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22. 在等腰三角形 $ ABC $ 中，$ ∠ A = 30° $，$ D $ 是 $ BC $ 的中点，$ E $ 是 $ BC $ 的中垂线上的一点，连接 $ BE $，$ CE $。
(1) 如图1，当点 $ E $ 在 $ AC $ 边上时，若 $ AC = 3 $，求 $ DE $ 的长度。
(2) 如图2，当点 $ E $ 在 $ △ ABC $ 内部时，延长 $ BE $ 至点 $ F $，连接 $ AF $，$ CF $，若 $ CA $ 平分 $ ∠ ECF $，$ G $ 为 $ AF $ 的中点，求证：$ 2BG = BF + CF $。
(3) 如图3，当点 $ E $ 在 $ △ ABC $ 外（$ AC $ 下方）时，$ DE $ 与 $ AC $ 交于点 $ H $，若 $ △ BDE $ 为等腰直角三角形，$ AB = 2\sqrt{6} $，$ K $ 为平面内一点，将 $ △ DCH $ 沿 $ EK $ 翻折得到 $ △ D'C'H' $，射线 $ D'C' $ 交 $ AB $ 于点 $ M $，当 $ D'M $ 最短时，请直接写出 $ D'M^2 $ 的值。
(1) 如图1，当点 $ E $ 在 $ AC $ 边上时，若 $ AC = 3 $，求 $ DE $ 的长度。
(2) 如图2，当点 $ E $ 在 $ △ ABC $ 内部时，延长 $ BE $ 至点 $ F $，连接 $ AF $，$ CF $，若 $ CA $ 平分 $ ∠ ECF $，$ G $ 为 $ AF $ 的中点，求证：$ 2BG = BF + CF $。
(3) 如图3，当点 $ E $ 在 $ △ ABC $ 外（$ AC $ 下方）时，$ DE $ 与 $ AC $ 交于点 $ H $，若 $ △ BDE $ 为等腰直角三角形，$ AB = 2\sqrt{6} $，$ K $ 为平面内一点，将 $ △ DCH $ 沿 $ EK $ 翻折得到 $ △ D'C'H' $，射线 $ D'C' $ 交 $ AB $ 于点 $ M $，当 $ D'M $ 最短时，请直接写出 $ D'M^2 $ 的值。
答案
22.(1)解:
∵等腰三角形 ABC 中,$∠ A=30°$,
∴$AB=BC$,$∴∠ C=∠ A=30°$.
∵点 E 是 BC 中垂线上的一点,
∴$EC=EB$,
∴$∠ EBC=∠ C=30°$,
∴$∠ AEB=∠ C+∠ CBE=60°$,
∴$∠ ABE=180°-∠ A-∠ AEB=90°$,$∴AE=2BE=2CE$.
∵$AC=3$,$∴CE=\frac{1}{3}AC=1$.
∵D 是 BC 的中点,$EC=EB$,
∴$ED⊥ BC$.
∵$∠ C=30°$,$∴DE=\frac{1}{2}CE=\frac{1}{2}$.
(2)证明:如图,延长 AB 至点 M,使 BM=BA,连接 MF,MC.
∵G 为 AF 的中点,
∴$AG=FG$,
∴BG 是$△ AFM$ 的中位线,
则 $MF=2BG$.
延长 BF 至点 N,使 $FN=CF$,连接 CN.
∵CA 平分$∠ ECF$,
∴$∠ ACE=∠ ACF$.
∵E 是 BC 的中垂线上的一点,
∴$EC=EB$,$∴∠ EBC=∠ ECB$,
∴$∠ BFC=180°-∠ CBF-∠ FCB=180°-∠ CBF-∠ FCE-∠ ECB=180°-2∠ ACE-2∠ ECB=180°-2(∠ ACE+∠ ECB)=180°-2∠ ACB=120°$,
∴$∠ CFN=60°$,
又
∵$FN=CF$,$∴△ FCN$ 为等边三角形,$∴CF=CN$,$∠ FCN=60°$,
∵$BM=BA$,$AB=BC$,$∠ BAC=30°$,
∴$∠ BCA=∠ BAC=30°$,$BM=BC$.
又
∵$∠ MBC=∠ BAC+∠ BCA=60°$,$∴△ BCM$ 是等边三角形,
∴$CM=CB$,$∠ BCM=60°$,
∴$∠ FCN=∠ BCM=60°$,
∴$∠ BCN=∠ MCF$,
∴$△ FCM≌ △ NCB(SAS)$.
∴$MF=BN$,
∴$2BG=BF+FN=BF+FC$,
即 $2BG=BF+CF$.
(3)$D'M^2$ 的值为 $3\sqrt{3}$.
解析
【分析】
(1) 先利用等腰三角形性质确定△ABC的底角度数，结合中垂线性质得EB=EC，推导角度得到含30°角的直角三角形，利用30°直角三角形的边长关系逐步计算CE、DE的长度即可。
(2) 要证2BG=BF+CF，首先利用G是AF中点的条件构造中位线：延长AB到M使BM=AB，可得BG是△AFM中位线，即MF=2BG，将结论转化为证MF=BF+CF。再用截长补短法，延长BF到N使FN=CF，结合角平分线、中垂线性质推导角度，证明△FCN和△BCM均为等边三角形，再证△FCM≌△NCB得到MF=BN，即可推出结论。
(3) 先根据已知条件计算△ABC各边、线段DE、CH、DH的长度，结合翻折的性质确定D'的运动特征，根据“点到直线的垂线段最短”确定D'M最短时的位置，再代入边长计算D'M²即可。
【解析】
(1)
∵等腰三角形ABC中，∠A=30°，
∴$AB=BC$，
∴$∠ C=∠ A=30°$。
∵点E是BC中垂线上的一点，
∴$EC=EB$，
∴$∠ EBC=∠ C=30°$，
∴$∠ AEB=∠ C+∠ CBE=60°$，
∴$∠ ABE=180°-∠ A-∠ AEB=90°$，$∴AE=2BE=2CE$。
∵$AC=3$，$∴CE=\frac{1}{3}AC=1$。
∵D是BC的中点，$EC=EB$，
∴$ED⊥ BC$（等腰三角形三线合一）。
∵$∠ C=30°$，$∴DE=\frac{1}{2}CE=\frac{1}{2}$。
(2) 证明：如图，延长AB至点M，使BM=BA，连接MF，MC。
∵G为AF的中点，
∴$AG=FG$，
∴BG是$△ AFM$ 的中位线，
则 $MF=2BG$。
延长BF至点N，使 $FN=CF$，连接CN。
∵CA平分$∠ ECF$，
∴$∠ ACE=∠ ACF$。
∵E是BC的中垂线上的一点，
∴$EC=EB$，$∴∠ EBC=∠ ECB$，
∴$∠ BFC=180°-∠ CBF-∠ FCB=180°-∠ CBF-∠ FCE-∠ ECB=180°-2∠ ACE-2∠ ECB=180°-2(∠ ACE+∠ ECB)=180°-2∠ ACB=120°$，
∴$∠ CFN=60°$，
又
∵$FN=CF$，$∴△ FCN$ 为等边三角形，$∴CF=CN$，$∠ FCN=60°$，
∵$BM=BA$，$AB=BC$，$∠ BAC=30°$，
∴$∠ BCA=∠ BAC=30°$，$BM=BC$。
又
∵$∠ MBC=∠ BAC+∠ BCA=60°$，$∴△ BCM$ 是等边三角形，
∴$CM=CB$，$∠ BCM=60°$，
∴$∠ FCN=∠ BCM=60°$，
∴$∠ BCN=∠ MCF$，
∴$△ FCM≌ △ NCB(SAS)$。
∴$MF=BN$，
∴$2BG=BF+FN=BF+FC$，
即 $2BG=BF+CF$。
(3) 先计算得$AB=BC=2\sqrt{6}$，D为BC中点则$BD=DC=\sqrt{6}$，结合△BDE为等腰直角三角形得$DE=BD=\sqrt{6}$，再推导得∠HDC=90°，在Rt△DHC中∠C=30°，可算得各相关线段长度。翻折后$ED'=ED=\sqrt{6}$，根据垂线段最短确定D'M最短的位置，最终计算得$D'M^2=3\sqrt{3}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{DE=\dfrac{1}{2}}$；
(2) 证明见解析，辅助线图：；
(3) $\boldsymbol{D'M^2=3\sqrt{3}}$。
【知识点】
等腰（等边）三角形性质、三角形中位线定理、全等三角形判定与性质
【点评】
本题是几何综合题，梯度设置合理，第一问侧重基础性质的应用，第二问需要构造辅助线结合中位线、全等知识证明结论，第三问结合翻折变换与最短路径问题，综合考察几何分析与计算能力。
【难度系数】
0.4
(1) 先利用等腰三角形性质确定△ABC的底角度数，结合中垂线性质得EB=EC，推导角度得到含30°角的直角三角形，利用30°直角三角形的边长关系逐步计算CE、DE的长度即可。
(2) 要证2BG=BF+CF，首先利用G是AF中点的条件构造中位线：延长AB到M使BM=AB，可得BG是△AFM中位线，即MF=2BG，将结论转化为证MF=BF+CF。再用截长补短法，延长BF到N使FN=CF，结合角平分线、中垂线性质推导角度，证明△FCN和△BCM均为等边三角形，再证△FCM≌△NCB得到MF=BN，即可推出结论。
(3) 先根据已知条件计算△ABC各边、线段DE、CH、DH的长度，结合翻折的性质确定D'的运动特征，根据“点到直线的垂线段最短”确定D'M最短时的位置，再代入边长计算D'M²即可。
【解析】
(1)
∵等腰三角形ABC中，∠A=30°，
∴$AB=BC$，
∴$∠ C=∠ A=30°$。
∵点E是BC中垂线上的一点，
∴$EC=EB$，
∴$∠ EBC=∠ C=30°$，
∴$∠ AEB=∠ C+∠ CBE=60°$，
∴$∠ ABE=180°-∠ A-∠ AEB=90°$，$∴AE=2BE=2CE$。
∵$AC=3$，$∴CE=\frac{1}{3}AC=1$。
∵D是BC的中点，$EC=EB$，
∴$ED⊥ BC$（等腰三角形三线合一）。
∵$∠ C=30°$，$∴DE=\frac{1}{2}CE=\frac{1}{2}$。
(2) 证明：如图，延长AB至点M，使BM=BA，连接MF，MC。
∵G为AF的中点，
∴$AG=FG$，
∴BG是$△ AFM$ 的中位线，
则 $MF=2BG$。
延长BF至点N，使 $FN=CF$，连接CN。
∵CA平分$∠ ECF$，
∴$∠ ACE=∠ ACF$。
∵E是BC的中垂线上的一点，
∴$EC=EB$，$∴∠ EBC=∠ ECB$，
∴$∠ BFC=180°-∠ CBF-∠ FCB=180°-∠ CBF-∠ FCE-∠ ECB=180°-2∠ ACE-2∠ ECB=180°-2(∠ ACE+∠ ECB)=180°-2∠ ACB=120°$，
∴$∠ CFN=60°$，
又
∵$FN=CF$，$∴△ FCN$ 为等边三角形，$∴CF=CN$，$∠ FCN=60°$，
∵$BM=BA$，$AB=BC$，$∠ BAC=30°$，
∴$∠ BCA=∠ BAC=30°$，$BM=BC$。
又
∵$∠ MBC=∠ BAC+∠ BCA=60°$，$∴△ BCM$ 是等边三角形，
∴$CM=CB$，$∠ BCM=60°$，
∴$∠ FCN=∠ BCM=60°$，
∴$∠ BCN=∠ MCF$，
∴$△ FCM≌ △ NCB(SAS)$。
∴$MF=BN$，
∴$2BG=BF+FN=BF+FC$，
即 $2BG=BF+CF$。
(3) 先计算得$AB=BC=2\sqrt{6}$，D为BC中点则$BD=DC=\sqrt{6}$，结合△BDE为等腰直角三角形得$DE=BD=\sqrt{6}$，再推导得∠HDC=90°，在Rt△DHC中∠C=30°，可算得各相关线段长度。翻折后$ED'=ED=\sqrt{6}$，根据垂线段最短确定D'M最短的位置，最终计算得$D'M^2=3\sqrt{3}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{DE=\dfrac{1}{2}}$；
(2) 证明见解析，辅助线图：
；(3) $\boldsymbol{D'M^2=3\sqrt{3}}$。
【知识点】
等腰（等边）三角形性质、三角形中位线定理、全等三角形判定与性质
【点评】
本题是几何综合题，梯度设置合理，第一问侧重基础性质的应用，第二问需要构造辅助线结合中位线、全等知识证明结论，第三问结合翻折变换与最短路径问题，综合考察几何分析与计算能力。
【难度系数】
0.4
