19. 如图，点D，E分别在AB，AC上，且$DE// BC$，$∠ ACB$的平分线CF交DE于点G，点N在BC上，连接NG并延长交AB于点M，连接EM，$∠ EGC = ∠ AEM$。
(1)求证：$EM// CF$；
(2)若$MN⊥ BC$，$∠ ACB = 64°$，求$∠ EMN$的度数。

19. (1)证明略 (2)$∠EMN=58°$.

【分析】
（1）要证明EM//CF，可通过平行线判定定理寻找相等的同位角。首先由CF平分∠ACB得∠ECF=∠BCF，再结合DE//BC推出∠EGC=∠BCF，结合已知∠EGC=∠AEM，可得同位角∠AEM=∠ECF，即可证得EM//CF。
（2）先根据角平分线定义求出∠BCF的度数，再由MN⊥BC得△CNG为直角三角形，利用直角三角形两锐角互余求出∠CGN的度数，最后结合EM//CF的性质，即可求出∠EMN的度数。
【解析】
（1）证明：
∵ CF平分∠ACB，
∴ ∠ECF = ∠BCF（角平分线定义）。
∵ DE//BC，
∴ ∠EGC = ∠BCF（两直线平行，内错角相等）。
又
∵ ∠EGC = ∠AEM，
∴ ∠AEM = ∠ECF。
∴ EM//CF（同位角相等，两直线平行）。
（2）解：
∵ CF平分∠ACB，∠ACB=64°，
∴ ∠BCF = $\frac{1}{2}$∠ACB = $\frac{1}{2}×64° = 32°$。
∵ MN⊥BC，
∴ ∠CNG = 90°（垂直的定义）。
在△CNG中，∠CGN + ∠BCF + ∠CNG = 180°，
∴ ∠CGN = 180° - 90° - 32° = 58°。
由（1）知EM//CF，
∴ ∠EMN = ∠CGN（两直线平行，同位角相等），
∴ ∠EMN = 58°。
【答案】
（1）证明成立；（2）$\boldsymbol{∠ EMN=58°}$
【知识点】
平行线的判定与性质，角平分线的定义，垂直的性质
【点评】
本题是基础几何综合题，主要考查平行线、角平分线、垂直等基础知识点的综合运用，解题的关键是准确梳理角之间的等量关系，灵活运用平行线的判定和性质定理进行推导。
【难度系数】
0.65

20. 阅读下列材料：
小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：解方程组
$\{\begin{aligned}\frac{2x + 3y}{4} + \frac{2x - 3y}{3} &= 7, \\\frac{2x + 3y}{3} + \frac{2x - 3y}{2} &= 8.\end{aligned} $
小明发现，如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错.如果把方程组中的$(2x + 3y)$看成一个整体，把$(2x - 3y)$看成一个整体，通过换元，可以解决问题.以下是他的解题过程：令$m = 2x + 3y$，$n = 2x - 3y$.原方程组化为
$\{\begin{aligned}\frac{m}{4} + \frac{n}{3} &= 7, \\\frac{m}{3} + \frac{n}{2} &= 8,\end{aligned} $
解得$\{\begin{aligned}m &= 60, \\n &= -24,\end{aligned} $把$\{\begin{aligned}m &= 60, \\n &= -24\end{aligned} $代入$m = 2x + 3y$，$n = 2x - 3y$，得$\{\begin{aligned}2x + 3y &= 60, \\2x - 3y &= -24,\end{aligned} $解得$\{\begin{aligned}x &= 9, \\y &= 14,\end{aligned} $∴原方程组的解为
$\{\begin{aligned}x &= 9, \\y &= 14.\end{aligned} $
(1) 学以致用：运用上述方法解方程组
$\{\begin{aligned}2(x + 1) + 3(y - 2) &= 1, \\(x + 1) - 2(y - 2) &= 4;\end{aligned} $
(2) 拓展提升：已知关于$x$，$y$的方程组$\{\begin{aligned}a_1x + b_1y &= c_1, \\a_2x + b_2y &= c_2\end{aligned} $的解为$\{\begin{aligned}x &= 3, \\y &= 4,\end{aligned} $请直接写出关于$m$，$n$的方程组$\{\begin{aligned}a_1(m + 2) - b_1n &= c_1, \\a_2(m + 2) - b_2n &= c_2\end{aligned} $的解。

20. (1)$\begin{cases} x = 1, \\ y = 1 \end{cases}.$
(2)$\begin{cases} m = 1, \\ n = -4 \end{cases}.$

【分析】
本题考查整体换元思想在二元一次方程组求解中的应用。(1)问观察方程组结构，发现两个方程中都含有$(x+1)$和$(y-2)$，可将这两个式子分别设为新的未知数，将原方程组转化为更简单的二元一次方程组求解，最后再还原求$x$、$y$；(2)问对比已知解的方程组和待求方程组的结构，将$(m+2)$和$(-n)$分别对应原方程组的$x$、$y$，直接利用已知解建立等式求解即可。
【解析】
(1) 令$u = x+1$，$v = y-2$，原方程组可化为：
$\begin{cases}2u + 3v = 1 \quad① \\ u - 2v = 4 \quad② \end{cases}$
由②得：$u = 4 + 2v \quad③$
把③代入①得：$2(4+2v) + 3v = 1$
展开计算：$8 + 4v + 3v = 1$，即$7v = -7$，解得$v = -1$
把$v=-1$代入③得：$u = 4 + 2×(-1) = 2$
所以可得$\begin{cases}x+1 = 2 \\ y-2 = -1 \end{cases}$，解得$\begin{cases}x=1 \\ y=1 \end{cases}$
(2) 已知方程组$\begin{cases}a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases}$的解为$\begin{cases}x=3 \\ y=4 \end{cases}$
对比待求方程组$\begin{cases}a_1(m+2) - b_1n = c_1 \\ a_2(m+2) - b_2n = c_2 \end{cases}$，可变形为$\begin{cases}a_1(m+2) + b_1(-n) = c_1 \\ a_2(m+2) + b_2(-n) = c_2 \end{cases}$
将$(m+2)$看作原方程组的$x$，$(-n)$看作原方程组的$y$，可得：
$\begin{cases}m+2 = 3 \\ -n = 4 \end{cases}$，解得$\begin{cases}m=1 \\ n=-4 \end{cases}$
【答案】
(1)$\begin{cases} x=1 \\ y=1 \end{cases}$
(2)$\begin{cases} m=1 \\ n=-4 \end{cases}$
【知识点】
换元法解方程组，整体代换思想，二元一次方程组的解
【点评】
本题通过整体换元简化了方程组的求解过程，降低了运算量，避免直接展开计算容易出错的问题；第二问需要准确找到两个方程组中未知数的对应关系，侧重对类比推理和整体思想的考查，掌握换元技巧即可快速解题。
【难度系数】
0.7