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6.如图,在△ABC中,AB,AC的垂直平分线FD,GE分别交BC于点D,E,若∠B=30°,∠C=48°,则∠DAE的度数为 (
A.26°
B.15°
C.24°
D.30°
C
)A.26°
B.15°
C.24°
D.30°
答案
6.C
解析
【分析】
解题时首先利用线段垂直平分线的性质，得到相等的边，进而转化为相等的角：FD是AB的垂直平分线，则AD=BD，可得∠BAD=∠B；GE是AC的垂直平分线，则AE=CE，可得∠CAE=∠C。再结合三角形内角和先求出△ABC的顶角∠BAC的度数，最后用∠BAC减去∠BAD与∠CAE的和，即可求出∠DAE的度数。
【解析】
在△ABC中，根据三角形内角和为180°：
∠BAC = 180° - ∠B - ∠C = 180° - 30° - 48° = 102°
∵ FD是AB的垂直平分线，点D在FD上
∴ AD = BD，根据等腰三角形等边对等角的性质，得∠BAD = ∠B = 30°
同理，GE是AC的垂直平分线，点E在GE上
∴ AE = CE，得∠CAE = ∠C = 48°
∴ ∠BAD + ∠CAE = 30° + 48° = 78°
∴ ∠DAE = ∠BAC - (∠BAD + ∠CAE) = 102° - 78° = 24°
【答案】
C
【知识点】
线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是几何基础应用类题目，核心是将垂直平分线的性质转化为角的等量关系，结合三角形内角和公式即可求解，熟练掌握相关性质是快速解题的关键。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用线段垂直平分线的性质，得到相等的边，进而转化为相等的角：FD是AB的垂直平分线，则AD=BD，可得∠BAD=∠B；GE是AC的垂直平分线，则AE=CE，可得∠CAE=∠C。再结合三角形内角和先求出△ABC的顶角∠BAC的度数，最后用∠BAC减去∠BAD与∠CAE的和，即可求出∠DAE的度数。
【解析】
在△ABC中，根据三角形内角和为180°：
∠BAC = 180° - ∠B - ∠C = 180° - 30° - 48° = 102°
∵ FD是AB的垂直平分线，点D在FD上
∴ AD = BD，根据等腰三角形等边对等角的性质，得∠BAD = ∠B = 30°
同理，GE是AC的垂直平分线，点E在GE上
∴ AE = CE，得∠CAE = ∠C = 48°
∴ ∠BAD + ∠CAE = 30° + 48° = 78°
∴ ∠DAE = ∠BAC - (∠BAD + ∠CAE) = 102° - 78° = 24°
【答案】
C
【知识点】
线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是几何基础应用类题目，核心是将垂直平分线的性质转化为角的等量关系，结合三角形内角和公式即可求解，熟练掌握相关性质是快速解题的关键。
【难度系数】
0.7
二、填空题
7.已知某等腰三角形一腰上的高是腰的一半,则该等腰三角形的顶角为
D E C
7.已知某等腰三角形一腰上的高是腰的一半,则该等腰三角形的顶角为
150°或30°
.D E C
答案
7.150°或30°
解析
【分析】
解决本题需注意等腰三角形腰上的高的位置不唯一，需分顶角为锐角、钝角两种情况讨论，避免漏解。解题时利用直角三角形中“30°角所对的直角边等于斜边的一半”的性质，结合两种情况分别计算顶角的度数即可。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当等腰三角形的顶角为锐角时，腰上的高在三角形内部：
此时腰上的高与腰构成直角三角形，高是直角边，腰是斜边，已知高是腰的一半，根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得高所对的角就是等腰三角形的顶角，因此顶角为$30°$。
2. 当等腰三角形的顶角为钝角时，腰上的高在三角形外部：
此时腰上的高与腰的延长线构成直角三角形，高是腰的一半，因此高所对的锐角为$30°$，该角是等腰三角形顶角的邻补角，因此顶角为$180° - 30° = 150°$。
综上，该等腰三角形的顶角为$30°$或$150°$。
【答案】
$150°$或$30°$
【知识点】
等腰三角形的性质，直角三角形的性质，分类讨论
【点评】
本题的易错点是忽略高在三角形外部的情况，只得出30°一个结果，解题时要全面考虑等腰三角形的类型，根据高的位置分情况讨论。
【难度系数】
0.6
解决本题需注意等腰三角形腰上的高的位置不唯一，需分顶角为锐角、钝角两种情况讨论，避免漏解。解题时利用直角三角形中“30°角所对的直角边等于斜边的一半”的性质，结合两种情况分别计算顶角的度数即可。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当等腰三角形的顶角为锐角时，腰上的高在三角形内部：
此时腰上的高与腰构成直角三角形，高是直角边，腰是斜边，已知高是腰的一半，根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得高所对的角就是等腰三角形的顶角，因此顶角为$30°$。
2. 当等腰三角形的顶角为钝角时，腰上的高在三角形外部：
此时腰上的高与腰的延长线构成直角三角形，高是腰的一半，因此高所对的锐角为$30°$，该角是等腰三角形顶角的邻补角，因此顶角为$180° - 30° = 150°$。
综上，该等腰三角形的顶角为$30°$或$150°$。
【答案】
$150°$或$30°$
【知识点】
等腰三角形的性质，直角三角形的性质，分类讨论
【点评】
本题的易错点是忽略高在三角形外部的情况，只得出30°一个结果，解题时要全面考虑等腰三角形的类型，根据高的位置分情况讨论。
【难度系数】
0.6
8.一辆汽车停靠在河边,下图是从水中看到的汽车的车牌号,则汽车的车牌号为
MⅤI0ϵ↮8∂
MA106489
.MⅤI0ϵ↮8∂
答案
8.MA106489
解析
【分析】
水面成像属于轴对称现象，水面作为对称轴，实物和水中的像关于水面对称，特点是上下颠倒、左右不变。要得到真实的车牌号，只需将看到的水中的每一个字符沿着水平方向的对称轴翻折（也可以把写有这串倒影的纸上下颠倒后观察），依次得到原字符后按顺序组合即可。
【解析】
我们逐个对水中的字符进行水平轴对称翻折：
1. 第一个字符“M”翻折后仍为“M”；
2. 第二个字符“Ⅴ”翻折后为“A”；
3. 第三个字符“I”翻折后为“1”；
4. 第四个字符“0”翻折后仍为“0”；
5. 第五个字符“ϵ”翻折后为“6”；
6. 第六个字符“↮”翻折后为“4”；
7. 第七个字符“8”翻折后仍为“8”；
8. 第八个字符“∂”翻折后为“9”；
将翻折后的字符按原顺序组合，即可得到真实的车牌号。
【答案】
MA106489
【知识点】
轴对称的应用，平面镜成像特点
【点评】
本题结合生活中的水面倒影场景，考察轴对称知识的实际应用，解题核心是明确水面成像的对称规律，熟悉常见数字、字母翻折后的形态即可快速求解，贴近生活趣味性较强。
【难度系数】
0.7
水面成像属于轴对称现象，水面作为对称轴，实物和水中的像关于水面对称，特点是上下颠倒、左右不变。要得到真实的车牌号，只需将看到的水中的每一个字符沿着水平方向的对称轴翻折（也可以把写有这串倒影的纸上下颠倒后观察），依次得到原字符后按顺序组合即可。
【解析】
我们逐个对水中的字符进行水平轴对称翻折：
1. 第一个字符“M”翻折后仍为“M”；
2. 第二个字符“Ⅴ”翻折后为“A”；
3. 第三个字符“I”翻折后为“1”；
4. 第四个字符“0”翻折后仍为“0”；
5. 第五个字符“ϵ”翻折后为“6”；
6. 第六个字符“↮”翻折后为“4”；
7. 第七个字符“8”翻折后仍为“8”；
8. 第八个字符“∂”翻折后为“9”；
将翻折后的字符按原顺序组合，即可得到真实的车牌号。
【答案】
MA106489
【知识点】
轴对称的应用，平面镜成像特点
【点评】
本题结合生活中的水面倒影场景，考察轴对称知识的实际应用，解题核心是明确水面成像的对称规律，熟悉常见数字、字母翻折后的形态即可快速求解，贴近生活趣味性较强。
【难度系数】
0.7
9.如图，BD，CD分别平分∠ABC和∠ACB，EF平行于BC交AC于点F，交AB于点E，若BC=4，BE=1.5，CF=1，则EF=
2.5
。答案
9.2.5
解析
【分析】
解题时首先观察到题干同时给出了角平分线和平行线的条件，这一组合通常可推导出等腰三角形：①先利用角平分线定义得到两组相等的角，再结合平行线内错角相等的性质，等量代换得到△EBD和△FDC为等腰三角形，根据等角对等边得到ED=BE、DF=CF；②最后根据EF=ED+DF，代入已知线段长度计算即可得到结果。
【解析】
∵BD平分∠ABC，
∴∠EBD=∠CBD
∵EF//BC，
∴∠EDB=∠CBD（两直线平行，内错角相等）
∴∠EBD=∠EDB，
∴ED=BE=1.5
同理，
∵CD平分∠ACB，
∴∠FCD=∠BCD
∵EF//BC，
∴∠FDC=∠BCD（两直线平行，内错角相等）
∴∠FCD=∠FDC，
∴DF=CF=1
∴EF=ED+DF=1.5+1=2.5
【答案】
2.5
【知识点】
角平分线定义，平行线的性质，等腰三角形判定
【点评】
本题是“角平分线+平行线”模型的典型应用，熟练掌握该模型可快速识别出图中的等腰三角形，进而通过线段的和差关系求解，是几何基础题中的常考类型。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察到题干同时给出了角平分线和平行线的条件，这一组合通常可推导出等腰三角形：①先利用角平分线定义得到两组相等的角，再结合平行线内错角相等的性质，等量代换得到△EBD和△FDC为等腰三角形，根据等角对等边得到ED=BE、DF=CF；②最后根据EF=ED+DF，代入已知线段长度计算即可得到结果。
【解析】
∵BD平分∠ABC，
∴∠EBD=∠CBD
∵EF//BC，
∴∠EDB=∠CBD（两直线平行，内错角相等）
∴∠EBD=∠EDB，
∴ED=BE=1.5
同理，
∵CD平分∠ACB，
∴∠FCD=∠BCD
∵EF//BC，
∴∠FDC=∠BCD（两直线平行，内错角相等）
∴∠FCD=∠FDC，
∴DF=CF=1
∴EF=ED+DF=1.5+1=2.5
【答案】
2.5
【知识点】
角平分线定义，平行线的性质，等腰三角形判定
【点评】
本题是“角平分线+平行线”模型的典型应用，熟练掌握该模型可快速识别出图中的等腰三角形，进而通过线段的和差关系求解，是几何基础题中的常考类型。
【难度系数】
0.7
10.把两个都有一个锐角为$30°$的一样大小的直角三角尺拼成如图所示的图形，两条相等的直角边AB,DE在同一直线上，其中$∠ A = ∠ D = 30°$，这个图形中等腰三角形的个数是
3
。答案
10.3
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆等腰三角形的判定方法：等角对等边，即只要三角形中有两个内角相等，它就是等腰三角形。首先根据直角三角尺的特征确定已知角的度数：∠A=∠D=30°，两个三角尺的直角都是90°，剩下的锐角∠F和∠C都是60°。接下来逐步推导图中各三角形的内角度数，判断是否有两个角相等即可。
【解析】
已知两个完全相同的含30°角的直角三角尺，因此：
∠A=∠D=30°，∠F=∠C=60°，∠FEA=∠CBD=90°。
1. 看△APD：∠A=∠D=30°，根据等角对等边，PA=PD，因此△APD是等腰三角形；
2. 计算∠APD=180°-∠A-∠D=120°，它的邻补角∠FPQ=180°-120°=60°，在△FPQ中，∠F=60°，即∠F=∠FPQ，因此FQ=PQ，△FPQ是等腰三角形；
3. 同理，∠CPR和∠FPQ是对顶角，所以∠CPR=60°，在△CPR中，∠C=60°，即∠C=∠CPR，因此CR=PR，△CPR是等腰三角形。
综上，图形中等腰三角形共有3个。
【答案】
3
【知识点】
等腰三角形的判定；三角形内角和定理；直角三角形的性质
【点评】
本题重点考查等腰三角形的判定，解题时要结合三角尺的固定角度特征，逐一推导各三角形的内角，避免漏数或多数，同时要注意等边三角形属于特殊的等腰三角形。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，首先回忆等腰三角形的判定方法：等角对等边，即只要三角形中有两个内角相等，它就是等腰三角形。首先根据直角三角尺的特征确定已知角的度数：∠A=∠D=30°，两个三角尺的直角都是90°，剩下的锐角∠F和∠C都是60°。接下来逐步推导图中各三角形的内角度数，判断是否有两个角相等即可。
【解析】
已知两个完全相同的含30°角的直角三角尺，因此：
∠A=∠D=30°，∠F=∠C=60°，∠FEA=∠CBD=90°。
1. 看△APD：∠A=∠D=30°，根据等角对等边，PA=PD，因此△APD是等腰三角形；
2. 计算∠APD=180°-∠A-∠D=120°，它的邻补角∠FPQ=180°-120°=60°，在△FPQ中，∠F=60°，即∠F=∠FPQ，因此FQ=PQ，△FPQ是等腰三角形；
3. 同理，∠CPR和∠FPQ是对顶角，所以∠CPR=60°，在△CPR中，∠C=60°，即∠C=∠CPR，因此CR=PR，△CPR是等腰三角形。
综上，图形中等腰三角形共有3个。
【答案】
3
【知识点】
等腰三角形的判定；三角形内角和定理；直角三角形的性质
【点评】
本题重点考查等腰三角形的判定，解题时要结合三角尺的固定角度特征，逐一推导各三角形的内角，避免漏数或多数，同时要注意等边三角形属于特殊的等腰三角形。
【难度系数】
0.6
三、解答题
11. 如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD和CE三等分∠ACB,分别交AB于点D和E,CD⊥AB于D. 请说明:AB=2BC.
11. 如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD和CE三等分∠ACB,分别交AB于点D和E,CD⊥AB于D. 请说明:AB=2BC.
答案
11.解:因为 CD,CE 三等分∠ACB,∠ACB = 90°,
所以∠1 = ∠2 = ∠3 = 30°. 因为 CD⊥AB,所以∠CDB = 90°. 所以∠B = 60°,∠A = 30°.
在 Rt△ABC 中,∠ACB = 90°,∠A = 30°,所以 BC = $\frac{1}{2}AB$,即 AB = 2BC.
所以∠1 = ∠2 = ∠3 = 30°. 因为 CD⊥AB,所以∠CDB = 90°. 所以∠B = 60°,∠A = 30°.
在 Rt△ABC 中,∠ACB = 90°,∠A = 30°,所以 BC = $\frac{1}{2}AB$,即 AB = 2BC.
解析
【分析】
解题时先从已知条件“∠ACB=90°，CD、CE三等分∠ACB”入手，先计算出三个等分角的度数；再结合CD⊥AB的条件，在Rt△CDB中利用直角三角形两锐角互余求出∠B的度数；接着在△ABC中用三角形内角和求出∠A的度数；最后利用直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，即可推导出AB和BC的数量关系。
【解析】
解：
∵ CD、CE三等分∠ACB，∠ACB=90°，
∴ ∠1=∠2=∠3=30°，
∵ CD⊥AB，
∴ ∠CDB=90°，
∴ ∠B=90°-∠3=90°-30°=60°，
在△ABC中，∠ACB=90°，
∴ ∠A=180°-90°-60°=30°，
在Rt△ABC中，∠A=30°，30°角所对的直角边为BC，斜边为AB，
∴ BC=$\frac{1}{2}$AB，即AB=2BC。
【答案】
AB=2BC
【知识点】
角三等分的定义，直角三角形的性质，三角形内角和
【点评】
本题属于几何基础应用题，解题的核心是先通过角等分和垂直条件求出△ABC中∠A的度数，再结合特殊直角三角形的边角关系推导边的数量关系，熟练掌握相关基础性质是快速解题的关键。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件“∠ACB=90°，CD、CE三等分∠ACB”入手，先计算出三个等分角的度数；再结合CD⊥AB的条件，在Rt△CDB中利用直角三角形两锐角互余求出∠B的度数；接着在△ABC中用三角形内角和求出∠A的度数；最后利用直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，即可推导出AB和BC的数量关系。
【解析】
解：
∵ CD、CE三等分∠ACB，∠ACB=90°，
∴ ∠1=∠2=∠3=30°，
∵ CD⊥AB，
∴ ∠CDB=90°，
∴ ∠B=90°-∠3=90°-30°=60°，
在△ABC中，∠ACB=90°，
∴ ∠A=180°-90°-60°=30°，
在Rt△ABC中，∠A=30°，30°角所对的直角边为BC，斜边为AB，
∴ BC=$\frac{1}{2}$AB，即AB=2BC。
【答案】
AB=2BC
【知识点】
角三等分的定义，直角三角形的性质，三角形内角和
【点评】
本题属于几何基础应用题，解题的核心是先通过角等分和垂直条件求出△ABC中∠A的度数，再结合特殊直角三角形的边角关系推导边的数量关系，熟练掌握相关基础性质是快速解题的关键。
【难度系数】
0.8
12. 如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=120°,BC=6 cm,AB的垂直平分线交BC于M,交AB于E,AC的垂直平分线交BC于N,交AC于F. 请说明:BM=MN=NC.
答案
12.解:连接 MA、NA,则 MA = MB, NA = NC, 所以∠MAB = ∠B, ∠NAC = ∠C, 因为∠BAC = 120°, AB = AC,所以∠B = ∠C = 30°,所以∠MAB = ∠NAC = 30°,
所以∠MAN = 60°. 所以△AMN 为正三角形. 所以 AM = MN = AN. 所以 BM = MN = NC.
所以∠MAN = 60°. 所以△AMN 为正三角形. 所以 AM = MN = AN. 所以 BM = MN = NC.
解析
【分析】
要证明BM=MN=NC，首先结合题中出现的线段垂直平分线，根据垂直平分线的性质，可连接MA、NA，将BM转化为MA、NC转化为NA；再利用等腰△ABC的已知条件算出底角∠B、∠C的度数，进而推导∠MAB、∠NAC的度数，得到∠MAN的度数；最后通过角度判定△AMN为等边三角形，得到MA=MN=NA，通过等量代换即可得出三条线段相等的结论。
【解析】
连接MA、NA。
∵ME是AB的垂直平分线，NF是AC的垂直平分线，
∴MA=MB，NA=NC，
∴∠MAB=∠B，∠NAC=∠C。
∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=(180°-120°)÷2=30°，
∴∠MAB=∠NAC=30°，
∴∠MAN=∠BAC-∠MAB-∠NAC=120°-30°-30°=60°。
∴△AMN为正三角形，
∴AM=MN=AN，
又
∵MA=MB，NA=NC，
∴BM=MN=NC。
【答案】
BM=MN=NC
【知识点】
线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；等边三角形的判定
【点评】
本题是三角形性质应用的典型习题，解题核心是通过添加辅助线将待证线段进行转化，结合角度计算推导等边三角形，最终通过等量代换得到结论，能有效训练几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
要证明BM=MN=NC，首先结合题中出现的线段垂直平分线，根据垂直平分线的性质，可连接MA、NA，将BM转化为MA、NC转化为NA；再利用等腰△ABC的已知条件算出底角∠B、∠C的度数，进而推导∠MAB、∠NAC的度数，得到∠MAN的度数；最后通过角度判定△AMN为等边三角形，得到MA=MN=NA，通过等量代换即可得出三条线段相等的结论。
【解析】
连接MA、NA。
∵ME是AB的垂直平分线，NF是AC的垂直平分线，
∴MA=MB，NA=NC，
∴∠MAB=∠B，∠NAC=∠C。
∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=(180°-120°)÷2=30°，
∴∠MAB=∠NAC=30°，
∴∠MAN=∠BAC-∠MAB-∠NAC=120°-30°-30°=60°。
∴△AMN为正三角形，
∴AM=MN=AN，
又
∵MA=MB，NA=NC，
∴BM=MN=NC。
【答案】
BM=MN=NC
【知识点】
线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；等边三角形的判定
【点评】
本题是三角形性质应用的典型习题，解题核心是通过添加辅助线将待证线段进行转化，结合角度计算推导等边三角形，最终通过等量代换得到结论，能有效训练几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
