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1. 先化简,再求值:
(1)$(1 + \frac{1}{a^2 -1}) ÷ \frac{a}{a -1}$，其中 $a = -3$；
(2)$\frac{x^2 + 2xy + y^2}{xy} ÷ (x + y) · \frac{y^2}{x^2 - y^2}$，其中 $x = 2, y = -1$；
(3)$(\frac{5a + 3b}{a^2 - b^2} + \frac{8b}{b^2 - a^2}) ÷ \frac{1}{a^2b + ab^2}$，其中 $a = \sqrt{2}, b = 1$。
(1)$(1 + \frac{1}{a^2 -1}) ÷ \frac{a}{a -1}$，其中 $a = -3$；
(2)$\frac{x^2 + 2xy + y^2}{xy} ÷ (x + y) · \frac{y^2}{x^2 - y^2}$，其中 $x = 2, y = -1$；
(3)$(\frac{5a + 3b}{a^2 - b^2} + \frac{8b}{b^2 - a^2}) ÷ \frac{1}{a^2b + ab^2}$，其中 $a = \sqrt{2}, b = 1$。
答案
(1)原式$=\frac{a}{a + 1}$。当 $a = -3$ 时,原式$=\frac{3}{2}$
(2)原式$=\frac{y}{x(x - y)}$。当 $x = 2,y = -1$ 时,原式$= -\frac{1}{6}$
(3)原式$=5ab$。当 $a =\sqrt{2},b = 1$ 时,原式$=5\sqrt{2}$
(2)原式$=\frac{y}{x(x - y)}$。当 $x = 2,y = -1$ 时,原式$= -\frac{1}{6}$
(3)原式$=5ab$。当 $a =\sqrt{2},b = 1$ 时,原式$=5\sqrt{2}$
解析
【分析】
这是分式化简求值类题目，通用解题思路如下：1. 先处理括号内的运算：异分母分式先通分，转化为同分母分式的加减运算；2. 将所有除法运算转化为乘法运算（除以一个分式等于乘它的倒数）；3. 对各分式的分子、分母进行因式分解，可借助提公因式法、平方差公式、完全平方公式完成；4. 约去分子分母的公因式，得到最简分式；5. 代入给定的数值计算结果即可，本题给定数值均能保证原分式分母不为0，可直接代入。
【解析】
(1) 化简过程：
括号内通分得：$1+\frac{1}{a^2-1}=\frac{a^2-1}{a^2-1}+\frac{1}{a^2-1}=\frac{a^2}{a^2-1}$
因式分解分母：$a^2-1=(a+1)(a-1)$
除法转为乘法：原式$=\frac{a^2}{(a+1)(a-1)} × \frac{a-1}{a}$
约分得最简式：$\frac{a}{a+1}$
代入$a=-3$计算：原式$=\frac{-3}{-3+1}=\frac{3}{2}$
(2) 化简过程：
因式分解各部分：$x^2+2xy+y^2=(x+y)^2$，$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$
除法转为乘法：原式$=\frac{(x+y)^2}{xy} × \frac{1}{x+y} × \frac{y^2}{(x+y)(x-y)}$
约分得最简式：$\frac{y}{x(x-y)}$
代入$x=2,y=-1$计算：原式$=\frac{-1}{2×[2-(-1)]}=-\frac{1}{6}$
(3) 化简过程：
统一括号内分母：$\frac{8b}{b^2-a^2}=-\frac{8b}{a^2-b^2}$
括号内合并得：$\frac{5a+3b-8b}{a^2-b^2}=\frac{5(a-b)}{(a+b)(a-b)}$
因式分解除数分母：$a^2b+ab^2=ab(a+b)$
除法转为乘法：原式$=\frac{5(a-b)}{(a+b)(a-b)} × ab(a+b)$
约分得最简式：$5ab$
代入$a=\sqrt{2},b=1$计算：原式$=5×\sqrt{2}×1=5\sqrt{2}$
【答案】
(1)原式$=\frac{a}{a + 1}$。当 $a = -3$ 时,原式$=\frac{3}{2}$
(2)原式$=\frac{y}{x(x - y)}$。当 $x = 2,y = -1$ 时,原式$= -\frac{1}{6}$
(3)原式$=5ab$。当 $a =\sqrt{2},b = 1$ 时,原式$=5\sqrt{2}$
【知识点】
分式混合运算；因式分解；代数式求值
【点评】
本题是分式运算的典型常考题，重点考查分式运算法则的应用和因式分解的熟练度，解题时要注意运算顺序，处理互为相反数的分母时注意符号变化，约分时要找准公因式，代值计算时避免符号错误。
【难度系数】
0.65
这是分式化简求值类题目，通用解题思路如下：1. 先处理括号内的运算：异分母分式先通分，转化为同分母分式的加减运算；2. 将所有除法运算转化为乘法运算（除以一个分式等于乘它的倒数）；3. 对各分式的分子、分母进行因式分解，可借助提公因式法、平方差公式、完全平方公式完成；4. 约去分子分母的公因式，得到最简分式；5. 代入给定的数值计算结果即可，本题给定数值均能保证原分式分母不为0，可直接代入。
【解析】
(1) 化简过程：
括号内通分得：$1+\frac{1}{a^2-1}=\frac{a^2-1}{a^2-1}+\frac{1}{a^2-1}=\frac{a^2}{a^2-1}$
因式分解分母：$a^2-1=(a+1)(a-1)$
除法转为乘法：原式$=\frac{a^2}{(a+1)(a-1)} × \frac{a-1}{a}$
约分得最简式：$\frac{a}{a+1}$
代入$a=-3$计算：原式$=\frac{-3}{-3+1}=\frac{3}{2}$
(2) 化简过程：
因式分解各部分：$x^2+2xy+y^2=(x+y)^2$，$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$
除法转为乘法：原式$=\frac{(x+y)^2}{xy} × \frac{1}{x+y} × \frac{y^2}{(x+y)(x-y)}$
约分得最简式：$\frac{y}{x(x-y)}$
代入$x=2,y=-1$计算：原式$=\frac{-1}{2×[2-(-1)]}=-\frac{1}{6}$
(3) 化简过程：
统一括号内分母：$\frac{8b}{b^2-a^2}=-\frac{8b}{a^2-b^2}$
括号内合并得：$\frac{5a+3b-8b}{a^2-b^2}=\frac{5(a-b)}{(a+b)(a-b)}$
因式分解除数分母：$a^2b+ab^2=ab(a+b)$
除法转为乘法：原式$=\frac{5(a-b)}{(a+b)(a-b)} × ab(a+b)$
约分得最简式：$5ab$
代入$a=\sqrt{2},b=1$计算：原式$=5×\sqrt{2}×1=5\sqrt{2}$
【答案】
(1)原式$=\frac{a}{a + 1}$。当 $a = -3$ 时,原式$=\frac{3}{2}$
(2)原式$=\frac{y}{x(x - y)}$。当 $x = 2,y = -1$ 时,原式$= -\frac{1}{6}$
(3)原式$=5ab$。当 $a =\sqrt{2},b = 1$ 时,原式$=5\sqrt{2}$
【知识点】
分式混合运算；因式分解；代数式求值
【点评】
本题是分式运算的典型常考题，重点考查分式运算法则的应用和因式分解的熟练度，解题时要注意运算顺序，处理互为相反数的分母时注意符号变化，约分时要找准公因式，代值计算时避免符号错误。
【难度系数】
0.65
2. 数学活动课上,老师在黑板上写了两个代数式,$A=2x+2,B=x^2 -1$,请同学们利用两个代数式提出问题,并解决问题。
(1)嘉嘉:求$A+B$的最小值。
(2)琪琪:若$\frac{A}{B}$的值为正整数,求整数$x$的值。
(1)嘉嘉:求$A+B$的最小值。
(2)琪琪:若$\frac{A}{B}$的值为正整数,求整数$x$的值。
答案
解:(1) $A + B = 2x + 2 + x^2 - 1 = x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2$,$\because (x + 1)^2 ≥ 0$,$\therefore A + B$ 的最小值为0。
(2) $\frac{A}{B} = \frac{2x + 2}{x^2 - 1} = \frac{2(x + 1)}{(x + 1)(x - 1)} = \frac{2}{x - 1}(x ≠ \pm 1)$,
$\because \frac{2}{x - 1}$的值为正整数,$\therefore x - 1 = 1$ 或 $x - 1 = 2$,解得$x = 2$ 或 $x = 3$。
(2) $\frac{A}{B} = \frac{2x + 2}{x^2 - 1} = \frac{2(x + 1)}{(x + 1)(x - 1)} = \frac{2}{x - 1}(x ≠ \pm 1)$,
$\because \frac{2}{x - 1}$的值为正整数,$\therefore x - 1 = 1$ 或 $x - 1 = 2$,解得$x = 2$ 或 $x = 3$。
解析
【分析】
（1）求$A+B$的最小值，首先将两个代数式相加，合并同类项后利用完全平方公式因式分解，再根据平方数的非负性即可求出最小值。
（2）求使$\frac{A}{B}$为正整数的整数$x$，首先对$\frac{A}{B}$化简，同时注意分式有意义的隐含条件（分母不为0），排除不符合的$x$值；再根据分式值为正整数的要求，可知化简后分式的分母是分子的正约数，据此列方程求解即可。
【解析】
（1）将$A=2x+2$，$B=x^2-1$代入$A+B$得：
$\begin{aligned}A+B&=2x+2+x^2-1\\&=x^2+2x+1\\&=(x+1)^2\end{aligned}$
$\because$ 平方数具有非负性，即$(x+1)^2≥0$，
$\therefore A+B$的最小值为0。
（2）由题意得：$\frac{A}{B}=\frac{2x+2}{x^2-1}$，
分式有意义的条件为分母不为0，即$x^2-1≠0$，解得$x≠\pm1$。
对分式化简：
$\begin{aligned}\frac{A}{B}&=\frac{2(x+1)}{(x+1)(x-1)}\\&=\frac{2}{x-1}(x≠\pm1)\end{aligned}$
$\because \frac{A}{B}$的值为正整数，$x$为整数，
$\therefore x-1$是2的正约数，即$x-1=1$或$x-1=2$，
解得$x=2$或$x=3$，均满足$x≠\pm1$的条件。
【答案】
（1）$\boxed{0}$
（2）$\boxed{2}$或$\boxed{3}$
【知识点】
1. 配方法求最值
2. 分式有意义的条件
3. 分式化简
【点评】
本题综合考查整式运算、分式化简及整数性质，解题时容易忽略分式分母不为0的隐含条件导致多解，既考查基础公式的运用能力，也要求学生具备严谨的审题习惯。
【难度系数】
0.7
（1）求$A+B$的最小值，首先将两个代数式相加，合并同类项后利用完全平方公式因式分解，再根据平方数的非负性即可求出最小值。
（2）求使$\frac{A}{B}$为正整数的整数$x$，首先对$\frac{A}{B}$化简，同时注意分式有意义的隐含条件（分母不为0），排除不符合的$x$值；再根据分式值为正整数的要求，可知化简后分式的分母是分子的正约数，据此列方程求解即可。
【解析】
（1）将$A=2x+2$，$B=x^2-1$代入$A+B$得：
$\begin{aligned}A+B&=2x+2+x^2-1\\&=x^2+2x+1\\&=(x+1)^2\end{aligned}$
$\because$ 平方数具有非负性，即$(x+1)^2≥0$，
$\therefore A+B$的最小值为0。
（2）由题意得：$\frac{A}{B}=\frac{2x+2}{x^2-1}$，
分式有意义的条件为分母不为0，即$x^2-1≠0$，解得$x≠\pm1$。
对分式化简：
$\begin{aligned}\frac{A}{B}&=\frac{2(x+1)}{(x+1)(x-1)}\\&=\frac{2}{x-1}(x≠\pm1)\end{aligned}$
$\because \frac{A}{B}$的值为正整数，$x$为整数，
$\therefore x-1$是2的正约数，即$x-1=1$或$x-1=2$，
解得$x=2$或$x=3$，均满足$x≠\pm1$的条件。
【答案】
（1）$\boxed{0}$
（2）$\boxed{2}$或$\boxed{3}$
【知识点】
1. 配方法求最值
2. 分式有意义的条件
3. 分式化简
【点评】
本题综合考查整式运算、分式化简及整数性质，解题时容易忽略分式分母不为0的隐含条件导致多解，既考查基础公式的运用能力，也要求学生具备严谨的审题习惯。
【难度系数】
0.7
