
1. 当$a - c = 0$时，解得$a = c$，即$△ ABC$有两条边长相等，因此$△ ABC$为等腰三角形；
2. 当$a^2 + b^2 - c^2 = 0$时，整理得$a^2 + b^2 = c^2$，根据勾股定理的逆定理可知，$∠ C$为直角，因此$△ ABC$为直角三角形。
以上两种情况不需要同时成立，均满足题设条件。
【答案】
等腰三角形或直角三角形
【知识点】
乘积为0的性质、勾股定理逆定理、等腰三角形判定
【点评】
本题属于三角形形状判定的易错题，解题关键是掌握分类讨论的思想，避免只考虑其中一种因式为0的情况导致漏解，也不要错误认为两个因式需要同时为0，误判为等腰直角三角形。
【难度系数】
0.6
本题可根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式的值为0”分情况讨论，再结合三角形的相关判定定理判断形状。首先分析第一个因式为0的情况，可得两边相等，对应等腰三角形；再分析第二个因式为0的情况，符合勾股定理逆定理的形式，对应直角三角形，两种情况均满足等式，需全部列出，不可漏解，也不能错误判定为必须同时满足两个条件的等腰直角三角形。
【解析】
解：已知$(a - c)(a^2 + b^2 - c^2) = 0$，根据乘积为0的性质可得两种情况：
1. 当$a - c = 0$时，解得$a = c$，即$△ ABC$有两条边长相等，因此$△ ABC$为等腰三角形；
2. 当$a^2 + b^2 - c^2 = 0$时，整理得$a^2 + b^2 = c^2$，根据勾股定理的逆定理可知，$∠ C$为直角，因此$△ ABC$为直角三角形。
以上两种情况不需要同时成立，均满足题设条件。
【答案】
等腰三角形或直角三角形
【知识点】
乘积为0的性质、勾股定理逆定理、等腰三角形判定
【点评】
本题属于三角形形状判定的易错题，解题关键是掌握分类讨论的思想，避免只考虑其中一种因式为0的情况导致漏解，也不要错误认为两个因式需要同时为0，误判为等腰直角三角形。
【难度系数】
0.6
12. 现在人们锻炼身体的意识日渐增强，但一些人保护环境的意识却很淡薄. 图2-3-8是某森林公园一角的示意图，从A到C有人为了抄近道而走“捷径AC”，于是在草坪内留下了一条不该有的“径迹AC”. 已知AB = 40 m，BC = 30 m，此人从A到C踩踏了
50
m长的草坪，只为少走20
m长的路. 答案
12. 50；20
解析
【分析】
首先观察图形可得△ABC是直角三角形，且∠B为直角，已知两条直角边AB、BC的长度，要计算捷径AC的长度，可以直接用勾股定理求解；再计算原本沿AB+BC行走的总路程和AC长度的差，就能得到少走的路程。
【解析】
在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=40m，BC=30m，
根据勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，可得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{40^2+30^2}=\sqrt{1600+900}=\sqrt{2500}=50(\mathrm{m})$
原本从A到C的正常路程为$AB+BC=40+30=70(\mathrm{m})$
因此少走的路程为$70-50=20(\mathrm{m})$
【答案】
50；20
【知识点】
勾股定理；长度计算
【点评】
本题结合生活实际场景考查勾股定理的应用，解题难度低，同时也提醒大家在生活中要爱护公共环境，不要为了节省少量路程破坏绿化。
【难度系数】
0.8
首先观察图形可得△ABC是直角三角形，且∠B为直角，已知两条直角边AB、BC的长度，要计算捷径AC的长度，可以直接用勾股定理求解；再计算原本沿AB+BC行走的总路程和AC长度的差，就能得到少走的路程。
【解析】
在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=40m，BC=30m，
根据勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，可得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{40^2+30^2}=\sqrt{1600+900}=\sqrt{2500}=50(\mathrm{m})$
原本从A到C的正常路程为$AB+BC=40+30=70(\mathrm{m})$
因此少走的路程为$70-50=20(\mathrm{m})$
【答案】
50；20
【知识点】
勾股定理；长度计算
【点评】
本题结合生活实际场景考查勾股定理的应用，解题难度低，同时也提醒大家在生活中要爱护公共环境，不要为了节省少量路程破坏绿化。
【难度系数】
0.8
13. 如图2-3-9，在$△ ABC$中，$AB=AC$，以点$C$为圆心，$CB$长为半径画弧，交$AB$于点$B$和点$D$，再分别以点$B$，$D$为圆心，大于$\frac{1}{2}BD$长为半径画弧，两弧相交于点$M$，作射线$CM$交$AB$于点$E$. 若$AC=8$，$BE=2$，则$BC$的长度是(
A.$6$
B.$4\sqrt{3}$
C.$2\sqrt{3}$
D.$4\sqrt{2}$
D
).A.$6$
B.$4\sqrt{3}$
C.$2\sqrt{3}$
D.$4\sqrt{2}$
答案
13.D
解析
【分析】
首先根据尺规作图的步骤判断出CE是线段BD的垂直平分线，可得$CE ⊥ AB$，得到两个直角三角形$Rt△ AEC$和$Rt△ BEC$。结合已知$AB=AC=8$，先求出AE的长度，再利用勾股定理先在$Rt△ AEC$中算出CE的平方，最后在$Rt△ BEC$中计算BC的长度即可。
【解析】
由尺规作图的操作可知，射线CM是线段BD的垂直平分线，因此$CE ⊥ AB$，即$∠ AEC = ∠ BEC = 90°$。
$\because AB=AC$，$AC=8$，$\therefore AB=8$。
又$\because BE=2$，$\therefore AE = AB - BE = 8 - 2 = 6$。
在$Rt△ AEC$中，根据勾股定理：
$CE^2 = AC^2 - AE^2 = 8^2 - 6^2 = 64 - 36 = 28$。
在$Rt△ BEC$中，根据勾股定理：
$BC^2 = BE^2 + CE^2 = 2^2 + 28 = 4 + 28 = 32$，
$\therefore BC = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$（线段长度为正，舍去负根）。
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
尺规作图的性质，勾股定理，等腰三角形的性质
【点评】
本题解题的关键是正确识别尺规作图的结论，得到CE与AB的垂直关系，再结合已知线段长度，两次运用勾股定理即可求出目标线段的长度。
【难度系数】
0.7
首先根据尺规作图的步骤判断出CE是线段BD的垂直平分线，可得$CE ⊥ AB$，得到两个直角三角形$Rt△ AEC$和$Rt△ BEC$。结合已知$AB=AC=8$，先求出AE的长度，再利用勾股定理先在$Rt△ AEC$中算出CE的平方，最后在$Rt△ BEC$中计算BC的长度即可。
【解析】
由尺规作图的操作可知，射线CM是线段BD的垂直平分线，因此$CE ⊥ AB$，即$∠ AEC = ∠ BEC = 90°$。
$\because AB=AC$，$AC=8$，$\therefore AB=8$。
又$\because BE=2$，$\therefore AE = AB - BE = 8 - 2 = 6$。
在$Rt△ AEC$中，根据勾股定理：
$CE^2 = AC^2 - AE^2 = 8^2 - 6^2 = 64 - 36 = 28$。
在$Rt△ BEC$中，根据勾股定理：
$BC^2 = BE^2 + CE^2 = 2^2 + 28 = 4 + 28 = 32$，
$\therefore BC = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$（线段长度为正，舍去负根）。
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
尺规作图的性质，勾股定理，等腰三角形的性质
【点评】
本题解题的关键是正确识别尺规作图的结论，得到CE与AB的垂直关系，再结合已知线段长度，两次运用勾股定理即可求出目标线段的长度。
【难度系数】
0.7
14. 如图2-3-10，各个小正方形的边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得△ABC，则AC边上的高为
$\frac{3\sqrt{5}}{5}$
.答案
14.$\frac{3\sqrt{5}}{5}$
解析
【分析】
要计算AC边上的高，可借助三角形面积公式反向推导，解题思路如下：第一步，利用网格的特点，用割补法求出△ABC的面积；第二步，根据勾股定理计算出AC边的长度；第三步，将面积和AC的长度代入三角形面积公式，即可解出AC边上的高。
【解析】
1. 计算△ABC的面积：
观察网格，包含△ABC的最小正方形边长为2，面积为$2×2=4$。
减去△ABC周围3个直角三角形的面积：
左上角直角三角形面积：$\frac{1}{2}×2×1=1$，
右上角直角三角形面积：$\frac{1}{2}×1×1=\frac{1}{2}$，
下方直角三角形面积：$\frac{1}{2}×2×1=1$，
因此$S_{△ ABC}=4 - 1 - \frac{1}{2} - 1=\frac{3}{2}$。
2. 计算AC的长度：
由网格可知，AC横向间隔为2，纵向间隔为1，根据勾股定理：
$AC=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$。
3. 求AC边上的高：
设AC边上的高为$h$，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，代入得：
$\frac{3}{2}=\frac{1}{2}×\sqrt{5}× h$，
解得$h=\frac{3}{\sqrt{5}}=\frac{3\sqrt{5}}{5}$。
【答案】
$\frac{3\sqrt{5}}{5}$
【知识点】
割补法求面积，勾股定理，三角形面积公式
【点评】
本题是网格几何的常见题型，解题核心是灵活运用割补法快速求出不规则三角形的面积，再结合勾股定理和面积公式求解未知量，能够很好地考查几何基础公式的应用能力。
【难度系数】
0.7
要计算AC边上的高，可借助三角形面积公式反向推导，解题思路如下：第一步，利用网格的特点，用割补法求出△ABC的面积；第二步，根据勾股定理计算出AC边的长度；第三步，将面积和AC的长度代入三角形面积公式，即可解出AC边上的高。
【解析】
1. 计算△ABC的面积：
观察网格，包含△ABC的最小正方形边长为2，面积为$2×2=4$。
减去△ABC周围3个直角三角形的面积：
左上角直角三角形面积：$\frac{1}{2}×2×1=1$，
右上角直角三角形面积：$\frac{1}{2}×1×1=\frac{1}{2}$，
下方直角三角形面积：$\frac{1}{2}×2×1=1$，
因此$S_{△ ABC}=4 - 1 - \frac{1}{2} - 1=\frac{3}{2}$。
2. 计算AC的长度：
由网格可知，AC横向间隔为2，纵向间隔为1，根据勾股定理：
$AC=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$。
3. 求AC边上的高：
设AC边上的高为$h$，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，代入得：
$\frac{3}{2}=\frac{1}{2}×\sqrt{5}× h$，
解得$h=\frac{3}{\sqrt{5}}=\frac{3\sqrt{5}}{5}$。
【答案】
$\frac{3\sqrt{5}}{5}$
【知识点】
割补法求面积，勾股定理，三角形面积公式
【点评】
本题是网格几何的常见题型，解题核心是灵活运用割补法快速求出不规则三角形的面积，再结合勾股定理和面积公式求解未知量，能够很好地考查几何基础公式的应用能力。
【难度系数】
0.7
15. 某市在旧城改造中，计划在一块如图2-3-11所示的三角形空地上铺设草皮来美化环境，已知这种草皮每平方米的售价为a元，则购买这种草皮至少需要
$150a$
元。答案
15.$150a$
解析
【分析】
要计算购买草皮的总费用，需先求出该三角形空地的面积，再乘每平方米草皮的售价a元。已知三角形两条边长分别为20m、30m，两边夹角为150°，我们可以通过作辅助线构造直角三角形，利用30°角的直角三角形性质求出三角形的高，再结合三角形面积公式算出面积即可。
【解析】
设该三角形为△ABC，∠BAC=150°，AB=20m，AC=30m。
过点B作BD⊥AC，交CA的延长线于点D，可得∠ADB=90°。
因为∠BAC=150°，所以∠BAD=180°-150°=30°。
在Rt△ABD中，∠BAD=30°，斜边AB=20m，根据“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”，可得高BD=½AB=½×20=10m。
根据三角形面积公式，△ABC的面积S=½×底×高=½×AC×BD=½×30×10=150（m²）。
已知草皮每平方米售价为a元，因此总费用为150×a=150a元。
【答案】
150a
【知识点】
三角形面积计算，含30°角的直角三角形的性质，补角的性质
【点评】
本题结合生活实际考查几何图形的面积计算，解题的关键是通过作辅助线将钝角三角形转化为熟悉的直角三角形，利用特殊角的性质求出高，再结合面积公式求解，侧重对基础知识点灵活运用能力的考查。
【难度系数】
0.7
要计算购买草皮的总费用，需先求出该三角形空地的面积，再乘每平方米草皮的售价a元。已知三角形两条边长分别为20m、30m，两边夹角为150°，我们可以通过作辅助线构造直角三角形，利用30°角的直角三角形性质求出三角形的高，再结合三角形面积公式算出面积即可。
【解析】
设该三角形为△ABC，∠BAC=150°，AB=20m，AC=30m。
过点B作BD⊥AC，交CA的延长线于点D，可得∠ADB=90°。
因为∠BAC=150°，所以∠BAD=180°-150°=30°。
在Rt△ABD中，∠BAD=30°，斜边AB=20m，根据“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”，可得高BD=½AB=½×20=10m。
根据三角形面积公式，△ABC的面积S=½×底×高=½×AC×BD=½×30×10=150（m²）。
已知草皮每平方米售价为a元，因此总费用为150×a=150a元。
【答案】
150a
【知识点】
三角形面积计算，含30°角的直角三角形的性质，补角的性质
【点评】
本题结合生活实际考查几何图形的面积计算，解题的关键是通过作辅助线将钝角三角形转化为熟悉的直角三角形，利用特殊角的性质求出高，再结合面积公式求解，侧重对基础知识点灵活运用能力的考查。
【难度系数】
0.7
16. 如图2-3-12，在$△ ABC$中，$AB=4$，$AC=3$，$BC=5$，$DE$是$BC$的垂直平分线，$DE$分别交$BC$，$AB$于点$D$，$E$。
图2-3-12
(1)求证：$△ ABC$为直角三角形；
(2)求$AE$的长。
图2-3-12
(1)求证：$△ ABC$为直角三角形；
(2)求$AE$的长。
答案
16.(1)略 (2)$\frac{7}{8}$
解析
【分析】
(1) 要证明△ABC是直角三角形，已知三角形三边长度，可利用勾股定理的逆定理，验证两条较短边的平方和是否等于最长边的平方即可。
(2) 要求AE的长，根据垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，连接CE可得BE=CE。结合第一问得出的∠A=90°，设AE的长为x，将BE、CE用含x的式子表示，再在Rt△ACE中利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
(1) 证明：已知$AB=4$，$AC=3$，$BC=5$，
则$AB^2 + AC^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$，
$BC^2 = 5^2 = 25$，
∴ $AB^2 + AC^2 = BC^2$，
根据勾股定理的逆定理，可得△ABC为直角三角形，且$∠ A=90°$。
(2) 解：连接CE，
∵ DE是BC的垂直平分线，
∴ $BE=CE$（垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
设$AE=x$，则$BE=AB - AE=4 - x$，
∴ $CE=4 - x$，
在$Rt△ ACE$中，$∠ A=90°$，由勾股定理得：
$AE^2 + AC^2 = CE^2$，
代入得：$x^2 + 3^2 = (4 - x)^2$，
展开整理：$x^2 + 9 = 16 - 8x + x^2$，
消去$x^2$得：$9 = 16 - 8x$，
解得：$x = \frac{7}{8}$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $\frac{7}{8}$
【知识点】
勾股定理的逆定理；线段垂直平分线的性质；勾股定理的应用
【点评】
本题是基础几何综合题，既考查了直角三角形的判定方法，也结合了垂直平分线的性质，利用方程思想结合勾股定理求线段长是此类题的常用解题思路，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明△ABC是直角三角形，已知三角形三边长度，可利用勾股定理的逆定理，验证两条较短边的平方和是否等于最长边的平方即可。
(2) 要求AE的长，根据垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，连接CE可得BE=CE。结合第一问得出的∠A=90°，设AE的长为x，将BE、CE用含x的式子表示，再在Rt△ACE中利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
(1) 证明：已知$AB=4$，$AC=3$，$BC=5$，
则$AB^2 + AC^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$，
$BC^2 = 5^2 = 25$，
∴ $AB^2 + AC^2 = BC^2$，
根据勾股定理的逆定理，可得△ABC为直角三角形，且$∠ A=90°$。
(2) 解：连接CE，
∵ DE是BC的垂直平分线，
∴ $BE=CE$（垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
设$AE=x$，则$BE=AB - AE=4 - x$，
∴ $CE=4 - x$，
在$Rt△ ACE$中，$∠ A=90°$，由勾股定理得：
$AE^2 + AC^2 = CE^2$，
代入得：$x^2 + 3^2 = (4 - x)^2$，
展开整理：$x^2 + 9 = 16 - 8x + x^2$，
消去$x^2$得：$9 = 16 - 8x$，
解得：$x = \frac{7}{8}$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $\frac{7}{8}$
【知识点】
勾股定理的逆定理；线段垂直平分线的性质；勾股定理的应用
【点评】
本题是基础几何综合题，既考查了直角三角形的判定方法，也结合了垂直平分线的性质，利用方程思想结合勾股定理求线段长是此类题的常用解题思路，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
