14.（代数推理）生活常识告诉我们：糖水里再添加糖，在糖完全溶解的情况下，糖水会变得更甜.我们把糖的质量与糖水质量的比值称之为甜度，甜度越大糖水越甜.小观现在有一杯质量为100 g的糖水，其中含有a g糖(0＜a＜100).他尝了一下感觉不够甜，又向其中添加了10 g糖，并搅拌至完全溶解.
(1)原来糖水的甜度为，加糖后糖水的甜度为.
(2)根据加糖前后糖水的甜度，请你利用不等式的基本性质证明加糖后糖水确实变甜了.
(3)要使糖水口感好，又比较健康，甜度应不低于10%，又不超过15%.如果上述操作后糖水甜度符合要求，那么a应该在什么范围？

14.解:(1) $\dfrac{a}{100}$ $\dfrac{a+10}{110}$
(2)加糖前糖水的甜度为 $\dfrac{a}{100}$,加糖后糖水的甜度为 $\dfrac{a+10}{110}$,
$\dfrac{a+10}{110}-\dfrac{a}{100}=\dfrac{10a+100}{1\ 100}-\dfrac{11a}{1\ 100}=\dfrac{10a+100-11a}{1\ 100}=\dfrac{100-a}{1\ 100}$,
∵$0＜a＜100$,
∴$100-a＞0$.
∴$\dfrac{a+10}{110}-\dfrac{a}{100}＞0$,即 $\dfrac{a+10}{110}＞\dfrac{a}{100}$.
∴加糖后糖水确实变甜了.
(3)根据题意,得 $\begin{cases} \dfrac{a+10}{110}≥10\%, \\ \dfrac{a+10}{110}≤15\%, \end{cases}$ 解得 $1≤ a≤6.5$.
∴$a$ 的取值范围为 $1≤ a≤6.5$.

【分析】
(1) 先明确甜度的定义为“糖的质量÷糖水的质量”，原来糖水总质量100g、含糖a g，直接代入定义即可求出原来的甜度；添加10g糖后，糖的总质量变为(a+10)g，糖水总质量变为100+10=110g，再次代入定义就能得到加糖后的甜度。
(2) 要证明加糖后更甜，本质是证明加糖后的甜度大于加糖前的甜度，可采用作差法比较两个代数式的大小：计算两个甜度的差值，结合已知条件0＜a＜100判断差值的正负，若差值为正，说明被减数（加糖后的甜度）更大，即可完成证明。
(3) “甜度不低于10%”即加糖后的甜度≥10%，“甜度不超过15%”即加糖后的甜度≤15%，根据这两个不等关系列出一元一次不等式组，按照不等式的基本性质求解，就能得到a的取值范围。
【解析】
(1) 根据甜度的定义，原来糖水的甜度为糖的质量除以糖水质量，即$\dfrac{a}{100}$；添加10g糖后，糖的质量为$(a+10)\mathrm{g}$，糖水总质量为$100+10=110\mathrm{g}$，因此加糖后的甜度为$\dfrac{a+10}{110}$。
(2) 证明：
加糖前甜度为$\dfrac{a}{100}$，加糖后甜度为$\dfrac{a+10}{110}$，对两个式子作差可得：
$\dfrac{a+10}{110}-\dfrac{a}{100}=\dfrac{10(a+10)}{1100}-\dfrac{11a}{1100}=\dfrac{10a+100-11a}{1100}=\dfrac{100-a}{1100}$
已知$0＜a＜100$，因此$100-a＞0$，可得$\dfrac{100-a}{1100}＞0$，即$\dfrac{a+10}{110}-\dfrac{a}{100}＞0$，因此$\dfrac{a+10}{110}＞\dfrac{a}{100}$，可证加糖后糖水确实变甜了。
(3) 根据题意，加糖后的甜度满足以下不等关系：
$\begin{cases} \dfrac{a+10}{110}≥10\% \\ \dfrac{a+10}{110}≤15\% \end{cases}$
解第一个不等式：两边同时乘110得$a+10≥11$，移项得$a≥1$；
解第二个不等式：两边同时乘110得$a+10≤16.5$，移项得$a≤6.5$；
因此$a$的取值范围为$1≤a≤6.5$。
【答案】
(1) $\dfrac{a}{100}$；$\dfrac{a+10}{110}$
(2) 证明见解析
(3) $1≤a≤6.5$
【知识点】
列代数式；不等式的性质；一元一次不等式组的应用
【点评】
本题结合生活常识设置问题，体现了数学和实际生活的紧密联系，解题核心是准确理解“甜度”的定义，熟练掌握作差法比较代数式大小的方法，以及一元一次不等式组的求解步骤。
【难度系数】
0.7