登录
6 某农产品基地生产一种蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为 100 元；经粗加工后销售，每吨利润可达 450 元；经精加工后销售，每吨利润涨至 750 元.现收获这种蔬菜 140 t，该基地加工能力为如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工 16 t；如果对蔬菜进行精加工，每天可加工 6 t，但两种加工方式不能同时进行.受季节条件的限制，基地必须在 15 天之内将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此基地研制了如下三种方案：
方案一：将蔬菜全部进行粗加工后销售；
方案二：将尽可能多的蔬菜进行精加工后销售，没有来得及加工的蔬菜在市场上直接销售；
方案三：将部分蔬菜进行精加工后销售，其余蔬菜进行粗加工后销售，并恰好用 15 天完成.
你认为选择哪种方案获利最多？为什么？
方案一：将蔬菜全部进行粗加工后销售；
方案二：将尽可能多的蔬菜进行精加工后销售，没有来得及加工的蔬菜在市场上直接销售；
方案三：将部分蔬菜进行精加工后销售，其余蔬菜进行粗加工后销售，并恰好用 15 天完成.
你认为选择哪种方案获利最多？为什么？
答案
6. 选择方案三获利最多 方案一：140÷16=8.75(天)，8.75＜15，450×140=63000(元)，即将蔬菜全部进行粗加工后销售获利63000元.方案二：15×6×750+(140-15×6)×100=72500(元)，即将尽可能多的蔬菜进行精加工后销售，没有来得及加工的蔬菜在市场上直接销售获利72500元.方案三：设粗加工x t蔬菜，则精加工(140-x)t蔬菜.由题意，得x/16 + (140-x)/6 =15，解得x=80，则140-x=60.此时利润为80×450+60×750=81000(元).因为63000＜72500＜81000，所以方案三获利最多
解析
【分析】
这是一道方案决策类的利润最优问题，解题核心是分别计算三种方案的总获利，再通过比较利润大小选择最优方案。具体思考步骤：①先验证方案一的可行性：先计算全部粗加工所需时间，确认符合15天的时间要求后，直接计算总利润；②方案二是尽可能多安排精加工，先算出15天最多可精加工的蔬菜吨数，剩余未加工部分直接销售，分别计算两部分利润求和即可；③方案三需要通过列一元一次方程求解：设粗加工的蔬菜吨数为未知数，根据“粗加工总天数+精加工总天数=15天”的等量关系列方程，求出粗、精加工的具体吨数后再计算总利润；最后对比三个方案的利润，选择获利最高的方案即可。
【解析】
我们分别计算三种方案的获利：
1. 计算方案一获利：
全部粗加工140t蔬菜所需时间：$140÷16=8.75$（天），$8.75＜15$，满足时间要求。
总获利：$450×140=63000$（元）
2. 计算方案二获利：
15天最多可精加工蔬菜量：$15×6=90$（t）
剩余未加工蔬菜量：$140-90=50$（t），该部分直接在市场销售。
总获利：$90×750+(140-90)×100=67500+5000=72500$（元）
3. 计算方案三获利：
设粗加工蔬菜$x$t，则精加工蔬菜$(140-x)$t，根据总加工时间为15天列方程：
$\frac{x}{16}+\frac{140-x}{6}=15$
两边同时乘48消分母得：$3x+8(140-x)=720$
展开整理得：$-5x=-400$，解得$x=80$
则精加工蔬菜量为$140-80=60$（t）
总获利：$80×450+60×750=36000+45000=81000$（元）
对比三个方案获利：$63000＜72500＜81000$，因此方案三获利最多。
【答案】
选择方案三获利最多。方案一获利63000元，方案二获利72500元，方案三获利81000元，因为$63000＜72500＜81000$，所以方案三获利最多。
【知识点】
一元一次方程应用，方案决策，利润计算
【点评】
本题结合实际生产场景考查方案优化问题，解题的关键是厘清每个方案的约束条件，准确计算各方案利润后通过对比得出最优方案，能有效锻炼逻辑分析能力和方程建模能力。
【难度系数】
0.7
这是一道方案决策类的利润最优问题，解题核心是分别计算三种方案的总获利，再通过比较利润大小选择最优方案。具体思考步骤：①先验证方案一的可行性：先计算全部粗加工所需时间，确认符合15天的时间要求后，直接计算总利润；②方案二是尽可能多安排精加工，先算出15天最多可精加工的蔬菜吨数，剩余未加工部分直接销售，分别计算两部分利润求和即可；③方案三需要通过列一元一次方程求解：设粗加工的蔬菜吨数为未知数，根据“粗加工总天数+精加工总天数=15天”的等量关系列方程，求出粗、精加工的具体吨数后再计算总利润；最后对比三个方案的利润，选择获利最高的方案即可。
【解析】
我们分别计算三种方案的获利：
1. 计算方案一获利：
全部粗加工140t蔬菜所需时间：$140÷16=8.75$（天），$8.75＜15$，满足时间要求。
总获利：$450×140=63000$（元）
2. 计算方案二获利：
15天最多可精加工蔬菜量：$15×6=90$（t）
剩余未加工蔬菜量：$140-90=50$（t），该部分直接在市场销售。
总获利：$90×750+(140-90)×100=67500+5000=72500$（元）
3. 计算方案三获利：
设粗加工蔬菜$x$t，则精加工蔬菜$(140-x)$t，根据总加工时间为15天列方程：
$\frac{x}{16}+\frac{140-x}{6}=15$
两边同时乘48消分母得：$3x+8(140-x)=720$
展开整理得：$-5x=-400$，解得$x=80$
则精加工蔬菜量为$140-80=60$（t）
总获利：$80×450+60×750=36000+45000=81000$（元）
对比三个方案获利：$63000＜72500＜81000$，因此方案三获利最多。
【答案】
选择方案三获利最多。方案一获利63000元，方案二获利72500元，方案三获利81000元，因为$63000＜72500＜81000$，所以方案三获利最多。
【知识点】
一元一次方程应用，方案决策，利润计算
【点评】
本题结合实际生产场景考查方案优化问题，解题的关键是厘清每个方案的约束条件，准确计算各方案利润后通过对比得出最优方案，能有效锻炼逻辑分析能力和方程建模能力。
【难度系数】
0.7
7 B市水果批发部门欲将A市的一批水果运往本市销售，有火车和汽车两种运输方式，运输过程中的损耗均为200元/h. 其他主要参考数据如下表：
（1）如果选择汽车的总费用比选择火车的总费用多1100元，那么A市与B市之间的路程是多少千米？请列方程解答.
（2）已知A市与B市之间的路程为s km，且火车与汽车在路上耽误的时间分别为2 h和3.1 h. 若你是B市水果批发部门的经理，要想将这批水果运往B市销售，则选择哪种运输方式比较合算？
（1）如果选择汽车的总费用比选择火车的总费用多1100元，那么A市与B市之间的路程是多少千米？请列方程解答.
（2）已知A市与B市之间的路程为s km，且火车与汽车在路上耽误的时间分别为2 h和3.1 h. 若你是B市水果批发部门的经理，要想将这批水果运往B市销售，则选择哪种运输方式比较合算？
答案
7. （1）设A市与B市之间的路程是x km.由题意，得x/80 ×200+20x+900 - (x/100 ×200+15x+2000)=1100，解得x=400.所以A市与B市之间的路程是400 km
（2）根据题意，可得选择汽车的费用为200(s/80 +3.1)+20s+900=(22.5s+1520)元，选择火车的费用为200(s/100 +2)+15s+2000=(17s+2400)元.当两种运输方式的费用相同时，22.5s+1520=17s+2400，解得s=160，即当s=160时，两种运输方式一样合算.所以易知当s＞160时，选择火车运输比较合算；当s＜160时，选择汽车运输比较合算
（2）根据题意，可得选择汽车的费用为200(s/80 +3.1)+20s+900=(22.5s+1520)元，选择火车的费用为200(s/100 +2)+15s+2000=(17s+2400)元.当两种运输方式的费用相同时，22.5s+1520=17s+2400，解得s=160，即当s=160时，两种运输方式一样合算.所以易知当s＞160时，选择火车运输比较合算；当s＜160时，选择汽车运输比较合算
解析
【分析】
（1）首先明确运输总费用包含三部分：运输损耗费用（每小时200元，运输时间为路程除以速度）、路程运费（每千米运费×总路程）、固定装卸费。设路程为x km，分别表示出汽车、火车的总费用，再根据“汽车总费用-火车总费用=1100元”的等量关系列方程求解即可。
（2）先将耽误时间计入总耗时，分别用含s的代数式表示两种运输方式的总费用，先求出两种费用相等时s的取值，再分情况讨论不同s取值下更合算的运输方式即可。
【解析】
（1）设A市与B市之间的路程是x km。
由题意可列方程：
$( \frac{x}{80}×200 + 20x + 900 ) - ( \frac{x}{100}×200 + 15x + 2000 ) = 1100$
化简得：$22.5x + 900 - 17x - 2000 = 1100$
合并同类项得：$5.5x = 2200$
解得：$x=400$
（2）计入耽误时间后：
汽车运输总费用为：$200( \frac{s}{80} + 3.1 ) + 20s + 900 = 22.5s + 1520$（元）
火车运输总费用为：$200( \frac{s}{100} + 2 ) + 15s + 2000 = 17s + 2400$（元）
当两种运输费用相同时，$22.5s + 1520 = 17s + 2400$
解得：$s=160$
分类讨论：
①当$s=160$时，两种运输方式费用相同，一样合算；
②当$s＞160$时，火车运输总费用更低，选择火车合算；
③当$s＜160$时，汽车运输总费用更低，选择汽车合算。
【答案】
（1）A市与B市之间的路程是400 km；
（2）当$s=160$时两种运输方式一样合算；当$s＞160$时选择火车运输合算；当$s＜160$时选择汽车运输合算。
【知识点】
一元一次方程应用、最优方案选择、列代数式
【点评】
本题结合生活实际考查方案决策问题，解题核心是理清总费用的构成，不要遗漏损耗费用和耽误时间对应的额外成本，分类讨论思想是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.6
（1）首先明确运输总费用包含三部分：运输损耗费用（每小时200元，运输时间为路程除以速度）、路程运费（每千米运费×总路程）、固定装卸费。设路程为x km，分别表示出汽车、火车的总费用，再根据“汽车总费用-火车总费用=1100元”的等量关系列方程求解即可。
（2）先将耽误时间计入总耗时，分别用含s的代数式表示两种运输方式的总费用，先求出两种费用相等时s的取值，再分情况讨论不同s取值下更合算的运输方式即可。
【解析】
（1）设A市与B市之间的路程是x km。
由题意可列方程：
$( \frac{x}{80}×200 + 20x + 900 ) - ( \frac{x}{100}×200 + 15x + 2000 ) = 1100$
化简得：$22.5x + 900 - 17x - 2000 = 1100$
合并同类项得：$5.5x = 2200$
解得：$x=400$
（2）计入耽误时间后：
汽车运输总费用为：$200( \frac{s}{80} + 3.1 ) + 20s + 900 = 22.5s + 1520$（元）
火车运输总费用为：$200( \frac{s}{100} + 2 ) + 15s + 2000 = 17s + 2400$（元）
当两种运输费用相同时，$22.5s + 1520 = 17s + 2400$
解得：$s=160$
分类讨论：
①当$s=160$时，两种运输方式费用相同，一样合算；
②当$s＞160$时，火车运输总费用更低，选择火车合算；
③当$s＜160$时，汽车运输总费用更低，选择汽车合算。
【答案】
（1）A市与B市之间的路程是400 km；
（2）当$s=160$时两种运输方式一样合算；当$s＞160$时选择火车运输合算；当$s＜160$时选择汽车运输合算。
【知识点】
一元一次方程应用、最优方案选择、列代数式
【点评】
本题结合生活实际考查方案决策问题，解题核心是理清总费用的构成，不要遗漏损耗费用和耽误时间对应的额外成本，分类讨论思想是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.6
