练习 9
日期
天气

答案略

【分析】本题为开放性日常记录类题目，要求填写练习9对应的日期与天气，无统一标准答案，需根据实际情况如实填写。
【解析】本题无特定解题步骤，仅需结合当前实际的日期、天气状况，在对应横线处填写内容即可。
【答案】答案略
【知识点】日常记录
【点评】本题属于基础日常练习，考查学生的实际记录能力，贴近生活实际，无复杂解题要求。
【难度系数】0.9

1. 一个梯形,上底是3 cm,下底是10 cm,高是2 cm.如果上底增加2 cm,下底减少2 cm,现在梯形的面积是（）

A.$24\ \mathrm{cm}^2$
B.$26\ \mathrm{cm}^2$
C.$12\ \mathrm{cm}^2$
D.$13\ \mathrm{cm}^2$

D

【分析】首先，我们要用到梯形的面积计算公式：梯形面积 =（上底 + 下底）× 高 ÷ 2。题目中给出原梯形的上底、下底和高，先根据条件算出变化后的上底和下底，再代入公式计算即可得到结果。
【解析】1. 计算变化后的上底：原上底是3cm，增加2cm后，新上底为 $3 + 2 = 5\ \mathrm{cm}$；2. 计算变化后的下底：原下底是10cm，减少2cm后，新下底为 $10 - 2 = 8\ \mathrm{cm}$；3. 代入梯形面积公式：$(5 + 8)×2÷2 = 13\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】D
【知识点】梯形面积计算
【点评】本题考查梯形面积公式的基本应用，核心是先求出变化后的上下底，再代入公式计算，属于基础题型，只要牢记公式就能正确解答。
【难度系数】0.8

2. 如图,在一个长方形中,甲是直角三角形,乙是平行四边形,丙是直角梯形,已知$AB:BC:CD=2:4:1$,则甲、乙、丙三个图形的面积之比是（）

A.$2:4:1$
B.$1:4:2$
C.$4:8:3$
D.$1:2:4$

B

【分析】首先根据AB:BC:CD=2:4:1，设每份长度为k，长方形的宽为h，先求出长方形的总面积，再分别计算甲（直角三角形）和乙（平行四边形）的面积，用总面积减去甲、乙的面积得到丙的面积，最后化简三者的面积比即可。
【解析】设AB=2k，BC=4k，CD=k，长方形的宽为h，则长方形的长为：2k+4k+k=7k，长方形面积=7k×h=7kh。
甲是直角三角形，面积为：$\frac{1}{2}×AB×h=\frac{1}{2}×2k×h=kh$；
乙是平行四边形，面积为：$BC×h=4k×h=4kh$；
丙的面积为：长方形面积 - 甲面积 - 乙面积=7kh - kh -4kh=2kh；
因此甲、乙、丙的面积比为：$kh:4kh:2kh=1:4:2$。
【答案】B
【知识点】三角形面积、平行四边形面积、梯形面积
【点评】本题通过设参数简化计算，利用总面积减去部分面积求未知图形面积，是解决此类几何比例问题的常用方法，关键是正确运用各图形的面积公式。
【难度系数】0.5

3. 如图,一个长方形被分割成1个直角梯形和3个等腰直角三角形.若想求 $ x $ 的值,则只需知道（）

A.$ a $ 的值
B.$ b $ 的值
C.$ c $ 的值
D.$ d $ 的值

B

【分析】
要解决这个问题，需利用等腰直角三角形“两条直角边相等”的性质，梳理图形中各边的数量关系，推导x与已知量的关联。首先观察图形中的三个等腰直角三角形，结合大长方形的长、宽与各小三角形边长的关系，逐步推导x的表达式。
【解析】
根据等腰直角三角形的性质：
1. 上方右侧的等腰直角三角形，直角边为b，因此其垂直方向的直角边长度为b，即图中$ c = b $；
2. 大长方形的长为$ d = a + b $，下方等腰直角三角形的水平直角边为$ d - x $，垂直直角边为$ a - c $（大长方形的宽为a，右边中间分点的高度为c，故垂直差为$ a - c $）；
3. 由于等腰直角三角形两条直角边相等，因此$ d - x = a - c $；
4. 将$ d = a + b $和$ c = b $代入上式：$ (a + b) - x = a - b $；
5. 化简得：$ x = (a + b) - (a - b) = 2b $，即x的值由b唯一确定。
【答案】
B
【知识点】
等腰直角三角形性质、图形边长关系
【点评】
本题核心是利用等腰直角三角形直角边相等的性质，建立各边的数量关系，推导过程清晰，属于基础几何应用题型，需准确梳理图形中边的对应关系。
【难度系数】
0.5

4. 《九章算术》记录了我国古代数学家收集并解决的许多数学难题(如图),找到梯形一条腰的中点,用割补的方法将梯形转化成右边的三角形.如果梯形的面积是$30\ \mathrm{cm}^2$,高$5\ \mathrm{cm}$,则转化成的三角形的底是$\mathrm{cm}$.

12

【分析】本题利用割补法的性质：割补前后图形的面积不变，即转化后的三角形面积等于原梯形面积。我们需要结合三角形和梯形的面积公式，通过已知的梯形面积（即三角形面积）和对应高，计算三角形的底。
【解析】因为割补过程不改变图形的面积，所以转化后三角形的面积等于梯形的面积，即$S_{\mathrm{三角形}}=S_{\mathrm{梯形}}=30\ \mathrm{cm}^2$。
已知三角形的高与梯形的高相等，为$5\ \mathrm{cm}$，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×\mathrm{底}×\mathrm{高}$，设三角形的底为$a$，代入数据得：
$30=\frac{1}{2}× a×5$
解得：$a=\frac{30×2}{5}=12$（$\mathrm{cm}$）。
【答案】12
【知识点】三角形面积计算、梯形面积计算、图形割补
【点评】本题核心是利用割补法的面积不变性，将梯形转化为三角形后，结合面积公式求解，属于基础几何应用题目，关键在于明确转化前后面积和高的对应关系。
【难度系数】0.5

5. 如图,在直角梯形 ABCD 中,$∠ABC=∠BAD=90^{\circ },BC=1,$$AB=3,AD=5$,动点 P 从点 B 出发,沿着$B→C→D$运动到点 D停止,若将$△ ABP$沿AP折叠,若点 B 的对应点$B'$恰好落在直角梯形 ABCD 的边上时,则线段 AP 的长为.

$\sqrt{10}$或$\frac{15\sqrt{2}}{7}$

【分析】
本题是直角梯形的折叠问题，核心利用折叠的性质：折叠前后对应边相等（$AB=AB'=3$，$BP=B'P$），折痕$AP$是对应点连线$BB'$的垂直平分线。需分两种情况讨论：①点$P$在$BC$段时，$B'$落在$CD$边上；②点$P$在$CD$段时，$B'$落在$AD$边上，通过建立坐标系结合几何关系求解$AP$长度。
【解析】
建立平面直角坐标系：设$A(0,0)$，$AD$在$x$轴，$AB$在$y$轴，则各点坐标为$A(0,0)$，$B(0,3)$，$C(1,3)$，$D(5,0)$，$CD$的直线方程为$y=-\frac{3}{4}x+\frac{15}{4}$。
1. 当$P$为点$C$时：折叠$△ ABP$（即$△ ABC$），$AB'=AB=3$，$B'$落在$CD$边上，此时$AP=AC$，计算得$AC=\sqrt{(1-0)^2+(3-0)^2}=\sqrt{10}$，故$AP=\sqrt{10}$。
2. 当$B'$落在$AD$边上时：$AB'=AB=3$，则$B'(3,0)$。$AP$是$BB'$的垂直平分线，$BB'$中点为$(1.5,1.5)$，斜率为$-1$，故$AP$斜率为$1$，方程为$y=x$。联立$y=x$与$CD$的方程：$x=-\frac{3}{4}x+\frac{15}{4}$，解得$x=\frac{15}{7}$，即$P(\frac{15}{7},\frac{15}{7})$。此时$AP=\sqrt{(\frac{15}{7})^2+(\frac{15}{7})^2}=\frac{15\sqrt{2}}{7}$。
综上，$AP$的长为$\sqrt{10}$或$\frac{15\sqrt{2}}{7}$。
【答案】
$\sqrt{10}$或$\frac{15\sqrt{2}}{7}$
【知识点】
图形折叠性质、直角梯形、一次函数交点
【点评】
本题需结合折叠的对称性，分情况讨论对应点的位置，通过坐标系简化计算，关键是准确找到两种符合条件的$P$点，计算时需注意坐标与直线方程的联立准确性。
【难度系数】
0.5

三、解答题
6. 如图①,在直角梯形 ABCD 中,AD//BC,AB⊥BC,∠DCB=75°,以 CD 为一边的等边三角形 DCE 的另一顶点 E 在腰 AB 上.

(1) 求∠AED 的度数.
(2) 求证:AB=BC.
(3) 如图②,若 F 为线段 CD 上一点,∠FBC=30°.
① 若△BFC 的面积为 4 cm²,求 AB 的长;
② 求$\frac{FD}{FC}$的值.

解：
(1) 已知在直角梯形$ABCD$中，$AD// BC$，$AB⊥ BC$，因此$∠ A=∠ ABC=90°$。
由$AD// BC$，得$∠ ADC + ∠ DCB=180°$，结合$∠ DCB=75°$，可得$∠ ADC=105°$。
因为$△ DCE$是等边三角形，所以$∠ CDE=60°$，$CD=DE$，因此$∠ ADE=∠ ADC-∠ CDE=105°-60°=45°$。
在$\mathrm{Rt}△ ADE$中，$∠ A=90°$，$∠ ADE=45°$，故$∠ AED=45°$。
(2) 证明：连接$AC$。
由(1)知$∠ AED=45°$，$∠ A=90°$，因此$△ ADE$为等腰直角三角形，得$AD=AE$，即点$A$在$DE$的垂直平分线上。
又因为$△ DCE$是等边三角形，$CD=CE$，因此点$C$也在$DE$的垂直平分线上，即$AC$是$DE$的垂直平分线，故$AC$垂直平分$DE$。
结合等腰三角形性质，可得$AC$平分$∠ DAE$，即$∠ BAC=45°$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ABC=90°$，$∠ BAC=45°$，因此$△ ABC$为等腰直角三角形，可得$AB=BC$。
(3) ① 已知$∠ FBC=30°$，由(2)得$∠ ABC=90°$，$AB=BC$，因此$∠ ABF=90°-30°=60°$。
又$∠ DCB=75°$，在$△ BFC$中，$∠ BFC=180°-∠ FBC-∠ DCB=180°-30°-75°=75°$，因此$△ BFC$为等腰三角形，得$BF=BC$。
过点$F$作$FG⊥ BC$于点$G$，在$\mathrm{Rt}△ BFG$中，$∠ FBG=30°$，因此$FG=\frac{1}{2}BF=\frac{1}{2}BC$。
已知$S_{△ BFC}=\frac{1}{2}· BC· FG=4\ \mathrm{cm}^2$，代入$FG=\frac{1}{2}BC$得：
$\frac{1}{2}· BC· \frac{1}{2}BC=4$
即$\frac{1}{4}BC^2=4$，解得$BC=4\ \mathrm{cm}$，结合$AB=BC$，得$AB=4\ \mathrm{cm}$。
② 由$∠ FBC=30°$，$∠ ABC=90°$，$AB=BC$，结合(1)中$BE⊥ BC$的几何关系，可证$BF=BC=AB$，且$∠ ABF=60°$，因此$△ ABF$为等边三角形。
结合$DE=CD$，$∠ ADE=45°$的边长比例关系，最终可得：
$\frac{FD}{FC}=1$

(1) 求∠AED的度数：
已知AD//BC，AB⊥BC，因此∠A=∠ABC=90°，由同旁内角互补得∠ADC=180°-∠DCB=180°-75°=105°。
因为△DCE是等边三角形，所以∠CDE=60°，可得∠ADE=∠ADC-∠CDE=105°-60°=45°。
在Rt△ADE中，∠A=90°，因此∠AED=90°-∠ADE=90°-45°=45°。
(2) 证明AB=BC：
连接AC，由(1)得∠AED=45°，因此AD=AE，△ADE为等腰直角三角形，可得∠DAC=∠EAC=45°。
在△ADC和△AEC中：AD=AE，∠DAC=∠EAC，AC=AC，由SAS可证△ADC≌△AEC，因此∠ACD=∠ACE。
因为等边△DCE中∠DCE=60°，所以∠ACE=30°，又∠ECB=∠DCB-∠DCE=75°-60°=15°，因此∠ACB=∠ACE+∠ECB=45°。
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=45°，△ABC为等腰直角三角形，因此AB=BC。
(3) ① 求AB的长：
在△BFC中，∠FBC=30°，∠FCB=75°，因此∠BFC=180°-30°-75°=75°，可得∠BFC=∠FCB，即BF=BC。
过F作FG⊥BC于G，在Rt△BFG中，∠FBG=30°，因此FG=1/2 BF=1/2 BC。
△BFC的面积S=1/2·BC·FG=1/2·BC·(1/2 BC)=1/4 BC²，已知S=4 cm²，代入得1/4 BC²=4，解得BC=4 cm。
由(2)得AB=BC，因此AB=4 cm。
② 求FD/FC的值：
过F作FG⊥BC于G，在Rt△FCG中，∠FCG=75°，因此FC=FG/sin75°，代入FG=1/2 BC得FC=BC/(2sin75°)。
过D作DH⊥BC于H，DH=AB=BC，在Rt△DHC中，∠DCH=75°，因此CD=DH/sin75°=BC/sin75°。
对比得CD=2FC，即CD=FC+FD=2FC，因此FD=FC，可得FD/FC=1。