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21.（环保理念）为了建设美好家园，提高垃圾分类意识，某社区决定购买A、B两种型号的新型垃圾桶. 现有如下材料：
材料一：已知购买3个A型号的新型垃圾桶和购买2个B型号的新型垃圾桶共380元；购买5个A型号的新型垃圾桶和购买4个B型号的新型垃圾桶共700元.
材料二：据统计该社区需购买A、B两种型号的新型垃圾桶共200个，但总费用不超过15 300元，且B型号的新型垃圾桶数量不少于A型号的新型垃圾桶数量的$\frac{2}{3}$.
请根据以上材料，完成下列任务：
任务一：求A、B两种型号的新型垃圾桶的单价；
任务二：有哪几种购买方案？
任务三：哪种方案更省钱，最低购买费用是多少元？
材料一：已知购买3个A型号的新型垃圾桶和购买2个B型号的新型垃圾桶共380元；购买5个A型号的新型垃圾桶和购买4个B型号的新型垃圾桶共700元.
材料二：据统计该社区需购买A、B两种型号的新型垃圾桶共200个，但总费用不超过15 300元，且B型号的新型垃圾桶数量不少于A型号的新型垃圾桶数量的$\frac{2}{3}$.
请根据以上材料，完成下列任务：
任务一：求A、B两种型号的新型垃圾桶的单价；
任务二：有哪几种购买方案？
任务三：哪种方案更省钱，最低购买费用是多少元？
答案
21. 解：任务一：设A型号的新型垃圾桶的单价是x元，B型号的新型垃圾桶的单价是y元，
根据题意得$\begin{cases}3x + 2y = 380, \\5x + 4y = 700,\end{cases}$
解得$\begin{cases}x = 60, \\y = 100.\end{cases}$
答：A型号的新型垃圾桶的单价是60元，B型号的新型垃圾桶的单价是100元.
任务二：设购买m个A型号的新型垃圾桶，则购买$(200 - m)$个B型号的新型垃圾桶，根据题意得：
$\begin{cases}60m + 100(200 - m) ≤ 15300, \\200 - m ≥ \frac{2}{3}m.\end{cases}$
解得$\frac{235}{2} ≤ m ≤ 120,$
又$\because m$为正整数，
$\therefore m$可以为118，119，120，
$\therefore$共3种购买方案，
方案1：购买118个A型号的新型垃圾桶，82个B型号的新型垃圾桶；
方案2：购买119个A型号的新型垃圾桶，81个B型号的新型垃圾桶；
方案3：购买120个A型号的新型垃圾桶，80个B型号的新型垃圾桶.
任务三：选择方案1所需费用为$60 × 118 + 100 × 82 = 15280$(元)；
选择方案2所需费用为$60 × 119 + 100 × 81 = 15240$(元)；
选择方案3所需费用为$60 × 120 + 100 × 80 = 15200$(元)，
$\because 15280 ＞ 15240 ＞ 15200$,
$\therefore$方案3更省钱，最低购买费用是15200元.
根据题意得$\begin{cases}3x + 2y = 380, \\5x + 4y = 700,\end{cases}$
解得$\begin{cases}x = 60, \\y = 100.\end{cases}$
答：A型号的新型垃圾桶的单价是60元，B型号的新型垃圾桶的单价是100元.
任务二：设购买m个A型号的新型垃圾桶，则购买$(200 - m)$个B型号的新型垃圾桶，根据题意得：
$\begin{cases}60m + 100(200 - m) ≤ 15300, \\200 - m ≥ \frac{2}{3}m.\end{cases}$
解得$\frac{235}{2} ≤ m ≤ 120,$
又$\because m$为正整数，
$\therefore m$可以为118，119，120，
$\therefore$共3种购买方案，
方案1：购买118个A型号的新型垃圾桶，82个B型号的新型垃圾桶；
方案2：购买119个A型号的新型垃圾桶，81个B型号的新型垃圾桶；
方案3：购买120个A型号的新型垃圾桶，80个B型号的新型垃圾桶.
任务三：选择方案1所需费用为$60 × 118 + 100 × 82 = 15280$(元)；
选择方案2所需费用为$60 × 119 + 100 × 81 = 15240$(元)；
选择方案3所需费用为$60 × 120 + 100 × 80 = 15200$(元)，
$\because 15280 ＞ 15240 ＞ 15200$,
$\therefore$方案3更省钱，最低购买费用是15200元.
解析
【分析】
1. 任务一解题思路：已知两种不同购买组合的总费用，可分别设A、B型号垃圾桶的单价为未知数，根据题干给出的两个费用等量关系列二元一次方程组，求解即可得到两种垃圾桶的单价。
2. 任务二解题思路：已知购买总数量，同时有总费用上限、B型号数量下限两个限制条件，设购买A型号垃圾桶数量为m，则B型号数量为(200-m)，将两个限制条件转化为一元一次不等式，组成不等式组求解得到m的取值范围，结合m为正整数的实际要求，得到所有符合条件的购买方案。
3. 任务三解题思路：由于A型号垃圾桶单价更低，总数量固定时，A型号购买数量越多总费用越低，也可分别计算每种方案的总费用，比较大小后得到最省钱的方案和最低费用。
【解析】
任务一：
设A型号的新型垃圾桶的单价是x元，B型号的新型垃圾桶的单价是y元，
根据题意列方程组：
$\begin{cases}3x + 2y = 380 \\5x + 4y = 700\end{cases}$
将第一个方程两边同乘2得$6x+4y=760$，再减去第二个方程：
$6x+4y-(5x+4y)=760-700$，解得$x=60$
把$x=60$代入$3x + 2y = 380$，得$3×60+2y=380$，解得$y=100$
任务二：
设购买m个A型号的新型垃圾桶，则购买$(200 - m)$个B型号的新型垃圾桶，根据题意列不等式组：
$\begin{cases}60m + 100(200 - m) ≤ 15300 \\200 - m ≥ \frac{2}{3}m\end{cases}$
解第一个不等式：
$60m + 20000 - 100m ≤ 15300$
$-40m ≤ -4700$
$m ≥ 117.5$
解第二个不等式：
$200 ≥ \frac{5}{3}m$
$m ≤ 120$
所以不等式组的解集为$117.5 ≤ m ≤ 120$
$\because m$为正整数，$\therefore m$可取118，119，120，对应3种购买方案：
方案1：购买118个A型号垃圾桶，82个B型号垃圾桶；
方案2：购买119个A型号垃圾桶，81个B型号垃圾桶；
方案3：购买120个A型号垃圾桶，80个B型号垃圾桶。
任务三：
分别计算三种方案的总费用：
方案1费用：$60 × 118 + 100 × 82 = 7080 + 8200 = 15280$(元)
方案2费用：$60 × 119 + 100 × 81 = 7140 + 8100 = 15240$(元)
方案3费用：$60 × 120 + 100 × 80 = 7200 + 8000 = 15200$(元)
$\because 15280 ＞ 15240 ＞ 15200$，所以方案3费用最低。
【答案】
任务一：A型号垃圾桶单价60元，B型号垃圾桶单价100元；
任务二：共有3种购买方案，分别为①购买118个A型号、82个B型号；②购买119个A型号、81个B型号；③购买120个A型号、80个B型号；
任务三：购买120个A型号、80个B型号的方案最省钱，最低费用为15200元。
【知识点】
二元一次方程组应用，一元一次不等式组应用，方案优化问题
【点评】
本题结合垃圾分类的生活热点情境，考查方程与不等式的综合实际应用，解题的核心是准确提炼题干中的等量关系和不等关系建立数学模型，同时要注意结合实际意义确定未知数的整数解，这类题目能够很好地锻炼学生的数学应用能力和逻辑思维能力。
【难度系数】
0.7
1. 任务一解题思路：已知两种不同购买组合的总费用，可分别设A、B型号垃圾桶的单价为未知数，根据题干给出的两个费用等量关系列二元一次方程组，求解即可得到两种垃圾桶的单价。
2. 任务二解题思路：已知购买总数量，同时有总费用上限、B型号数量下限两个限制条件，设购买A型号垃圾桶数量为m，则B型号数量为(200-m)，将两个限制条件转化为一元一次不等式，组成不等式组求解得到m的取值范围，结合m为正整数的实际要求，得到所有符合条件的购买方案。
3. 任务三解题思路：由于A型号垃圾桶单价更低，总数量固定时，A型号购买数量越多总费用越低，也可分别计算每种方案的总费用，比较大小后得到最省钱的方案和最低费用。
【解析】
任务一：
设A型号的新型垃圾桶的单价是x元，B型号的新型垃圾桶的单价是y元，
根据题意列方程组：
$\begin{cases}3x + 2y = 380 \\5x + 4y = 700\end{cases}$
将第一个方程两边同乘2得$6x+4y=760$，再减去第二个方程：
$6x+4y-(5x+4y)=760-700$，解得$x=60$
把$x=60$代入$3x + 2y = 380$，得$3×60+2y=380$，解得$y=100$
任务二：
设购买m个A型号的新型垃圾桶，则购买$(200 - m)$个B型号的新型垃圾桶，根据题意列不等式组：
$\begin{cases}60m + 100(200 - m) ≤ 15300 \\200 - m ≥ \frac{2}{3}m\end{cases}$
解第一个不等式：
$60m + 20000 - 100m ≤ 15300$
$-40m ≤ -4700$
$m ≥ 117.5$
解第二个不等式：
$200 ≥ \frac{5}{3}m$
$m ≤ 120$
所以不等式组的解集为$117.5 ≤ m ≤ 120$
$\because m$为正整数，$\therefore m$可取118，119，120，对应3种购买方案：
方案1：购买118个A型号垃圾桶，82个B型号垃圾桶；
方案2：购买119个A型号垃圾桶，81个B型号垃圾桶；
方案3：购买120个A型号垃圾桶，80个B型号垃圾桶。
任务三：
分别计算三种方案的总费用：
方案1费用：$60 × 118 + 100 × 82 = 7080 + 8200 = 15280$(元)
方案2费用：$60 × 119 + 100 × 81 = 7140 + 8100 = 15240$(元)
方案3费用：$60 × 120 + 100 × 80 = 7200 + 8000 = 15200$(元)
$\because 15280 ＞ 15240 ＞ 15200$，所以方案3费用最低。
【答案】
任务一：A型号垃圾桶单价60元，B型号垃圾桶单价100元；
任务二：共有3种购买方案，分别为①购买118个A型号、82个B型号；②购买119个A型号、81个B型号；③购买120个A型号、80个B型号；
任务三：购买120个A型号、80个B型号的方案最省钱，最低费用为15200元。
【知识点】
二元一次方程组应用，一元一次不等式组应用，方案优化问题
【点评】
本题结合垃圾分类的生活热点情境，考查方程与不等式的综合实际应用，解题的核心是准确提炼题干中的等量关系和不等关系建立数学模型，同时要注意结合实际意义确定未知数的整数解，这类题目能够很好地锻炼学生的数学应用能力和逻辑思维能力。
【难度系数】
0.7
