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1. 如图,已知 $DE$ 是$△ ABC$ 的中位线,$F$ 为 $DE$ 上一点,连接 $CF$,若 $AB=8,DF=\dfrac{3}{2}$,则 $EF$ 的长为 （）
A.$\dfrac{3}{2}$
B.$\dfrac{5}{2}$
C.$3$
D.$4$
A.$\dfrac{3}{2}$
B.$\dfrac{5}{2}$
C.$3$
D.$4$
答案
B
解析
【分析】
要解决本题，首先利用三角形中位线定理求出中位线DE的长度，再根据线段的和差关系，用DE的长度减去已知的DF长度，即可得到EF的长度。
【解析】
∵DE是△ABC的中位线，根据三角形中位线定理：三角形的中位线等于第三边的一半，
∴$DE=\dfrac{1}{2}AB$。
已知$AB=8$，代入得$DE=\dfrac{1}{2}×8=4$。
又已知$DF=\dfrac{3}{2}$，且$EF=DE-DF$，
∴$EF=4-\dfrac{3}{2}=\dfrac{5}{2}$。
【答案】
B
【知识点】
三角形中位线定理；线段和差计算
【点评】
本题考查三角形中位线定理的基础应用，属于简单题型，只要牢记中位线定理的内容，就能快速完成计算，是对基础知识点的直接考查。
【难度系数】
0.7
要解决本题，首先利用三角形中位线定理求出中位线DE的长度，再根据线段的和差关系，用DE的长度减去已知的DF长度，即可得到EF的长度。
【解析】
∵DE是△ABC的中位线，根据三角形中位线定理：三角形的中位线等于第三边的一半，
∴$DE=\dfrac{1}{2}AB$。
已知$AB=8$，代入得$DE=\dfrac{1}{2}×8=4$。
又已知$DF=\dfrac{3}{2}$，且$EF=DE-DF$，
∴$EF=4-\dfrac{3}{2}=\dfrac{5}{2}$。
【答案】
B
【知识点】
三角形中位线定理；线段和差计算
【点评】
本题考查三角形中位线定理的基础应用，属于简单题型，只要牢记中位线定理的内容，就能快速完成计算，是对基础知识点的直接考查。
【难度系数】
0.7
2. 如图，$DE$ 是 $△ ABC$ 的中位线，$∠ ACB$ 的平分线交 $DE$ 于点 $F$，连接 $AF$ 并延长交 $BC$ 于点 $G$，若 $AC=12$，$DE=9$，则 $BG$ 的长为（）
A.6
B.8
C.10
D.12
A.6
B.8
C.10
D.12
答案
A
解析
【分析】
首先，利用三角形中位线定理得到DE与BC的平行关系及中点性质；再结合角平分线和平行线的内错角相等，推出等腰三角形得到EF的长度；最后根据中位线性质，由DF的长度计算BG的长度。
【解析】
1. 因为DE是△ABC的中位线，根据三角形中位线定理，可得：DE//BC，且E为AC中点，D为AB中点。
2. 已知AC=12，所以EC=½AC=6；又因为CF平分∠ACB，故∠ECF=∠BCF。
3. 由DE//BC，得∠EFC=∠BCF，因此∠ECF=∠EFC，根据等腰三角形判定，EF=EC=6。
4. 计算DF的长度：DF=DE - EF=9 - 6=3。
5. 在△ABG中，D是AB中点，且DF//BG（由DE//BC推导），根据三角形中位线定理，DF是△ABG的中位线，所以DF=½BG，因此BG=2DF=2×3=6。
【答案】
A
【知识点】
三角形中位线定理、等腰三角形判定、角平分线性质
【点评】
本题综合运用三角形中位线、等腰三角形判定及角平分线性质解题，关键是通过平行线与角平分线的关系找到等腰三角形，再结合中位线性质求线段长，属于中等难度题型。
【难度系数】
0.5
首先，利用三角形中位线定理得到DE与BC的平行关系及中点性质；再结合角平分线和平行线的内错角相等，推出等腰三角形得到EF的长度；最后根据中位线性质，由DF的长度计算BG的长度。
【解析】
1. 因为DE是△ABC的中位线，根据三角形中位线定理，可得：DE//BC，且E为AC中点，D为AB中点。
2. 已知AC=12，所以EC=½AC=6；又因为CF平分∠ACB，故∠ECF=∠BCF。
3. 由DE//BC，得∠EFC=∠BCF，因此∠ECF=∠EFC，根据等腰三角形判定，EF=EC=6。
4. 计算DF的长度：DF=DE - EF=9 - 6=3。
5. 在△ABG中，D是AB中点，且DF//BG（由DE//BC推导），根据三角形中位线定理，DF是△ABG的中位线，所以DF=½BG，因此BG=2DF=2×3=6。
【答案】
A
【知识点】
三角形中位线定理、等腰三角形判定、角平分线性质
【点评】
本题综合运用三角形中位线、等腰三角形判定及角平分线性质解题，关键是通过平行线与角平分线的关系找到等腰三角形，再结合中位线性质求线段长，属于中等难度题型。
【难度系数】
0.5
3. 如图，$DE$ 为 $△ ABC$ 的中位线，$BF$ 为 $△ ABC$ 的角平分线，延长 $BF$ 交 $DE$ 的延长线于点 $G$，若 $BD=4$，$EG=1$，则 $BC$ 的长为________。
答案
6
解析
【分析】
要解决这道题，需结合三角形中位线性质、角平分线性质和平行线的性质推导。首先利用中位线定理得到DE与BC的平行关系及数量关系，再通过角平分线和平行线推出等腰三角形，最后结合已知线段长度计算BC。
【解析】
1. 因为DE为△ABC的中位线，根据三角形中位线定理，可得：$DE// BC$，且$DE=\frac{1}{2}BC$，$AD=BD$。
2. 因为BF是△ABC的角平分线，所以$∠ ABF=∠ CBF$。
3. 又因为$DE// BC$，根据“两直线平行，内错角相等”，得$∠ DGB=∠ CBF$，因此$∠ ABF=∠ DGB$，即$∠ DBG=∠ DGB$，故△DBG为等腰三角形，所以$BD=DG$。
4. 已知$BD=4$，则$DG=4$，结合$EG=1$，可得$DE=DG-EG=4-1=3$。
5. 由$DE=\frac{1}{2}BC$，代入$DE=3$，得$BC=2×3=6$。
【答案】
6
【知识点】
三角形中位线、角平分线性质、等腰三角形判定
【点评】
本题综合考查了三角形中位线定理、角平分线与平行线的性质，核心是通过角的等量关系构造等腰三角形，进而求出中位线长度，难度适中，属于初中几何的基础综合题。
【难度系数】
0.5
要解决这道题，需结合三角形中位线性质、角平分线性质和平行线的性质推导。首先利用中位线定理得到DE与BC的平行关系及数量关系，再通过角平分线和平行线推出等腰三角形，最后结合已知线段长度计算BC。
【解析】
1. 因为DE为△ABC的中位线，根据三角形中位线定理，可得：$DE// BC$，且$DE=\frac{1}{2}BC$，$AD=BD$。
2. 因为BF是△ABC的角平分线，所以$∠ ABF=∠ CBF$。
3. 又因为$DE// BC$，根据“两直线平行，内错角相等”，得$∠ DGB=∠ CBF$，因此$∠ ABF=∠ DGB$，即$∠ DBG=∠ DGB$，故△DBG为等腰三角形，所以$BD=DG$。
4. 已知$BD=4$，则$DG=4$，结合$EG=1$，可得$DE=DG-EG=4-1=3$。
5. 由$DE=\frac{1}{2}BC$，代入$DE=3$，得$BC=2×3=6$。
【答案】
6
【知识点】
三角形中位线、角平分线性质、等腰三角形判定
【点评】
本题综合考查了三角形中位线定理、角平分线与平行线的性质，核心是通过角的等量关系构造等腰三角形，进而求出中位线长度，难度适中，属于初中几何的基础综合题。
【难度系数】
0.5
4. 如图，$DE$ 是 $△ ABC$ 的中位线，$BF$ 平分 $∠ ABC$，且 $∠ AFB = 90°$，若 $AB = 7$，$BC = 11$，则 $EF$ 的长为________。
答案
2
解析
【分析】
要计算EF的长度，需先利用三角形中位线的性质求出DE的长度；再结合角平分线与平行线的性质，推出等腰三角形得到DF的长度；最后通过线段的和差关系计算EF。具体步骤：1. 根据中位线性质得DE//BC且DE=½BC；2. 由角平分线和平行线的内错角相等，推出∠DBF=∠DFB，进而得DB=DF；3. 结合AB长度算出DF，再用DE减去DF得到EF。
【解析】
∵DE是△ABC的中位线，
∴DE//BC，且DE=½BC=½×11=5.5。
∵BF平分∠ABC，
∴∠DBF=∠FBC。
又
∵DE//BC，
∴∠DFB=∠FBC，
∴∠DBF=∠DFB，
∴DB=DF。
∵D是AB中点，AB=7，
∴DB=½AB=3.5，即DF=3.5。
∴EF=DE - DF=5.5 - 3.5=2。
【答案】
2
【知识点】
三角形中位线、等腰三角形判定、角平分线性质
【点评】
本题综合考查三角形中位线、角平分线及等腰三角形的性质，核心是通过平行线与角平分线的关系构造等腰三角形，进而转化线段长度，属于中等难度的几何计算题。
【难度系数】
0.5
要计算EF的长度，需先利用三角形中位线的性质求出DE的长度；再结合角平分线与平行线的性质，推出等腰三角形得到DF的长度；最后通过线段的和差关系计算EF。具体步骤：1. 根据中位线性质得DE//BC且DE=½BC；2. 由角平分线和平行线的内错角相等，推出∠DBF=∠DFB，进而得DB=DF；3. 结合AB长度算出DF，再用DE减去DF得到EF。
【解析】
∵DE是△ABC的中位线，
∴DE//BC，且DE=½BC=½×11=5.5。
∵BF平分∠ABC，
∴∠DBF=∠FBC。
又
∵DE//BC，
∴∠DFB=∠FBC，
∴∠DBF=∠DFB，
∴DB=DF。
∵D是AB中点，AB=7，
∴DB=½AB=3.5，即DF=3.5。
∴EF=DE - DF=5.5 - 3.5=2。
【答案】
2
【知识点】
三角形中位线、等腰三角形判定、角平分线性质
【点评】
本题综合考查三角形中位线、角平分线及等腰三角形的性质，核心是通过平行线与角平分线的关系构造等腰三角形，进而转化线段长度，属于中等难度的几何计算题。
【难度系数】
0.5
5. 四张全等的梯形硬纸板可拼成平行四边形(图①),也可拼成正方形(图②),根据两个图形中阴影部分面积的关系,可以得到一个关于x,y的等式为
.
.
答案
$(x+y)(x-y)=x^2-y^2$
解析
【分析】
首先明确两个图形的阴影部分均由四张全等的梯形组成，因此它们的阴影面积相等。分别计算两个图形的阴影面积：图②是边长为$x$的大正方形，中间空白是边长为$y$的小正方形，阴影面积为大正方形面积减小正方形面积；图①是平行四边形，其底为$x+y$，高为$x-y$，阴影面积等于平行四边形的面积。利用两者阴影面积相等即可推导等式。
【解析】
因为四张梯形全等，所以图①和图②的阴影面积相等。
图②的阴影面积：大正方形面积为$x^2$，中间空白小正方形面积为$y^2$，故阴影面积为$x^2 - y^2$；
图①的阴影面积：平行四边形的底为$x+y$，高为$x-y$，根据平行四边形面积公式，面积为$(x+y)(x-y)$。
由于两者阴影面积相等，因此得到等式$(x+y)(x-y)=x^2-y^2$。
【答案】
$(x+y)(x-y)=x^2-y^2$
【知识点】
平方差公式、图形面积计算
【点评】
本题通过几何图形的面积关系推导代数公式，体现了平方差公式的几何意义，考查学生对图形面积的理解和代数公式的应用能力，是基础题型。
【难度系数】
0.5
首先明确两个图形的阴影部分均由四张全等的梯形组成，因此它们的阴影面积相等。分别计算两个图形的阴影面积：图②是边长为$x$的大正方形，中间空白是边长为$y$的小正方形，阴影面积为大正方形面积减小正方形面积；图①是平行四边形，其底为$x+y$，高为$x-y$，阴影面积等于平行四边形的面积。利用两者阴影面积相等即可推导等式。
【解析】
因为四张梯形全等，所以图①和图②的阴影面积相等。
图②的阴影面积：大正方形面积为$x^2$，中间空白小正方形面积为$y^2$，故阴影面积为$x^2 - y^2$；
图①的阴影面积：平行四边形的底为$x+y$，高为$x-y$，根据平行四边形面积公式，面积为$(x+y)(x-y)$。
由于两者阴影面积相等，因此得到等式$(x+y)(x-y)=x^2-y^2$。
【答案】
$(x+y)(x-y)=x^2-y^2$
【知识点】
平方差公式、图形面积计算
【点评】
本题通过几何图形的面积关系推导代数公式，体现了平方差公式的几何意义，考查学生对图形面积的理解和代数公式的应用能力，是基础题型。
【难度系数】
0.5
三、解答题
6. 如图,在△ABC中,D,E分别是边AB,AC上的点.对“中位线定理”逆向思考,可得下列三则命题:
① 若D是AB的中点,DE//BC,则E是AC的中点;
② 若DE//BC,DE = $\frac{1}{2}$BC,则D,E分别是AB,AC的中点;
③ 若D是AB的中点,DE=$\frac{1}{2}$BC,则E是AC的中点.
(1) 其中真命题有;(填序号)
(2) 请选出一个真命题进行证明.
6. 如图,在△ABC中,D,E分别是边AB,AC上的点.对“中位线定理”逆向思考,可得下列三则命题:
① 若D是AB的中点,DE//BC,则E是AC的中点;
② 若DE//BC,DE = $\frac{1}{2}$BC,则D,E分别是AB,AC的中点;
③ 若D是AB的中点,DE=$\frac{1}{2}$BC,则E是AC的中点.
(1) 其中真命题有;(填序号)
(2) 请选出一个真命题进行证明.
答案
(1) $\boldsymbol{①②}$；(2) 证明过程如上。
解析
【分析】
要判断三个命题的真假，需结合平行线分线段成比例定理、相似三角形的性质分析：命题①中，利用平行线分线段成比例，结合D是AB中点可推E的位置；命题②中，由DE//BC得相似三角形，结合DE与BC的长度关系确定D、E的位置；命题③中，仅知长度关系无法保证DE//BC，故不能推出E是AC中点。
【解析】
(1) 逐一判断命题真假：
① 若D是AB中点，则$AD=\frac{1}{2}AB$，又$DE// BC$，根据平行线分线段成比例定理，$\frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}=\frac{1}{2}$，故$AE=\frac{1}{2}AC$，即E是AC中点，为真命题；
② 若$DE// BC$，则$△ ADE∽△ ABC$，相似比为$\frac{DE}{BC}=\frac{1}{2}$，故$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{1}{2}$，即D、E分别是AB、AC中点，为真命题；
③ 仅知D是AB中点和$DE=\frac{1}{2}BC$，无法保证$DE// BC$，不能推出E是AC中点，为假命题。
因此真命题为①②。
(2) 选命题①证明：
已知：在$△ ABC$中，D是AB中点，$DE// BC$，交AC于E。
求证：E是AC中点。
证明：$\because DE// BC$，
$\therefore \frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$（平行线分线段成比例定理）。
$\because$ D是AB中点，$\therefore AD=\frac{1}{2}AB$，即$\frac{AD}{AB}=\frac{1}{2}$，
$\therefore \frac{AE}{AC}=\frac{1}{2}$，即$AE=\frac{1}{2}AC$，
$\therefore$ E是AC中点。
【答案】
(1) $\boldsymbol{①②}$；(2) 证明过程如上。
【知识点】
三角形中位线逆命题、平行线分线段成比例、相似三角形
【点评】
本题考查三角形中位线逆命题的真假判断，需运用平行线分线段成比例或相似三角形性质推理，重点考查逻辑推理能力，是中等难度的几何题。
【难度系数】
0.5
要判断三个命题的真假，需结合平行线分线段成比例定理、相似三角形的性质分析：命题①中，利用平行线分线段成比例，结合D是AB中点可推E的位置；命题②中，由DE//BC得相似三角形，结合DE与BC的长度关系确定D、E的位置；命题③中，仅知长度关系无法保证DE//BC，故不能推出E是AC中点。
【解析】
(1) 逐一判断命题真假：
① 若D是AB中点，则$AD=\frac{1}{2}AB$，又$DE// BC$，根据平行线分线段成比例定理，$\frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}=\frac{1}{2}$，故$AE=\frac{1}{2}AC$，即E是AC中点，为真命题；
② 若$DE// BC$，则$△ ADE∽△ ABC$，相似比为$\frac{DE}{BC}=\frac{1}{2}$，故$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{1}{2}$，即D、E分别是AB、AC中点，为真命题；
③ 仅知D是AB中点和$DE=\frac{1}{2}BC$，无法保证$DE// BC$，不能推出E是AC中点，为假命题。
因此真命题为①②。
(2) 选命题①证明：
已知：在$△ ABC$中，D是AB中点，$DE// BC$，交AC于E。
求证：E是AC中点。
证明：$\because DE// BC$，
$\therefore \frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$（平行线分线段成比例定理）。
$\because$ D是AB中点，$\therefore AD=\frac{1}{2}AB$，即$\frac{AD}{AB}=\frac{1}{2}$，
$\therefore \frac{AE}{AC}=\frac{1}{2}$，即$AE=\frac{1}{2}AC$，
$\therefore$ E是AC中点。
【答案】
(1) $\boldsymbol{①②}$；(2) 证明过程如上。
【知识点】
三角形中位线逆命题、平行线分线段成比例、相似三角形
【点评】
本题考查三角形中位线逆命题的真假判断，需运用平行线分线段成比例或相似三角形性质推理，重点考查逻辑推理能力，是中等难度的几何题。
【难度系数】
0.5
