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6. 不等式组$\begin{cases}3 - x ≥ 4, \\ x - \dfrac{3}{2} ＜ \dfrac{3}{2}x + 1\end{cases}$的解集在数轴上表示正确的是（ ）
答案
6.A
解析
【分析】
要判断不等式组的解集在数轴上的正确表示，需先分别求解两个一元一次不等式，得到各自的解集后取公共部分，再结合数轴表示解集的规则（大于向右、小于向左，包含端点用实心点，不包含端点用空心圈）匹配选项即可。
【解析】
先分别求解不等式组中的两个不等式：
1. 解不等式$3 - x ≥ 4$：
移项得：$-x ≥ 4 - 3$，即$-x ≥ 1$，
两边同时乘$-1$，不等号方向改变，得：$x ≤ -1$。
2. 解不等式$x - \dfrac{3}{2} ＜ \dfrac{3}{2}x + 1$：
移项，将含$x$的项移到左边，常数项移到右边：$x - \dfrac{3}{2}x ＜ 1 + \dfrac{3}{2}$，
合并同类项得：$-\dfrac{1}{2}x ＜ \dfrac{5}{2}$，
两边同时乘$-2$，不等号方向改变，得：$x ＞ -5$。
因此该不等式组的解集为$-5 ＜ x ≤ -1$。
对应数轴表示：在$-5$处画空心圈，向右延伸；在$-1$处画实心点，向左延伸，符合要求的是选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元一次不等式解法，不等式组解集求解，数轴表示不等式解集
【点评】
本题考查一元一次不等式组的求解及解集的数轴表示，解题时要注意不等式两边同时乘或除以负数时，不等号方向需要改变，数轴表示时要准确区分空心圈和实心点的用法。
【难度系数】
0.7
要判断不等式组的解集在数轴上的正确表示，需先分别求解两个一元一次不等式，得到各自的解集后取公共部分，再结合数轴表示解集的规则（大于向右、小于向左，包含端点用实心点，不包含端点用空心圈）匹配选项即可。
【解析】
先分别求解不等式组中的两个不等式：
1. 解不等式$3 - x ≥ 4$：
移项得：$-x ≥ 4 - 3$，即$-x ≥ 1$，
两边同时乘$-1$，不等号方向改变，得：$x ≤ -1$。
2. 解不等式$x - \dfrac{3}{2} ＜ \dfrac{3}{2}x + 1$：
移项，将含$x$的项移到左边，常数项移到右边：$x - \dfrac{3}{2}x ＜ 1 + \dfrac{3}{2}$，
合并同类项得：$-\dfrac{1}{2}x ＜ \dfrac{5}{2}$，
两边同时乘$-2$，不等号方向改变，得：$x ＞ -5$。
因此该不等式组的解集为$-5 ＜ x ≤ -1$。
对应数轴表示：在$-5$处画空心圈，向右延伸；在$-1$处画实心点，向左延伸，符合要求的是选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元一次不等式解法，不等式组解集求解，数轴表示不等式解集
【点评】
本题考查一元一次不等式组的求解及解集的数轴表示，解题时要注意不等式两边同时乘或除以负数时，不等号方向需要改变，数轴表示时要准确区分空心圈和实心点的用法。
【难度系数】
0.7
7. 如图，AB//CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直。若AD=8，则点P到BC的距离是（
A.8
B.6
C.4
D.2
C
）A.8
B.6
C.4
D.2
答案
7.C
解析
【分析】
解题时先利用平行线的性质，由AB//CD、AD⊥AB推出AD⊥CD，得到PA垂直AB、PD垂直CD；再结合角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可知点P到AB、BC的距离相等，点P到CD、BC的距离也相等，因此P到AB、CD、BC的距离均相等，且PA+PD=AD=8，由此即可求出P到BC的距离。
【解析】
过点P作PE⊥BC，垂足为E。
1. 由AB//CD，AD⊥AB，根据平行线的性质可得AD⊥CD，即PA⊥AB，PD⊥CD；
2. 因为BP平分∠ABC，PA⊥AB，PE⊥BC，根据角平分线的性质，得PA=PE；
3. 同理，CP平分∠DCB，PD⊥CD，PE⊥BC，根据角平分线的性质，得PD=PE；
4. 所以PA=PD=PE，又因为AD=PA+PD=8，因此PA=PD=4，故PE=4，即点P到BC的距离为4。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的性质、平行线的性质
【点评】
本题是几何基础应用类题目，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质，结合平行线的性质找到各段距离的等量关系，不需要复杂的计算，对基础概念的掌握要求较高。
【难度系数】
0.7
解题时先利用平行线的性质，由AB//CD、AD⊥AB推出AD⊥CD，得到PA垂直AB、PD垂直CD；再结合角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可知点P到AB、BC的距离相等，点P到CD、BC的距离也相等，因此P到AB、CD、BC的距离均相等，且PA+PD=AD=8，由此即可求出P到BC的距离。
【解析】
过点P作PE⊥BC，垂足为E。
1. 由AB//CD，AD⊥AB，根据平行线的性质可得AD⊥CD，即PA⊥AB，PD⊥CD；
2. 因为BP平分∠ABC，PA⊥AB，PE⊥BC，根据角平分线的性质，得PA=PE；
3. 同理，CP平分∠DCB，PD⊥CD，PE⊥BC，根据角平分线的性质，得PD=PE；
4. 所以PA=PD=PE，又因为AD=PA+PD=8，因此PA=PD=4，故PE=4，即点P到BC的距离为4。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的性质、平行线的性质
【点评】
本题是几何基础应用类题目，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质，结合平行线的性质找到各段距离的等量关系，不需要复杂的计算，对基础概念的掌握要求较高。
【难度系数】
0.7
8. 如图，把$△ ABC$绕点$C$顺时针旋转$35°$得到$△ A'B'C$，$A'B'$交$AC$于点$D$。若$∠ A'DC=90°$，则$∠ A$的度数为（
A.$45°$
B.$55°$
C.$65°$
D.$75°$
B
）A.$45°$
B.$55°$
C.$65°$
D.$75°$
答案
8.B
解析
【分析】
首先回忆旋转的相关性质：图形旋转后，对应角相等，旋转角大小不变。本题中△ABC旋转得到△A'B'C，首先可确定旋转角∠ACA'=35°，且∠A和∠A'是对应角，二者相等。已知∠A'DC=90°，可先在Rt△A'DC中求出∠A'的度数，即可得到∠A的度数。
【解析】
解：
∵△ABC绕点C顺时针旋转35°得到△A'B'C，
∴旋转角∠ACA'=35°，且对应角∠A=∠A'。
在△A'DC中，∠A'DC=90°，根据直角三角形两锐角互余可得：
$∠ A' = 90° - ∠ ACA' = 90° - 35° = 55°$，
∴$∠ A=∠ A'=55°$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
旋转的性质；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是熟练掌握旋转的性质，结合直角三角形的角度关系快速计算对应角的度数，是旋转应用的常规考题。
【难度系数】
0.8
首先回忆旋转的相关性质：图形旋转后，对应角相等，旋转角大小不变。本题中△ABC旋转得到△A'B'C，首先可确定旋转角∠ACA'=35°，且∠A和∠A'是对应角，二者相等。已知∠A'DC=90°，可先在Rt△A'DC中求出∠A'的度数，即可得到∠A的度数。
【解析】
解：
∵△ABC绕点C顺时针旋转35°得到△A'B'C，
∴旋转角∠ACA'=35°，且对应角∠A=∠A'。
在△A'DC中，∠A'DC=90°，根据直角三角形两锐角互余可得：
$∠ A' = 90° - ∠ ACA' = 90° - 35° = 55°$，
∴$∠ A=∠ A'=55°$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
旋转的性质；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是熟练掌握旋转的性质，结合直角三角形的角度关系快速计算对应角的度数，是旋转应用的常规考题。
【难度系数】
0.8
9.如图，在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=BC$，$AD$平分$∠ CAB$，交$BC$于点$D$，$DE⊥ AB$，垂足为点$E$，且$AB=10$，则$△ DEB$的周长为（
A.9
B.5
C.10
D.不能确定
C
）A.9
B.5
C.10
D.不能确定
答案
9.C
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：首先AD是∠CAB的角平分线，且DC垂直AC、DE垂直AB，根据角平分线的性质可得到CD=DE；再结合公共边AD，可证明Rt△ACD和Rt△AED全等，推出AC=AE；结合已知AC=BC，将△DEB的周长的各边进行等量代换，最终可将周长转化为AB的长度，即可得出结果。
【解析】
∵AD平分∠CAB，∠C=90°，DE⊥AB
∴CD=DE（角平分线上的点到角两边的距离相等）
在Rt△ACD和Rt△AED中
$\{\begin{array}{l}AD=AD\\ CD=DE\end{array} $
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）
∴AC=AE
又
∵AC=BC
∴AE=BC
△DEB的周长为：
$C_{△ DEB}=DE+DB+EB$
将DE替换为CD，可得：
$C_{△ DEB}=CD+DB+EB=BC+EB$
将BC替换为AE，可得：
$C_{△ DEB}=AE+EB=AB$
∵AB=10
∴△DEB的周长为10。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；等量代换
【点评】
本题侧重考查转化思想的应用，无需逐一计算△DEB各边的长度，只需利用角平分线性质和全等三角形的性质，将未知周长转化为已知的AB边长即可求解，是几何中线段转化类的典型题。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件入手：首先AD是∠CAB的角平分线，且DC垂直AC、DE垂直AB，根据角平分线的性质可得到CD=DE；再结合公共边AD，可证明Rt△ACD和Rt△AED全等，推出AC=AE；结合已知AC=BC，将△DEB的周长的各边进行等量代换，最终可将周长转化为AB的长度，即可得出结果。
【解析】
∵AD平分∠CAB，∠C=90°，DE⊥AB
∴CD=DE（角平分线上的点到角两边的距离相等）
在Rt△ACD和Rt△AED中
$\{\begin{array}{l}AD=AD\\ CD=DE\end{array} $
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）
∴AC=AE
又
∵AC=BC
∴AE=BC
△DEB的周长为：
$C_{△ DEB}=DE+DB+EB$
将DE替换为CD，可得：
$C_{△ DEB}=CD+DB+EB=BC+EB$
将BC替换为AE，可得：
$C_{△ DEB}=AE+EB=AB$
∵AB=10
∴△DEB的周长为10。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；等量代换
【点评】
本题侧重考查转化思想的应用，无需逐一计算△DEB各边的长度，只需利用角平分线性质和全等三角形的性质，将未知周长转化为已知的AB边长即可求解，是几何中线段转化类的典型题。
【难度系数】
0.7
10.已知关于$x$的方程$\frac{x}{x-1} - 2 = \frac{k}{1-x}$的根为正数，则$k$的取值范围为（
A.$k ＞ -2$且$k ≠ -1$
B.$-2 ＜ k ＜ 0$且$k ≠ -1$
C.$k ＞ 2$
D.$k ＜ 2$且$k ≠ -1$
A
）A.$k ＞ -2$且$k ≠ -1$
B.$-2 ＜ k ＜ 0$且$k ≠ -1$
C.$k ＞ 2$
D.$k ＜ 2$且$k ≠ -1$
答案
10.A
解析
【分析】
本题是分式方程结合参数取值范围的题型，解题思路分为三步：第一步先将分式方程去分母转化为整式方程，求出用含k的代数式表示的方程的根；第二步根据根为正数的条件，列不等式求出k的初步范围；第三步切记分式方程分母不能为0，排除增根对应的k值，最终得到k的完整取值范围。
【解析】
解：原方程为$\frac{x}{x-1} - 2 = \frac{k}{1-x}$，
方程两边同时乘以最简公分母$(x-1)$（注意$x≠1$，否则原方程无意义），去分母得：
$x - 2(x-1) = -k$
展开并整理整式方程：
$x - 2x + 2 = -k$
$-x + 2 = -k$
解得$x = k + 2$
∵ 方程的根为正数
∴ $x ＞ 0$，即$k + 2 ＞ 0$，解得$k ＞ -2$
又
∵ 原方程分母不能为0，即$x ≠ 1$
∴ $k + 2 ≠ 1$，解得$k ≠ -1$
综上，$k$的取值范围是$k ＞ -2$且$k ≠ -1$。
【答案】
A
【知识点】
分式方程解法、增根的判定、一元一次不等式求解
【点评】
本题属于分式方程的常规考法，解题的关键点是不要遗漏分式方程分母不为0的限制条件，很多同学容易只考虑根为正数的要求，忽略增根的排除导致选错答案。
【难度系数】
0.7
本题是分式方程结合参数取值范围的题型，解题思路分为三步：第一步先将分式方程去分母转化为整式方程，求出用含k的代数式表示的方程的根；第二步根据根为正数的条件，列不等式求出k的初步范围；第三步切记分式方程分母不能为0，排除增根对应的k值，最终得到k的完整取值范围。
【解析】
解：原方程为$\frac{x}{x-1} - 2 = \frac{k}{1-x}$，
方程两边同时乘以最简公分母$(x-1)$（注意$x≠1$，否则原方程无意义），去分母得：
$x - 2(x-1) = -k$
展开并整理整式方程：
$x - 2x + 2 = -k$
$-x + 2 = -k$
解得$x = k + 2$
∵ 方程的根为正数
∴ $x ＞ 0$，即$k + 2 ＞ 0$，解得$k ＞ -2$
又
∵ 原方程分母不能为0，即$x ≠ 1$
∴ $k + 2 ≠ 1$，解得$k ≠ -1$
综上，$k$的取值范围是$k ＞ -2$且$k ≠ -1$。
【答案】
A
【知识点】
分式方程解法、增根的判定、一元一次不等式求解
【点评】
本题属于分式方程的常规考法，解题的关键点是不要遗漏分式方程分母不为0的限制条件，很多同学容易只考虑根为正数的要求，忽略增根的排除导致选错答案。
【难度系数】
0.7
