1 教材P139练习T1变式 某校准备为毕业生制作一批纪念册(每人一册),甲公司提出:"每册收材料费5元,另外收设计费1500元."乙公司提出:"每册收材料费8元,不收设计费."经张老师计算,发现两家公司的收费一样多,则该校今年的毕业生有人.

1. 500

【分析】
这是一道利用一元一次方程解决的实际应用题，解题核心是抓住两家公司收费相等的等量关系。首先设毕业生人数为未知数x，再分别用含x的式子表示甲、乙两家公司的总收费，根据收费相等的条件列方程，最后求解方程就能得到毕业生人数。
【解析】
解：设该校今年的毕业生有x人。
甲公司总收费为：$(5x+1500)$元
乙公司总收费为：$8x$元
根据两家公司收费一样多，列方程得：
$5x+1500=8x$
移项得：$8x-5x=1500$
合并同类项得：$3x=1500$
系数化为1得：$x=500$
【答案】
500
【知识点】
一元一次方程应用；等量关系构建；一元一次方程求解
【点评】
本题是费用类方案决策的基础题，解题关键是抓住“两家收费一样多”的核心条件建立等量关系，侧重考查将实际问题转化为数学方程的能力，解题步骤清晰，思路明确。
【难度系数】
0.8

2 为了提高环境卫生水平，某市对每个社区提出了两种储存生活垃圾的方案.方案一:买分类垃圾桶，需要费用4000元，以后每月的垃圾处理费为250元.方案二:买不分类垃圾桶，需要费用3000元，以后每月的垃圾处理费为450元.
（1）当垃圾桶的使用时间为多少个月时，两种方案费用相同？
（2）当垃圾桶的使用时间为12个月时，哪种方案费用更低？

2. （1）设当垃圾桶的使用时间为x个月时，两种方案费用相同.根据题意，得250x+4000=450x+3000，解得x=5.所以当垃圾桶的使用时间为5个月时，两种方案费用相同
（2）由题意，得方案一所需费用为250×12+4000=7000(元)，方案二所需费用为450×12+3000=8400(元).因为7000＜8400，所以当垃圾桶的使用时间为12个月时，方案一费用更低

【分析】
解决这道题首先要明确两种方案总费用的构成：总费用=购买垃圾桶的固定费用+每月垃圾处理费×使用时长。
对于第（1）问，要找两种方案费用相同的时间，我们可以设使用时间为x个月，分别写出两种方案的总费用表达式，根据“费用相同”这一等量关系列一元一次方程，解方程即可求出对应时间。
对于第（2）问，只需要将使用时间12个月分别代入两个总费用的表达式，计算出两种方案的具体费用，再比较大小就能判断哪种方案费用更低。
【解析】
（1）设当垃圾桶的使用时间为x个月时，两种方案费用相同。
根据两种方案的费用构成列方程：
$250x + 4000 = 450x + 3000$
移项得：$4000 - 3000 = 450x - 250x$
合并同类项得：$1000 = 200x$
系数化为1得：$x = 5$
（2）当使用时间为12个月时，分别计算两种方案的总费用：
方案一总费用：$250×12 + 4000 = 7000$（元）
方案二总费用：$450×12 + 3000 = 8400$（元）
因为$7000 ＜ 8400$，所以方案一费用更低。
【答案】
（1）当垃圾桶的使用时间为5个月时，两种方案费用相同；
（2）当垃圾桶的使用时间为12个月时，方案一费用更低。
【知识点】
一元一次方程的应用，代数式求值，方案比较
【点评】
这道题是贴近生活实际的方案决策类应用题，解题核心是理清不同方案的费用构成，再根据题目的要求列方程或者代入求值比较即可，能有效锻炼用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.8

3 为了丰富学生的课外活动，某校决定购买100个篮球和$a(a＞10)$副羽毛球拍.经调查发现:甲、乙两家商店以同样的价格出售同种品牌的篮球和羽毛球拍.已知每个篮球比每副羽毛球拍贵25元，两个篮球与三副羽毛球拍的费用正好相等.经洽谈，甲商店的优惠方案为每购买10个篮球，送一副羽毛球拍；乙商店的优惠方案为若购买篮球个数超过80，则购买羽毛球拍可打八折.
（1）求每个篮球和每副羽毛球拍的价格分别是多少；
（2）请用含$a$的代数式分别表示出到甲商店和乙商店购买所花的费用；
（3）在哪家商店购买合算（直接写出结论）？

3. （1）设每个篮球的价格是x元，则每副羽毛球拍的价格是(x-25)元.依题意，得2x=3(x-25)，解得x=75，则x-25=50.所以每个篮球的价格是75元，每副羽毛球拍的价格是50元
（2）到甲商店购买所花的费用为75×100+50×(a-100/10)=(50a+7000)元；到乙商店购买所花的费用为75×100+0.8×50×a=(40a+7500)元
（3）令50a+7000=40a+7500，解得a=50.所以当10＜a＜50时，在甲商店购买合算；当a=50时，在甲、乙两家商店购买所花的费用一样；当a＞50时，在乙商店购买合算

【分析】
（1）第一问是一元一次方程的应用，题目给出两个等量关系：篮球单价比羽毛球拍贵25元，2个篮球的总费用等于3副羽毛球拍的总费用。我们可以设篮球单价为x元，用x表示出羽毛球拍的单价，再根据第二个等量关系列方程求解即可。
（2）第二问需要先准确理解两家商店的优惠规则：甲店每买10个篮球送1副羽毛球拍，购买100个篮球可获赠10副羽毛球拍，因此只需额外购买（a-10）副羽毛球拍，分别计算篮球总费用和需付费的羽毛球拍总费用，相加即可得到甲店总费用；乙店购买篮球数量超过80个，羽毛球拍可打八折，先计算100个篮球的原价总费用，再计算a副羽毛球拍打八折后的费用，相加即可得到乙店总费用。
（3）第三问是方案选择问题，分别让甲店费用等于、小于、大于乙店费用，解方程或不等式，结合题目给出的a＞10的条件，分三种情况讨论即可得出结论。
【解析】
（1）设每个篮球的价格是x元，则每副羽毛球拍的价格是(x-25)元。
根据“两个篮球与三副羽毛球拍的费用正好相等”列方程：
$2x = 3(x-25)$
解得：$x=75$
则羽毛球拍的价格为$x-25=75-25=50$（元）
（2）甲商店：购买100个篮球可获赠羽毛球拍数量为$100÷10=10$（副），因此需付费的羽毛球拍数量为$(a-10)$副。
总费用：$75×100 + 50×(a-10) = 7500 + 50a - 500 = 50a + 7000$（元）
乙商店：羽毛球拍打八折后单价为$50×0.8=40$（元）
总费用：$75×100 + 40×a = 7500 + 40a = 40a + 7500$（元）
（3）分三种情况比较两家费用：
① 令$50a + 7000 = 40a + 7500$，解得$a=50$，此时两家费用相同；
② 令$50a + 7000 ＜ 40a + 7500$，结合$a＞10$，解得$10＜a＜50$，此时甲店更合算；
③ 令$50a + 7000 ＞ 40a + 7500$，解得$a＞50$，此时乙店更合算。
【答案】
（1）每个篮球的价格是75元，每副羽毛球拍的价格是50元；
（2）到甲商店购买所花费用为$(50a+7000)$元，到乙商店购买所花费用为$(40a+7500)$元；
（3）当$10＜a＜50$时，在甲商店购买合算；当$a=50$时，甲、乙两家商店购买费用相同；当$a＞50$时，在乙商店购买合算。
【知识点】
一元一次方程应用，列代数式，方案决策
【点评】
本题结合生活中购物优惠的实际场景，考查了方程、代数式的应用以及分类讨论思想，解题的关键是准确理解商家的优惠规则，正确列出费用表达式，再通过比较大小分情况得出最优方案，能有效锻炼学生解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.65

4 某超市在“元旦”活动期间，推出如下购物优惠方案：
① 一次性购物在100元以内(不含100元)，不享受优惠；
② 一次性购物在100元以上(含100元)，350元以内(不含350元)，一律享受九折优惠；
③ 一次性购物在350元以上(含350元)，一律享受八折优惠.
小敏在该超市两次购物分别付了90元和270元，若小敏把这两次购物改为一次性购物，则小敏至少需付款元.

4. 312

【分析】
要解决这个问题，首先需要分别确定两次购物的原价可能是多少，因为不同优惠档位下，相同的实付金额可能对应不同的原价。我们要让一次性购物付款最少，就要先找到两次购物原价总和的最小值，再按照对应的优惠方案计算付款金额。首先分析第一次付90元的两种情况：①没有享受优惠，原价就是90元；②享受了九折优惠，原价为90÷0.9=100元。再分析第二次付270元的原价：先判断270元对应的优惠档位，若按九折算，原价为270÷0.9=300元，符合100元（含）到350元（不含）的档位；若按八折算，原价为270÷0.8=337.5元，小于350元，不符合八折的适用条件，所以第二次购物原价只能是300元。最后选原价总和最小的情况计算优惠后金额即可。
【解析】
首先分析两次购物的原价：
1. 第一次购物实付90元，有两种可能：
情况1：购物金额小于100元，未享受优惠，原价为90元；
情况2：购物金额大于等于100元，享受九折优惠，原价=90÷0.9=100元。
2. 第二次购物实付270元：
若享受九折优惠，原价=270÷0.9=300元，300元在[100,350)区间，符合要求；
若享受八折优惠，原价=270÷0.8=337.5元，337.5元＜350元，不符合八折优惠的条件，排除。
因此第二次购物原价固定为300元。
3. 要使一次性购物付款最少，需选择两次原价总和最小的情况，即第一次原价90元时，总原价=90+300=390元。
390元≥350元，享受八折优惠，需付款=390×0.8=312元。
【答案】
312
【知识点】
方案决策，折扣计算，分类讨论
【点评】
本题解题关键是对实付金额对应的原价进行分类讨论，易错点是容易忽略第一次付款90元存在两种原价的情况，要得到最少付款需选取原价总和最小的组合再按优惠规则计算。
【难度系数】
0.6

5 某电信公司开设了甲、乙两种通话业务.甲种业务使用者每月需缴12元月租费,然后每通话1 min,再付话费0.15元;乙种业务使用者不缴月租费,每通话1 min,付话费0.2元.
（1）一个月内通话200 min和300 min时,使用甲种业务分别需付话费多少元?乙种呢?
（2）当一个月内通话时间为多少分钟时,使用两种业务所付话费同样多?
（3）仅从话费金额的角度,你能为用户选择合适的通话业务吗(直接写出结论)?

5. （1）使用甲种业务，一个月内通话200 min需付话费12+0.15×200=42(元)，一个月内通话300 min需付话费12+0.15×300=57(元)；使用乙种业务，一个月内通话200 min需付话费0.2×200=40(元)，一个月内通话300 min需付话费0.2×300=60(元)
（2）设一个月内通话时间为x min，则使用甲种业务所付话费为(12+0.15x)元，使用乙种业务所付话费为0.2x元.由题意，得12+0.15x=0.2x，解得x=240.所以当一个月内通话时间为240 min时，使用两种业务所付话费同样多
（3）当一个月通话时间在240 min以内时，选择乙种通话业务；当一个月通话时间超过240 min时，选择甲种通话业务；当一个月通话240 min时，两种通话业务都可以选择

【分析】
（1）先明确两种业务的计费规则：甲业务总费用=12元月租+0.15元/分钟×通话时长，乙业务总费用=0.2元/分钟×通话时长，直接将200min、300min分别代入两个计费公式计算即可。
（2）要找两种业务话费相等的通话时长，可设通话时长为x分钟，用含x的代数式分别表示两种业务的费用，令两个表达式相等建立一元一次方程，求解即可得到费用相等的临界时长。
（3）以第二问求出的240min为分界点，分三种情况对比两种业务的费用高低，就能得出不同通话时长下的最优选择。
【解析】
（1）按计费规则分别计算：
甲种业务通话200min的费用：$12 + 0.15×200 = 42$（元）
甲种业务通话300min的费用：$12 + 0.15×300 = 57$（元）
乙种业务通话200min的费用：$0.2×200 = 40$（元）
乙种业务通话300min的费用：$0.2×300 = 60$（元）
（2）设一个月内通话时间为$x$ min，此时甲业务话费为$(12 + 0.15x)$元，乙业务话费为$0.2x$元。
根据两种业务话费相等列方程：
$12 + 0.15x = 0.2x$
移项合并得：$0.05x = 12$
解得：$x = 240$
（3）结合临界值240min分类讨论：
若通话时长＜240min，乙业务费用更低；若通话时长＞240min，甲业务费用更低；若通话时长=240min，两种业务费用相同。
【答案】
（1）使用甲种业务，一个月内通话200 min需付话费42元，一个月内通话300 min需付话费57元；使用乙种业务，一个月内通话200 min需付话费40元，一个月内通话300 min需付话费60元。
（2）当一个月内通话时间为240 min时，使用两种业务所付话费同样多。
（3）当一个月通话时间在240 min以内时，选择乙种通话业务；当一个月通话时间超过240 min时，选择甲种通话业务；当一个月通话240 min时，两种通话业务都可以选择。
【知识点】
一元一次方程应用；代数式求值；方案决策
【点评】
本题是生活中常见的资费选择问题，解题核心是先理清不同方案的计费规则，通过列方程找到费用相等的临界点，再结合临界点分类讨论即可得到最优方案，能锻炼用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.8