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11. 如图,一个容量为$400\ \mathrm{cm}^3$的水缸中装有$200\ \mathrm{cm}^3$的水,先将6颗相同的小玻璃球放入这个水缸中后,总体积变为$320\ \mathrm{cm}^3$,接着依次放入4个相同的小铁块,在放入第4个后,发现有水溢出.若每个小玻璃球的体积是$a\ \mathrm{cm}^3$,每个小铁块的体积是$b\ \mathrm{cm}^3$,则（
A.$320+4b＜400$
B.$a+b＜40$
C.水缸中仅放入6个小铁块,水一定会溢出
D.水缸中仅放入8个小玻璃球,水一定不会溢出
D
）A.$320+4b＜400$
B.$a+b＜40$
C.水缸中仅放入6个小铁块,水一定会溢出
D.水缸中仅放入8个小玻璃球,水一定不会溢出
答案
11.D
解析
【分析】
解题时首先根据放入玻璃球前后的体积差计算出单颗小玻璃球的体积a；再根据“放入第4个小铁块后有水溢出”的条件，推导得出单个小铁块体积b的取值范围；最后将a、b的取值/范围代入各个选项逐一验证正误，即可选出正确答案。
【解析】
1. 计算小玻璃球的体积a：
放入6颗玻璃球后体积从200 $\mathrm{cm}^3$变为320 $\mathrm{cm}^3$，因此6颗玻璃球总体积为$320-200=120\ \mathrm{cm}^3$，则单颗玻璃球体积$a=120÷6=20\ \mathrm{cm}^3$。
2. 推导小铁块体积b的取值范围：
放入3个铁块时还未溢出，放入第4个后溢出，水缸总容量为400 $\mathrm{cm}^3$，因此可得不等式组：
$\begin{cases}320+3b≤400\\320+4b＞400\end{cases}$
解第一个不等式：$3b≤80$，得$b≤\dfrac{80}{3}\approx26.67$；
解第二个不等式：$4b＞80$，得$b＞20$；
因此b的取值范围为$20＜ b≤\dfrac{80}{3}$。
3. 逐一验证选项：
A选项：由$320+4b＞400$，可知A错误；
B选项：$a=20$，$b＞20$，因此$a+b＞40$，B错误；
C选项：放入6个小铁块的总体积为$200+6b$，当$b≤\dfrac{80}{3}$时，$6b≤160$，$200+160=360≤400$，此时不会溢出，C错误；
D选项：放入8个玻璃球的总体积为$200+8×20=360＜400$，因此一定不会溢出，D正确。
【答案】
D
【知识点】
不等式的实际应用；体积计算
【点评】
本题结合排水现象考察不等式的实际应用，解题核心是根据“放入第4个铁块后溢水”的条件准确推导铁块体积的取值范围，再代入选项验证即可，解题时注意区分“是否溢出”对应的不等号方向。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据放入玻璃球前后的体积差计算出单颗小玻璃球的体积a；再根据“放入第4个小铁块后有水溢出”的条件，推导得出单个小铁块体积b的取值范围；最后将a、b的取值/范围代入各个选项逐一验证正误，即可选出正确答案。
【解析】
1. 计算小玻璃球的体积a：
放入6颗玻璃球后体积从200 $\mathrm{cm}^3$变为320 $\mathrm{cm}^3$，因此6颗玻璃球总体积为$320-200=120\ \mathrm{cm}^3$，则单颗玻璃球体积$a=120÷6=20\ \mathrm{cm}^3$。
2. 推导小铁块体积b的取值范围：
放入3个铁块时还未溢出，放入第4个后溢出，水缸总容量为400 $\mathrm{cm}^3$，因此可得不等式组：
$\begin{cases}320+3b≤400\\320+4b＞400\end{cases}$
解第一个不等式：$3b≤80$，得$b≤\dfrac{80}{3}\approx26.67$；
解第二个不等式：$4b＞80$，得$b＞20$；
因此b的取值范围为$20＜ b≤\dfrac{80}{3}$。
3. 逐一验证选项：
A选项：由$320+4b＞400$，可知A错误；
B选项：$a=20$，$b＞20$，因此$a+b＞40$，B错误；
C选项：放入6个小铁块的总体积为$200+6b$，当$b≤\dfrac{80}{3}$时，$6b≤160$，$200+160=360≤400$，此时不会溢出，C错误；
D选项：放入8个玻璃球的总体积为$200+8×20=360＜400$，因此一定不会溢出，D正确。
【答案】
D
【知识点】
不等式的实际应用；体积计算
【点评】
本题结合排水现象考察不等式的实际应用，解题核心是根据“放入第4个铁块后溢水”的条件准确推导铁块体积的取值范围，再代入选项验证即可，解题时注意区分“是否溢出”对应的不等号方向。
【难度系数】
0.7
12.“绿波”是车辆到达前方各路口时，均遇上绿灯，提高通行效率.小亮爸爸行驶在最高限速为 80 km/h 的路段上，某时刻的导航界面如图所示，前方第一个路口显示绿灯倒计时 30 s，第二个路口显示红灯倒计时 40 s，此时车辆分别距离两个路口 480 m 和 880 m.已知第一个路口红、绿灯设定时间分别是 30 s,50 s，第二个路口红、绿灯设定时间分别是 45 s,60 s.若不考虑其他因素，小亮爸爸以不低于 40 km/h 的车速全程匀速“绿波”通过这两个路口，则车速 $ v $ (km/h)的取值范围是
$57.6≤ v≤79.2$
(提示：$ 1\ \mathrm{km/h}=\frac{1}{3.6}\ \mathrm{m/s} $).答案
12.$57.6≤ v≤79.2$
解析
【分析】
要实现“绿波”通行，需同时满足3个要求：①车辆到达第一个路口时处于该路口绿灯时段；②车辆到达第二个路口时处于该路口绿灯时段；③车速在最低限速40km/h到最高限速80km/h之间。首先明确两个路口从当前时刻开始的绿灯时间范围，再根据“时间=路程÷速度”，结合单位换算规则列不等式求解，舍去不符合车速要求的区间即可得到速度范围。
【解析】
首先明确单位换算关系：速度$v$（单位：km/h）换算为m/s为$\frac{v}{3.6}$ m/s，行驶$s$（单位：m）路程的时间$t$（单位：s）为$t=\frac{s}{\frac{v}{3.6}}=\frac{3.6s}{v}$。
先梳理两个路口的时间区间（从当前时刻开始计时，单位：s）：
1. 第一个路口：0~30s为绿灯，30~60s为红灯，60~110s为下一轮绿灯；
2. 第二个路口：0~40s为红灯，40~100s为绿灯。
要满足绿波通行要求：
第一步：先根据第二个路口的绿灯要求列不等式
到达第二个路口的时间$t_2=\frac{3.6×880}{v}=\frac{3168}{v}$，需落在40~100s区间：
$40＜\frac{3168}{v}≤100$
因为车速$v$为正数，不等号方向变换后：
左边：$v＜\frac{3168}{40}=79.2\ \mathrm{km/h}$，小于最高限速80km/h，符合要求；
右边：$v≥\frac{3168}{100}=31.68\ \mathrm{km/h}$，结合最低限速40km/h，暂得$40≤ v＜79.2$。
第二步：再根据第一个路口的绿灯要求列不等式
到达第一个路口的时间$t_1=\frac{3.6×480}{v}=\frac{1728}{v}$，需落在绿灯区间：
若落在0~30s的绿灯区间：$\frac{1728}{v}≤30$，解得$v≥\frac{1728}{30}=57.6\ \mathrm{km/h}$，此时$t_2=\frac{3168}{v}≤55\mathrm{s}$，刚好落在第二个路口的绿灯区间，符合要求。
若落在60~110s的下一轮绿灯区间：$60＜\frac{1728}{v}≤110$，解得$v＜28.8\ \mathrm{km/h}$，低于最低限速40km/h，舍去该情况。
综合所有条件，车速$v$的取值范围是$57.6≤ v≤79.2$。
【答案】
$57.6≤ v≤79.2$
【知识点】
一元一次不等式应用，行程问题，单位换算
【点评】
本题结合生活中的导航绿波场景命题，考查行程公式的应用和不等式的求解，解题核心是准确梳理两个路口的绿灯时间范围，注意单位换算的准确性，同时要结合实际限速要求排除无效解。
【难度系数】
0.65
要实现“绿波”通行，需同时满足3个要求：①车辆到达第一个路口时处于该路口绿灯时段；②车辆到达第二个路口时处于该路口绿灯时段；③车速在最低限速40km/h到最高限速80km/h之间。首先明确两个路口从当前时刻开始的绿灯时间范围，再根据“时间=路程÷速度”，结合单位换算规则列不等式求解，舍去不符合车速要求的区间即可得到速度范围。
【解析】
首先明确单位换算关系：速度$v$（单位：km/h）换算为m/s为$\frac{v}{3.6}$ m/s，行驶$s$（单位：m）路程的时间$t$（单位：s）为$t=\frac{s}{\frac{v}{3.6}}=\frac{3.6s}{v}$。
先梳理两个路口的时间区间（从当前时刻开始计时，单位：s）：
1. 第一个路口：0~30s为绿灯，30~60s为红灯，60~110s为下一轮绿灯；
2. 第二个路口：0~40s为红灯，40~100s为绿灯。
要满足绿波通行要求：
第一步：先根据第二个路口的绿灯要求列不等式
到达第二个路口的时间$t_2=\frac{3.6×880}{v}=\frac{3168}{v}$，需落在40~100s区间：
$40＜\frac{3168}{v}≤100$
因为车速$v$为正数，不等号方向变换后：
左边：$v＜\frac{3168}{40}=79.2\ \mathrm{km/h}$，小于最高限速80km/h，符合要求；
右边：$v≥\frac{3168}{100}=31.68\ \mathrm{km/h}$，结合最低限速40km/h，暂得$40≤ v＜79.2$。
第二步：再根据第一个路口的绿灯要求列不等式
到达第一个路口的时间$t_1=\frac{3.6×480}{v}=\frac{1728}{v}$，需落在绿灯区间：
若落在0~30s的绿灯区间：$\frac{1728}{v}≤30$，解得$v≥\frac{1728}{30}=57.6\ \mathrm{km/h}$，此时$t_2=\frac{3168}{v}≤55\mathrm{s}$，刚好落在第二个路口的绿灯区间，符合要求。
若落在60~110s的下一轮绿灯区间：$60＜\frac{1728}{v}≤110$，解得$v＜28.8\ \mathrm{km/h}$，低于最低限速40km/h，舍去该情况。
综合所有条件，车速$v$的取值范围是$57.6≤ v≤79.2$。
【答案】
$57.6≤ v≤79.2$
【知识点】
一元一次不等式应用，行程问题，单位换算
【点评】
本题结合生活中的导航绿波场景命题，考查行程公式的应用和不等式的求解，解题核心是准确梳理两个路口的绿灯时间范围，注意单位换算的准确性，同时要结合实际限速要求排除无效解。
【难度系数】
0.65
13.某电器超市销售每台进价分别为160元、120元的A,B两种型号的电风扇,下表是近两周的销售情况:
(进价、售价均保持不变,利润=销售收入-进货成本)
(1)求A,B两种型号的电风扇的销售单价.
(2)若超市准备用不多于7 500元的金额再采购这两种型号的电风扇共50台,求A种型号的电风扇最多能采购多少台(两种型号电风扇进价保持不变).
(3)在(2)的条件下,超市销售完这50台电风扇后能否实现利润超过1 850元的目标?若能,请给出相应的采购方案;若不能,请说明理由.
(进价、售价均保持不变,利润=销售收入-进货成本)
(1)求A,B两种型号的电风扇的销售单价.
(2)若超市准备用不多于7 500元的金额再采购这两种型号的电风扇共50台,求A种型号的电风扇最多能采购多少台(两种型号电风扇进价保持不变).
(3)在(2)的条件下,超市销售完这50台电风扇后能否实现利润超过1 850元的目标?若能,请给出相应的采购方案;若不能,请说明理由.
答案
13.解:(1)设 A,B 两种型号电风扇的销售单价分别为 $x$ 元、$y$ 元,
依题意,得 $\begin{cases} 3x+4y=1\ 200, \\ 5x+6y=1\ 900, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} x=200, \\ y=150. \end{cases}$
答:A,B 两种型号电风扇的销售单价分别为 200 元、150 元.
(2)设采购 A 种型号电风扇 $a$ 台,则采购 B 种型号电风扇 $(50-a)$台.
依题意,得 $160a+120(50-a)≤7\ 500$,解得 $a≤37\ \dfrac{1}{2}$.
∵$a$ 是整数,
∴$a$ 最大是 37.
答:超市最多采购 A 种型号电风扇 37 台时,采购金额不多于 7 500 元.
(3)根据题意,得 $(200-160)a+(150-120)(50-a)＞1\ 850$,解得 $a＞35$.
∵$a≤37\ \dfrac{1}{2}$,且 $a$ 应为整数,
∴在(2)的条件下超市能实现利润超过 1 850 元的目标.
相应方案有两种:
当 $a=36$ 时,采购 A 种型号的电风扇 36 台,B 种型号的电风扇 14 台;
当 $a=37$ 时,采购 A 种型号的电风扇 37 台,B 种型号的电风扇 13 台.
依题意,得 $\begin{cases} 3x+4y=1\ 200, \\ 5x+6y=1\ 900, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} x=200, \\ y=150. \end{cases}$
答:A,B 两种型号电风扇的销售单价分别为 200 元、150 元.
(2)设采购 A 种型号电风扇 $a$ 台,则采购 B 种型号电风扇 $(50-a)$台.
依题意,得 $160a+120(50-a)≤7\ 500$,解得 $a≤37\ \dfrac{1}{2}$.
∵$a$ 是整数,
∴$a$ 最大是 37.
答:超市最多采购 A 种型号电风扇 37 台时,采购金额不多于 7 500 元.
(3)根据题意,得 $(200-160)a+(150-120)(50-a)＞1\ 850$,解得 $a＞35$.
∵$a≤37\ \dfrac{1}{2}$,且 $a$ 应为整数,
∴在(2)的条件下超市能实现利润超过 1 850 元的目标.
相应方案有两种:
当 $a=36$ 时,采购 A 种型号的电风扇 36 台,B 种型号的电风扇 14 台;
当 $a=37$ 时,采购 A 种型号的电风扇 37 台,B 种型号的电风扇 13 台.
解析
【分析】
(1) 求A、B两种型号的销售单价时有两个未知量，可结合表格给出的两周销售收入找等量关系：第一周3台A的销售额+4台B的销售额=1200元，第二周5台A的销售额+6台B的销售额=1900元，设两个未知数列二元一次方程组即可求解。
(2) 求A种型号最多采购的数量时，已知采购总金额不超过7500元、总采购量为50台，设采购A种型号$a$台，则B种型号为$(50-a)$台，根据“总进货成本≤7500”列一元一次不等式，结合$a$为正整数的实际要求，取最大的符合条件的$a$值即可。
(3) 判断能否实现利润目标时，根据“总利润=单台利润×销售数量”列不等式，求出$a$的取值范围后，结合(2)中$a$的上限，判断是否存在符合条件的整数$a$，若存在则写出对应采购方案即可。
【解析】
(1) 设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为$x$元、$y$元，依题意得：
$\begin{cases} 3x+4y=1200 \\ 5x+6y=1900 \end{cases}$
将第一个方程乘3得$9x+12y=3600$，第二个方程乘2得$10x+12y=3800$，两式相减得$x=200$，把$x=200$代入$3x+4y=1200$，解得$y=150$。
(2) 设采购A种型号电风扇$a$台，则采购B种型号电风扇$(50-a)$台，依题意得：
$160a+120(50-a) ≤ 7500$
化简得$40a ≤ 1500$，解得$a ≤ 37\frac{1}{2}$。
因为$a$为正整数，所以$a$的最大值为37。
(3) 依题意，总利润需超过1850元，列不等式：
$(200-160)a+(150-120)(50-a) ＞ 1850$
化简得$10a ＞ 350$，解得$a ＞ 35$。
结合(2)的结论$a ≤ 37\frac{1}{2}$，且$a$为正整数，所以$a$可取36、37，对应方案为：
① 当$a=36$时，采购A型号36台，B型号$50-36=14$台；
② 当$a=37$时，采购A型号37台，B型号$50-37=13$台。
【答案】
(1) A、B两种型号电风扇的销售单价分别为200元、150元；
(2) A种型号的电风扇最多能采购37台；
(3) 能实现利润超过1850元的目标，采购方案有两种：①采购A型号36台，B型号14台；②采购A型号37台，B型号13台。
【知识点】
二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，方案设计问题
【点评】
本题是贴近生活的实际应用类题型，需要从题干和表格中准确提取等量、不等关系，建立对应的方程组和不等式求解，解题时要注意实际问题中未知数的取值需符合现实要求（如台数为正整数），能有效考查信息提取能力和数学知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.65
(1) 求A、B两种型号的销售单价时有两个未知量，可结合表格给出的两周销售收入找等量关系：第一周3台A的销售额+4台B的销售额=1200元，第二周5台A的销售额+6台B的销售额=1900元，设两个未知数列二元一次方程组即可求解。
(2) 求A种型号最多采购的数量时，已知采购总金额不超过7500元、总采购量为50台，设采购A种型号$a$台，则B种型号为$(50-a)$台，根据“总进货成本≤7500”列一元一次不等式，结合$a$为正整数的实际要求，取最大的符合条件的$a$值即可。
(3) 判断能否实现利润目标时，根据“总利润=单台利润×销售数量”列不等式，求出$a$的取值范围后，结合(2)中$a$的上限，判断是否存在符合条件的整数$a$，若存在则写出对应采购方案即可。
【解析】
(1) 设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为$x$元、$y$元，依题意得：
$\begin{cases} 3x+4y=1200 \\ 5x+6y=1900 \end{cases}$
将第一个方程乘3得$9x+12y=3600$，第二个方程乘2得$10x+12y=3800$，两式相减得$x=200$，把$x=200$代入$3x+4y=1200$，解得$y=150$。
(2) 设采购A种型号电风扇$a$台，则采购B种型号电风扇$(50-a)$台，依题意得：
$160a+120(50-a) ≤ 7500$
化简得$40a ≤ 1500$，解得$a ≤ 37\frac{1}{2}$。
因为$a$为正整数，所以$a$的最大值为37。
(3) 依题意，总利润需超过1850元，列不等式：
$(200-160)a+(150-120)(50-a) ＞ 1850$
化简得$10a ＞ 350$，解得$a ＞ 35$。
结合(2)的结论$a ≤ 37\frac{1}{2}$，且$a$为正整数，所以$a$可取36、37，对应方案为：
① 当$a=36$时，采购A型号36台，B型号$50-36=14$台；
② 当$a=37$时，采购A型号37台，B型号$50-37=13$台。
【答案】
(1) A、B两种型号电风扇的销售单价分别为200元、150元；
(2) A种型号的电风扇最多能采购37台；
(3) 能实现利润超过1850元的目标，采购方案有两种：①采购A型号36台，B型号14台；②采购A型号37台，B型号13台。
【知识点】
二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，方案设计问题
【点评】
本题是贴近生活的实际应用类题型，需要从题干和表格中准确提取等量、不等关系，建立对应的方程组和不等式求解，解题时要注意实际问题中未知数的取值需符合现实要求（如台数为正整数），能有效考查信息提取能力和数学知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.65
