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1. 如图,在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,则下列结论中一定正确的是 (
A.$AB=AD$
B.$AC⊥ BD$
C.$AC=BD$
D.$∠ ACB=∠ ACD$
(第1题图)
(第2题图)
(第3题图)
(第4题图)
C
)A.$AB=AD$
B.$AC⊥ BD$
C.$AC=BD$
D.$∠ ACB=∠ ACD$
(第1题图)
(第2题图)
(第3题图)
(第4题图)
答案
1.C
解析
【分析】
解决本题需要熟练掌握矩形的性质，同时区分矩形和菱形、正方形等特殊平行四边形的性质差异，逐一分析每个选项即可得到正确答案：首先回忆矩形边、对角线的相关性质，再依次判断每个选项是否符合矩形的普遍性质，排除仅特殊情况才成立的选项。
【解析】
我们根据矩形的性质逐个分析选项：
1. 分析选项A：矩形的对边相等，邻边不一定相等，AB和AD是矩形的邻边，只有当矩形为正方形时才有AB=AD，该结论不具备普遍性，故A错误；
2. 分析选项B：矩形的对角线互相平分且相等，并不互相垂直，对角线互相垂直是菱形的性质，故B错误；
3. 分析选项C：矩形的对角线相等是矩形的核心性质，因此AC=BD一定成立，故C正确；
4. 分析选项D：∠ACB=∠ACD意味着AC平分∠BCD，只有菱形（含正方形）的对角线才会平分内角，普通矩形不满足该结论，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
矩形的性质；特殊平行四边形的性质区分
【点评】
本题属于基础题，核心考查对矩形性质的掌握，解题的关键是不要混淆矩形、菱形、正方形等特殊平行四边形的边、角、对角线的相关性质，牢记各类图形的性质差异就能快速选出答案。
【难度系数】
0.9
解决本题需要熟练掌握矩形的性质，同时区分矩形和菱形、正方形等特殊平行四边形的性质差异，逐一分析每个选项即可得到正确答案：首先回忆矩形边、对角线的相关性质，再依次判断每个选项是否符合矩形的普遍性质，排除仅特殊情况才成立的选项。
【解析】
我们根据矩形的性质逐个分析选项：
1. 分析选项A：矩形的对边相等，邻边不一定相等，AB和AD是矩形的邻边，只有当矩形为正方形时才有AB=AD，该结论不具备普遍性，故A错误；
2. 分析选项B：矩形的对角线互相平分且相等，并不互相垂直，对角线互相垂直是菱形的性质，故B错误；
3. 分析选项C：矩形的对角线相等是矩形的核心性质，因此AC=BD一定成立，故C正确；
4. 分析选项D：∠ACB=∠ACD意味着AC平分∠BCD，只有菱形（含正方形）的对角线才会平分内角，普通矩形不满足该结论，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
矩形的性质；特殊平行四边形的性质区分
【点评】
本题属于基础题，核心考查对矩形性质的掌握，解题的关键是不要混淆矩形、菱形、正方形等特殊平行四边形的边、角、对角线的相关性质，牢记各类图形的性质差异就能快速选出答案。
【难度系数】
0.9
2. 如图，在$□ ABCD$中，$AB=4$，$BC=6$，将线段$AB$水平向右平移$a$个单位长度得到线段$EF$。若四边形$ECDF$为菱形，则$a$的值为（
A.1
B.2
C.3
D.4
B
）A.1
B.2
C.3
D.4
答案
2.B
解析
【分析】
首先回忆相关性质：平行四边形对边平行且相等，平移后线段长度不变且与原线段平行，菱形需满足邻边相等的平行四边形。解题时第一步先由平行四边形ABCD的性质得到CD的长度；第二步根据平移性质推导四边形ECDF是平行四边形；第三步结合菱形邻边相等的要求列等式，即可求出平移距离a的值。
【解析】
解：
∵四边形$ABCD$是平行四边形
∴$AB=CD=4$，$BC=6$，$AB// CD$
∵线段$AB$水平向右平移$a$个单位得到线段$EF$
∴$EF=AB=4$，$EF// AB$，$BE=a$
∴$EF// CD$且$EF=CD$，可得四边形$ECDF$是平行四边形
若四边形$ECDF$为菱形，则需邻边相等，即$EC=CD$
又
∵$EC=BC-BE=6-a$，$CD=4$
∴$6-a=4$，解得$a=2$
故本题选B
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的性质，平移的性质，菱形的判定
【点评】
本题是几何基础综合题，解题关键是先确定四边形ECDF为平行四边形，再利用菱形邻边相等的性质建立方程求解，整体思路清晰，难度不高。
【难度系数】
0.7
首先回忆相关性质：平行四边形对边平行且相等，平移后线段长度不变且与原线段平行，菱形需满足邻边相等的平行四边形。解题时第一步先由平行四边形ABCD的性质得到CD的长度；第二步根据平移性质推导四边形ECDF是平行四边形；第三步结合菱形邻边相等的要求列等式，即可求出平移距离a的值。
【解析】
解：
∵四边形$ABCD$是平行四边形
∴$AB=CD=4$，$BC=6$，$AB// CD$
∵线段$AB$水平向右平移$a$个单位得到线段$EF$
∴$EF=AB=4$，$EF// AB$，$BE=a$
∴$EF// CD$且$EF=CD$，可得四边形$ECDF$是平行四边形
若四边形$ECDF$为菱形，则需邻边相等，即$EC=CD$
又
∵$EC=BC-BE=6-a$，$CD=4$
∴$6-a=4$，解得$a=2$
故本题选B
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的性质，平移的性质，菱形的判定
【点评】
本题是几何基础综合题，解题关键是先确定四边形ECDF为平行四边形，再利用菱形邻边相等的性质建立方程求解，整体思路清晰，难度不高。
【难度系数】
0.7
3. 如图，四边形ABCD是菱形，CD=5，BD=8，AE⊥BC于点E，则AE的长是（
A.$\dfrac{24}{5}$
B.6
C.$\dfrac{48}{5}$
D.12
A
）A.$\dfrac{24}{5}$
B.6
C.$\dfrac{48}{5}$
D.12
答案
3.A
解析
【分析】
解题时首先回忆菱形的性质：菱形四条边相等，对角线互相垂直且平分，菱形的面积既可以用“对角线乘积的一半”计算，也可以用“底×对应高”计算。第一步先根据对角线互相垂直平分的性质，结合勾股定理求出另一条对角线AC的长度；第二步用两种方法表示菱形的面积，建立等式即可求出AE的长度。
【解析】
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，$OD=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}×8=4$，$BC=CD=5$，
在Rt△COD中，由勾股定理得：
$OC=\sqrt{CD^2 - OD^2}=\sqrt{5^2 - 4^2}=\sqrt{25-16}=3$，
∴$AC=2OC=2×3=6$，
菱形ABCD的面积可表示为：$S=\frac{1}{2}×AC×BD=\frac{1}{2}×6×8=24$，
又
∵$AE⊥BC$，
∴菱形面积也可表示为$S=BC·AE$，
即$5·AE=24$，解得$AE=\frac{24}{5}$。
【答案】
A
【知识点】
菱形的性质，勾股定理，菱形面积计算
【点评】
本题是基础几何计算题，核心解题思路是利用菱形面积的两种计算方法建立等量关系求解高，需要熟练掌握菱形的基本性质并灵活运用。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆菱形的性质：菱形四条边相等，对角线互相垂直且平分，菱形的面积既可以用“对角线乘积的一半”计算，也可以用“底×对应高”计算。第一步先根据对角线互相垂直平分的性质，结合勾股定理求出另一条对角线AC的长度；第二步用两种方法表示菱形的面积，建立等式即可求出AE的长度。
【解析】
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，$OD=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}×8=4$，$BC=CD=5$，
在Rt△COD中，由勾股定理得：
$OC=\sqrt{CD^2 - OD^2}=\sqrt{5^2 - 4^2}=\sqrt{25-16}=3$，
∴$AC=2OC=2×3=6$，
菱形ABCD的面积可表示为：$S=\frac{1}{2}×AC×BD=\frac{1}{2}×6×8=24$，
又
∵$AE⊥BC$，
∴菱形面积也可表示为$S=BC·AE$，
即$5·AE=24$，解得$AE=\frac{24}{5}$。
【答案】
A
【知识点】
菱形的性质，勾股定理，菱形面积计算
【点评】
本题是基础几何计算题，核心解题思路是利用菱形面积的两种计算方法建立等量关系求解高，需要熟练掌握菱形的基本性质并灵活运用。
【难度系数】
0.7
4. 如图,在四边形ABCD中,对角线AC与BD互相垂直平分,AB=3,则四边形ABCD的周长为 （
A.6
B.9
C.12
D.18 A D
C
）A.6
B.9
C.12
D.18 A D
答案
4.C
解析
【分析】
首先从题目给出的条件“对角线AC与BD互相垂直平分”入手，回忆特殊四边形的判定定理：对角线互相垂直平分的四边形是菱形，由此可确定四边形ABCD是菱形；再根据菱形的性质：菱形的四条边长度相等，已知AB=3，用边长乘4即可求出四边形的周长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD的对角线AC、BD互相垂直平分，
∴四边形ABCD是菱形（对角线互相垂直平分的四边形是菱形），
∴AB=BC=CD=DA=3，
∴四边形ABCD的周长=4×AB=4×3=12。
【答案】C
【知识点】
菱形的判定；菱形的性质
【点评】
本题考查菱形判定与性质的基础应用，解题的关键是根据对角线的特征准确判断四边形的形状，再结合对应性质计算即可。
【难度系数】
0.8
首先从题目给出的条件“对角线AC与BD互相垂直平分”入手，回忆特殊四边形的判定定理：对角线互相垂直平分的四边形是菱形，由此可确定四边形ABCD是菱形；再根据菱形的性质：菱形的四条边长度相等，已知AB=3，用边长乘4即可求出四边形的周长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD的对角线AC、BD互相垂直平分，
∴四边形ABCD是菱形（对角线互相垂直平分的四边形是菱形），
∴AB=BC=CD=DA=3，
∴四边形ABCD的周长=4×AB=4×3=12。
【答案】C
【知识点】
菱形的判定；菱形的性质
【点评】
本题考查菱形判定与性质的基础应用，解题的关键是根据对角线的特征准确判断四边形的形状，再结合对应性质计算即可。
【难度系数】
0.8
5.如图,在正方形ABCD中,点E,F分别是AB,CD的中点,AF,DE相交于点M,G为BC上一点,N为EG的中点.若BG=3,CG=1,则线段MN的长为（
A.$\sqrt{5}$
B.$\frac{\sqrt{17}}{2}$
C.2
D.$\frac{\sqrt{13}}{2}$
B
）A.$\sqrt{5}$
B.$\frac{\sqrt{17}}{2}$
C.2
D.$\frac{\sqrt{13}}{2}$
答案
5.B
解析
【分析】
首先先根据已知线段BG、CG的长度求出正方形的边长，再通过建立平面直角坐标系简化计算：先写出各已知点的坐标，再分别求出直线AF、DE的解析式，联立解析式得到交点M的坐标，再利用中点坐标公式求出EG中点N的坐标，最后用两点间距离公式即可求出MN的长度。
【解析】
解：
∵$BG=3$，$CG=1$，
∴正方形$ABCD$的边长$BC=BG+CG=4$。
建立平面直角坐标系，设点$B$为坐标原点$(0,0)$，则$A(0,4)$，$C(4,0)$，$D(4,4)$。
∵$E$是$AB$中点，$F$是$CD$中点，
∴$E(0,2)$，$F(4,2)$，且$G$点坐标为$(3,0)$。
1. 求交点$M$的坐标：
设直线$AF$的解析式为$y=kx+b$，代入$A(0,4)$、$F(4,2)$得$\begin{cases}b=4 \\4k+b=2 \end{cases}$，解得$k=-\frac{1}{2}$，即$AF:y=-\frac{1}{2}x+4$。
设直线$DE$的解析式为$y=mx+n$，代入$D(4,4)$、$E(0,2)$得$\begin{cases}n=2 \\4m+n=4 \end{cases}$，解得$m=\frac{1}{2}$，即$DE:y=\frac{1}{2}x+2$。
联立两个解析式$\begin{cases}y=-\frac{1}{2}x+4 \\ y=\frac{1}{2}x+2 \end{cases}$，解得$x=2,y=3$，即$M(2,3)$。
2. 求$EG$中点$N$的坐标：
由中点坐标公式，$E(0,2)$、$G(3,0)$的中点$N$的坐标为$(\frac{0+3}{2},\frac{2+0}{2})$，即$N(\frac{3}{2},1)$。
3. 计算$MN$的长度：
由两点间距离公式：
$MN=\sqrt{(2-\frac{3}{2})^2+(3-1)^2}=\sqrt{(\frac{1}{2})^2+2^2}=\sqrt{\frac{1}{4}+4}=\frac{\sqrt{17}}{2}$
【答案】B
【知识点】
正方形的性质；中点坐标公式；两点间距离公式
【点评】
本题通过建立平面直角坐标系将几何问题转化为代数计算，降低了推理难度，是求解四边形中线段长度的常用方法，需要熟练掌握一次函数解析式求法、坐标公式的应用。
【难度系数】
0.65
首先先根据已知线段BG、CG的长度求出正方形的边长，再通过建立平面直角坐标系简化计算：先写出各已知点的坐标，再分别求出直线AF、DE的解析式，联立解析式得到交点M的坐标，再利用中点坐标公式求出EG中点N的坐标，最后用两点间距离公式即可求出MN的长度。
【解析】
解：
∵$BG=3$，$CG=1$，
∴正方形$ABCD$的边长$BC=BG+CG=4$。
建立平面直角坐标系，设点$B$为坐标原点$(0,0)$，则$A(0,4)$，$C(4,0)$，$D(4,4)$。
∵$E$是$AB$中点，$F$是$CD$中点，
∴$E(0,2)$，$F(4,2)$，且$G$点坐标为$(3,0)$。
1. 求交点$M$的坐标：
设直线$AF$的解析式为$y=kx+b$，代入$A(0,4)$、$F(4,2)$得$\begin{cases}b=4 \\4k+b=2 \end{cases}$，解得$k=-\frac{1}{2}$，即$AF:y=-\frac{1}{2}x+4$。
设直线$DE$的解析式为$y=mx+n$，代入$D(4,4)$、$E(0,2)$得$\begin{cases}n=2 \\4m+n=4 \end{cases}$，解得$m=\frac{1}{2}$，即$DE:y=\frac{1}{2}x+2$。
联立两个解析式$\begin{cases}y=-\frac{1}{2}x+4 \\ y=\frac{1}{2}x+2 \end{cases}$，解得$x=2,y=3$，即$M(2,3)$。
2. 求$EG$中点$N$的坐标：
由中点坐标公式，$E(0,2)$、$G(3,0)$的中点$N$的坐标为$(\frac{0+3}{2},\frac{2+0}{2})$，即$N(\frac{3}{2},1)$。
3. 计算$MN$的长度：
由两点间距离公式：
$MN=\sqrt{(2-\frac{3}{2})^2+(3-1)^2}=\sqrt{(\frac{1}{2})^2+2^2}=\sqrt{\frac{1}{4}+4}=\frac{\sqrt{17}}{2}$
【答案】B
【知识点】
正方形的性质；中点坐标公式；两点间距离公式
【点评】
本题通过建立平面直角坐标系将几何问题转化为代数计算，降低了推理难度，是求解四边形中线段长度的常用方法，需要熟练掌握一次函数解析式求法、坐标公式的应用。
【难度系数】
0.65
