13.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,DF⊥AB于点F,E为AC上一点,且AE=DE.
(1)试说明:DF⊥DE.
(2)若AC=BC,∠BDF=15°,求∠AED的度数.

13.解:(1) 因为 AD 平分 ∠BAC,所以 ∠BAD = ∠CAD. 因为 AE = DE,所以 ∠CAD = ∠ADE. 所以
∠BAD = ∠ADE. 所以 DE//AB. 所以 ∠AFD + ∠FDE = 180°. 因为 DF⊥AB,所以 ∠AFD = 90°,所以 ∠FDE = 90°,所以 DF⊥DE.
(2) 因为 DF⊥AB,所以 ∠BFD = 90°. 因为 ∠BDF = 15°,所以 ∠ABC = 90° - ∠BDF = 90° - 15° = 75°. 因为 AC = BC. 所以 ∠CAB = ∠ABC = 75°. 由(1)可知
AB//ED,所以 ∠CAB + ∠AED = 180°. 所以 ∠AED = 180° - 75° = 105°.

【分析】
（1）要证明DF⊥DE，需证∠FDE=90°。首先利用角平分线定义得∠BAD=∠CAD，再结合等腰三角形等边对等角的性质得∠CAD=∠ADE，等量代换后得到内错角相等推出DE//AB，最后结合DF⊥AB的条件，利用平行线同旁内角互补即可求出∠FDE=90°，完成证明。
（2）求∠AED的度数，先在Rt△BDF中利用直角三角形两锐角互余求出∠ABC，再结合AC=BC的等腰三角形性质得到∠CAB=∠ABC，最后利用第（1）问的平行结论，根据平行线同旁内角互补即可算出∠AED的度数。
【解析】
(1) 因为AD平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
因为AE = DE，所以∠CAD = ∠ADE。
所以∠BAD = ∠ADE，可得DE//AB。
所以∠AFD + ∠FDE = 180°。
因为DF⊥AB，所以∠AFD = 90°，所以∠FDE = 180°-90°=90°，所以DF⊥DE。
(2) 因为DF⊥AB，所以∠BFD = 90°。
已知∠BDF=15°，所以∠ABC = 90° - ∠BDF = 90° - 15° = 75°。
因为AC=BC，所以∠CAB = ∠ABC = 75°。
由(1)可知AB//ED，所以∠CAB + ∠AED = 180°。
所以∠AED = 180° - 75° = 105°。
【答案】
(1) 已证明DF⊥DE；
(2) ∠AED=105°
【知识点】
角平分线的定义；等腰三角形的性质；平行线的判定与性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，融合了角平分线、等腰三角形、平行线的核心性质，解题关键是通过角的等量关系推导平行线，再结合平行性质求解角度，掌握基础几何性质就能顺利解答。
【难度系数】
0.7

14. 如图,在△ABC中,∠B=42°,∠C=68°,点E为线段AB的中点,点F在边AC上,连接EF,将△AEF沿EF折叠得到△PEF.
(1)如图1,当点P落在BC上时,求∠BEP的度数.
(2)如图2,当PF⊥AC时,求∠AEF的度数.

14.解:(1)因为△AEF沿EF折叠得到△PEF,所以AE = PE. 因为点E为线段AB的中点,所以AE = BE.
所以 BE = EP,所以∠B = ∠EPB = 42°. 所以∠BEP = 180° - ∠B - ∠EPB = 180° - 42° - 42° = 96°.
(2) 因为 PF⊥AC,所以 ∠AFP = 90°. 所以 ∠AFE = $\frac{1}{2}∠AFP = 45°$. 因为 ∠B = 42°, ∠C = 68°,所以 ∠BAC = 180° - ∠B - ∠C = 70°. 所以 ∠AEF = 180° - ∠BAC - ∠AFE = 65°.

【分析】
(1) 求∠BEP的度数时，首先利用折叠的性质可得折叠后对应边AE=PE，结合E是AB中点的条件，可推出BE=PE，即可判定△BEP为等腰三角形，根据等腰三角形两底角相等得到∠EPB=∠B=42°，最后利用三角形内角和为180°即可计算出∠BEP的度数。
(2) 求∠AEF的度数时，首先由折叠的性质可知折叠后对应角∠AFE=∠PFE，结合PF⊥AC的条件可得∠AFP=90°，先求出∠AFE的度数；再利用三角形内角和定理求出△ABC中∠BAC的度数，最后在△AEF中再次运用三角形内角和定理即可求出∠AEF的度数。
【解析】
(1) 因为△AEF沿EF折叠得到△PEF，根据折叠的性质，对应边相等，所以AE = PE。
因为点E为线段AB的中点，所以AE = BE。
等量代换可得BE = EP，因此△BEP是等腰三角形，∠B = ∠EPB = 42°。
根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ BEP = 180° - ∠ B - ∠ EPB = 180° - 42° - 42° = 96°$
(2) 因为PF⊥AC，所以$∠ AFP = 90°$。
由折叠的性质可知，对应角相等，即$∠ AFE = ∠ PFE$，因此：
$∠ AFE = \frac{1}{2}∠ AFP = \frac{1}{2} × 90° = 45°$
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，已知$∠ B = 42°$，$∠ C = 68°$，可得：
$∠ BAC = 180° - ∠ B - ∠ C = 180° - 42° - 68° = 70°$
在△AEF中，利用三角形内角和为180°，可得：
$∠ AEF = 180° - ∠ BAC - ∠ AFE = 180° - 70° - 45° = 65°$
【答案】
(1) $\boxed{96°}$；(2) $\boxed{65°}$
【知识点】
折叠的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于角度计算的基础综合题，解题的核心是从折叠条件中挖掘出对应边相等、对应角相等的隐含等量关系，结合等腰三角形性质和三角形内角和定理即可逐步求解，解题时需注意每一步角度推导的逻辑严谨性。
【难度系数】
0.7