1. 在$□ ABCD$中，$∠ A=50°$，则$∠ D$的度数是 （）

A.$110°$
B.$120°$
C.$130°$
D.$50°$

C

【分析】
要解决本题，需运用平行四边形的核心性质：平行四边形的邻角互补（相邻两个内角的和为180°）。在平行四边形ABCD中，∠A和∠D是相邻内角，因此二者和为180°，结合已知∠A的度数，计算出∠D的度数后匹配选项即可。
【解析】
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ ∠A与∠D为邻角，根据平行四边形邻角互补的性质，可得∠A + ∠D = 180°。
已知∠A=50°，代入计算得：∠D = 180° - 50° = 130°，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的性质
【点评】
本题考查平行四边形的基础性质，属于简单题，只要牢记“平行四边形邻角互补”的性质就能快速得出答案，是对基础知识点的直接考查。
【难度系数】
0.8

2. 如图，$□ ABCD$ 的对角线相交于点 $O$，且 $AD ≠ CD$，过点 $O$ 作 $OM ⊥ AC$，交 $AD$ 于点 $M$，若 $△ CDM$ 的周长是 $14\ \mathrm{cm}$，则 $□ ABCD$ 的周长为（）

A.$28\ \mathrm{cm}$
B.$36\ \mathrm{cm}$
C.$42\ \mathrm{cm}$
D.$48\ \mathrm{cm}$

A

【分析】
要解决本题，需先利用平行四边形对角线互相平分的性质，确定O是AC中点；再结合OM⊥AC，得出OM是AC的垂直平分线，根据垂直平分线的性质得到MA=MC；最后将△CDM的周长转化为平行四边形一组邻边的和，进而计算平行四边形的周长。
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，AD=BC，AB=CD（平行四边形对角线互相平分，对边相等）。
又
∵OM⊥AC，O为AC中点，
∴OM是AC的垂直平分线，
∴MA=MC（垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）。
∵△CDM的周长=CD + DM + MC =14 cm，
将MC替换为MA，可得：CD + DM + MA = CD + AD =14 cm。
∴平行四边形ABCD的周长=2×(AD + CD)=2×14=28 cm。
【答案】
A
【知识点】
平行四边形性质、垂直平分线性质
【点评】
本题考查平行四边形与垂直平分线的基础性质，核心是利用垂直平分线转化线段，将△CDM的周长转化为平行四边形一组邻边的和，进而求出周长，属于常规基础几何题。
【难度系数】
0.6

3. 如图,在$□ ABCD$中,点$E,F$分别在边$BC,AD$上,添加下列条件后,不能使$AE=CF$的是 （）

A.$BE=DF$
B.$AE// CF$
C.$AF=AE$
D.$AF=EC$

C

【分析】
本题考查平行四边形的性质与判定，需结合平行四边形对边平行且相等的性质，逐一分析每个选项能否推出AE=CF，找到不符合要求的条件。首先明确平行四边形ABCD的性质：AD//BC，AD=BC，AB=CD，∠B=∠D，再根据每个选项的条件推导四边形AECF的形状或线段关系，判断是否能得到AE=CF。
【解析】
已知四边形ABCD是平行四边形，因此AD//BC，AD=BC。
选项A：若BE=DF，由AD=BC可得AD-DF=BC-BE，即AF=EC，又AF//EC，所以四边形AECF是平行四边形，故AE=CF，该选项不符合题意。
选项B：若AE//CF，结合AF//EC（AD//BC），可知四边形AECF是平行四边形，故AE=CF，该选项不符合题意。
选项C：若AF=AE，AF是AD上的线段，AE是△ABE的边，AF=AE仅表示两条线段长度相等，但无法推出AE与CF的等量关系，不能得到AE=CF，该选项符合题意。
选项D：若AF=EC，结合AF//EC，可知四边形AECF是平行四边形，故AE=CF，该选项不符合题意。
综上，答案为C。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的性质、平行四边形的判定
【点评】
本题围绕平行四边形的性质与判定展开，要求学生熟练运用相关定理分析线段关系，逐一验证选项，难度适中，需要准确区分各条件对应的图形特征。
【难度系数】
0.5

4. 如图,在$□ ABCD$中,$AB ⊥ AC$,$E$是$AD$的中点,作$EF ⊥ BD$,垂足为$F$,且$AB=4$,$AC=6$,则$EF$的长为________.

$\dfrac{6}{5}$

【分析】
要计算EF的长度，可通过建立平面直角坐标系，利用平行四边形的性质确定各点坐标，再结合点到直线的距离公式求解。先根据已知条件设定坐标系，求出平行四边形各顶点坐标，进而得到直线BD的方程，最后计算点E到直线BD的距离即为EF的长。
【解析】
1. 建立平面直角坐标系：设A为原点，因AB⊥AC，令A(0,0)，AC在x轴，AB在y轴。由AB=4，AC=6，得B(0,4)，C(6,0)。
2. 求D点坐标：平行四边形中向量$\overrightarrow{BC}=(6-0,0-4)=(6,-4)$，故$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}=(6,-4)$，则D点坐标为$A+\overrightarrow{AD}=(6,-4)$。
3. 求直线BD的方程：B(0,4)，D(6,-4)，斜率$k=\frac{-4-4}{6-0}=-\frac{4}{3}$，直线方程为$y=-\frac{4}{3}x+4$，整理为标准式：$4x+3y-12=0$。
4. 求E点坐标：E是AD中点，A(0,0)，D(6,-4)，故E点坐标为$(\frac{0+6}{2},\frac{0-4}{2})=(3,-2)$。
5. 计算EF的长度：根据点到直线的距离公式，点E到直线$4x+3y-12=0$的距离为：
$EF=\frac{|4×3 + 3×(-2) -12|}{\sqrt{4^2+3^2}}=\frac{|12-6-12|}{5}=\frac{6}{5}$。
【答案】
$\dfrac{6}{5}$
【知识点】
平行四边形性质、点到直线距离公式
【点评】
本题通过坐标法将几何问题转化为代数计算，思路清晰，利用平行四边形性质确定坐标后，结合点到直线距离公式快速求解，是几何计算的常用方法。
【难度系数】
0.4

5. 如图，在$□ ABCD$中，$AB=BC=8$，$∠ BCD=60°$，两顶点$B,D$分别在平面直角坐标系的$y$轴、$x$轴的正半轴上滑动，连接$OA$，则线段$OA$的最小值是________.

$4\sqrt{3}-4$

【分析】
要解决线段OA的最小值问题，思路如下：
1. 先判断平行四边形ABCD的形状：由AB=BC可知平行四边形ABCD是菱形，结合∠BCD=60°，可得△BCD为等边三角形，因此对角线BD的长度固定为8；
2. 分析点M的轨迹：B在y轴、D在x轴滑动，△OBD是直角三角形，取BD中点M，根据直角三角形斜边中线性质，得OM=½BD=4，即点M的轨迹是以O为圆心、半径4的圆；
3. 确定AM的定值：菱形中△ABD也是等边三角形，M是BD中点，等边三角形的高AM为定值，计算得AM=4√3；
4. 利用三点共线求最值：当O、A、M三点共线且M在O与A之间时，OA最小，最小值为AM与OM的差。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，AB=BC，
∴平行四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=DA=8，∠BAD=∠BCD=60°，
∴△ABD是等边三角形，BD=AB=8，
取BD的中点M，连接AM、OM，
∵B在y轴正半轴，D在x轴正半轴，
∴∠BOD=90°，
在Rt△BOD中，M是BD中点，
∴OM=½BD=½×8=4，
∵△ABD是等边三角形，M是BD中点，
∴AM⊥BD，AM= (√3/2)AB= (√3/2)×8=4√3，
根据线段最值原理，当O、A、M三点共线，且M在O与A之间时，OA取得最小值，
最小值为AM - OM=4√3 -4。
【答案】
4√3 -4
【知识点】
菱形的性质、直角三角形斜边中线、等边三角形的性质
【点评】
本题结合菱形、直角三角形、等边三角形的性质，利用三点共线时线段差最小的原理求最值，需要灵活运用几何图形的核心性质，综合性较强。
【难度系数】
0.5

三、解答题
6. 如图,已知四边形ABCD是平行四边形.
(1) 尺规作图:作∠A的平分线交BC于点E;(保留作图痕迹,不用写作法)
(2) 在(1)中,若AD=6,EC=2,求AB的长.

(1) 按要求完成尺规作图即可；(2) AB的长为4。

【分析】
本题分为两小问，第一问是尺规作角平分线，需掌握角平分线的尺规作图方法；第二问求AB长度，需利用平行四边形的性质、角平分线的性质，结合平行线的内错角相等，推导等腰三角形，进而计算边长。具体思路：1. 平行四边形对边平行且相等，故AD//BC、AD=BC；2. AE平分∠A，结合平行线内错角相等，可得∠BAE=∠BEA，推出AB=BE；3. 结合已知AD=6、EC=2，计算BE长度，即可得到AB的长。
【解析】
(1) 尺规作图：以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交AB、AD于两点；再分别以这两个交点为圆心，大于两交点间距离一半的长度为半径画弧，两弧在∠BAD内部交于一点；过点A和该交点作射线，交BC于点E，射线AE即为∠A的平分线（保留作图痕迹）。
(2)
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD//BC，AD=BC=6（平行四边形对边平行且相等），
∴ ∠DAE=∠BEA（两直线平行，内错角相等），
∵ AE平分∠BAD，
∴ ∠BAE=∠DAE，
∴ ∠BAE=∠BEA，
∴ AB=BE（等角对等边），
又
∵ BC=BE + EC，BC=6，EC=2，
∴ BE=BC - EC=6 - 2=4，
∴ AB=BE=4。
【答案】
(1) 作图痕迹按上述方法保留即可；(2) AB的长为4。
【知识点】
平行四边形性质、角平分线性质、等腰三角形判定
【点评】
本题将尺规作图与平行四边形、等腰三角形的知识点结合，重点考查学生对几何性质的综合运用能力，解题关键是利用平行线和角平分线构造等腰三角形，难度适中。
【难度系数】
0.5

7. 如图,在$□ ABCD$中,对角线$AC$与$BD$相交于点$O$,$E$,$F$分别是$OA$和$OC$的中点.
(1) 求证:四边形$DEBF$是平行四边形;
(2) 若四边形$DEBF$的面积为$2$,求$□ ABCD$的面积.

(1) 证明如上；(2) $\boldsymbol{4}$

【分析】
(1) 要证明四边形DEBF是平行四边形，可利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”这一判定定理。先根据平行四边形的性质得到对角线互相平分，再结合E、F是OA、OC中点的条件，推导出四边形DEBF的对角线互相平分，即可完成证明。
(2) 求平行四边形ABCD的面积，需利用平行四边形的面积与分割后相关三角形面积的关系：由E、F是OA、OC中点，可推出四边形DEBF的面积是平行四边形ABCD面积的一半，结合已知四边形DEBF的面积，即可计算出ABCD的面积。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ OA=OC，OB=OD（平行四边形的对角线互相平分）。
∵ E、F分别是OA和OC的中点，
∴ OE = $\frac{1}{2}$OA，OF = $\frac{1}{2}$OC，
∴ OE=OF。
又
∵ OB=OD，
∴ 四边形DEBF的对角线互相平分，
∴ 四边形DEBF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。
(2) 解：
∵ E是OA中点，F是OC中点，
∴ OE = $\frac{1}{2}$OA，OF = $\frac{1}{2}$OC，
∴ S△DOE = $\frac{1}{2}$S△DOA，S△BOF = $\frac{1}{2}$S△BOC。
∵ 平行四边形ABCD中，S△DOA + S△BOC = $\frac{1}{2}$S□ABCD，
∴ S△DOE + S△BOF = $\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$S□ABCD = $\frac{1}{4}$S□ABCD。
同理可得S△DOF + S△BOE = $\frac{1}{4}$S□ABCD，
∴ S四边形DEBF = (S△DOE + S△BOF) + (S△DOF + S△BOE) = $\frac{1}{2}$S□ABCD。
已知S四边形DEBF=2，
∴ S□ABCD = 2×2 = 4。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) 4
【知识点】
平行四边形的判定；平行四边形的性质
【点评】
本题综合考查平行四边形的判定与性质，第一问通过对角线的关系判定平行四边形，是基础题型；第二问利用面积的倍数关系求解，需掌握平行四边形的面积分割规律，整体难度不大。
【难度系数】
0.5