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一、选择题(每小题5分,共25分)
1.(2024·西丰县期中)下列方程的变形中,正确的是 （
A.由$-2x=7$,得$x=-\dfrac{2}{7}$
B.由$\dfrac{1}{3}x=0$,得$x=3$
C.由$7=-5-2x$,得$2x=5-7$
D.由$3=x-2$,得$x=3+2$
1.(2024·西丰县期中)下列方程的变形中,正确的是 （
D
）A.由$-2x=7$,得$x=-\dfrac{2}{7}$
B.由$\dfrac{1}{3}x=0$,得$x=3$
C.由$7=-5-2x$,得$2x=5-7$
D.由$3=x-2$,得$x=3+2$
答案
1.D
解析
【分析】这道题考查一元一次方程的变形，需依据等式的基本性质判断各选项的变形是否正确。等式的基本性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。我们逐个分析选项，找出正确的变形。
【解析】
选项A：由$-2x=7$，根据等式性质2，两边同时除以$-2$，得$x=\frac{7}{-2}=-\frac{7}{2}$，而非$x=-\frac{2}{7}$，变形错误；
选项B：由$\frac{1}{3}x=0$，根据等式性质2，两边同时乘$3$，得$x=0$，而非$x=3$，变形错误；
选项C：由$7=-5-2x$，根据等式性质1，两边同时加$5$，得$7+5=-2x$，即$12=-2x$，移项得$2x=-5-7$，而非$2x=5-7$，变形错误；
选项D：由$3=x-2$，根据等式性质1，两边同时加$2$，得$3+2=x$，即$x=3+2$，变形正确。
综上，正确选项为D。
【答案】D
【知识点】等式的基本性质、一元一次方程的变形
【点评】本题为一元一次方程变形的基础题，核心考查等式的基本性质，要求学生熟练掌握移项、系数化为1的规则，避免符号或计算错误，属于易得分题型。
【难度系数】0.7
【解析】
选项A：由$-2x=7$，根据等式性质2，两边同时除以$-2$，得$x=\frac{7}{-2}=-\frac{7}{2}$，而非$x=-\frac{2}{7}$，变形错误；
选项B：由$\frac{1}{3}x=0$，根据等式性质2，两边同时乘$3$，得$x=0$，而非$x=3$，变形错误；
选项C：由$7=-5-2x$，根据等式性质1，两边同时加$5$，得$7+5=-2x$，即$12=-2x$，移项得$2x=-5-7$，而非$2x=5-7$，变形错误；
选项D：由$3=x-2$，根据等式性质1，两边同时加$2$，得$3+2=x$，即$x=3+2$，变形正确。
综上，正确选项为D。
【答案】D
【知识点】等式的基本性质、一元一次方程的变形
【点评】本题为一元一次方程变形的基础题，核心考查等式的基本性质，要求学生熟练掌握移项、系数化为1的规则，避免符号或计算错误，属于易得分题型。
【难度系数】0.7
2. 已知方程$(m+1)x^{|m|}+3=0$是关于$x$的一元一次方程，则$m$的值是（
A.$\pm1$
B.$1$
C.$-1$
D.$0$或$1$
B
）A.$\pm1$
B.$1$
C.$-1$
D.$0$或$1$
答案
2.B
解析
【分析】要确定m的值，需依据一元一次方程的定义，明确该类方程需满足“未知数的次数为1”且“一次项系数不为0”这两个核心条件，据此列出关于m的方程和不等式，求解后筛选出符合要求的结果。
【解析】因为方程$(m+1)x^{|m|}+3=0$是关于x的一元一次方程，所以需同时满足：
1. 未知数x的次数为1，即$|m|=1$，解得$m=1$或$m=-1$；
2. 一次项系数不为0，即$m+1≠0$，解得$m≠-1$。
综合两个条件，m只能取1，对应选项B。
【答案】B
【知识点】一元一次方程的定义
【点评】本题考查一元一次方程的定义，解题关键是牢记“未知数次数为1且系数不为0”的要求，易忽略系数不为0的限制而错选A，需注意细节。
【难度系数】0.6
【解析】因为方程$(m+1)x^{|m|}+3=0$是关于x的一元一次方程，所以需同时满足：
1. 未知数x的次数为1，即$|m|=1$，解得$m=1$或$m=-1$；
2. 一次项系数不为0，即$m+1≠0$，解得$m≠-1$。
综合两个条件，m只能取1，对应选项B。
【答案】B
【知识点】一元一次方程的定义
【点评】本题考查一元一次方程的定义，解题关键是牢记“未知数次数为1且系数不为0”的要求，易忽略系数不为0的限制而错选A，需注意细节。
【难度系数】0.6
3. (2024·杭州月考)方程 $1-\dfrac{4-3x}{4}=\dfrac{5x+3}{6}-x$ 去分母后,正确的是（
A.$12-3(4-3x)=2(5x+3)-12x$
B.$12-3(4-3x)=(5x+3)-x$
C.$1-6(4-3x)=4(5x+3)-24x$
D.$1-(4-3x)=(5x+3)-x$
A
）A.$12-3(4-3x)=2(5x+3)-12x$
B.$12-3(4-3x)=(5x+3)-x$
C.$1-6(4-3x)=4(5x+3)-24x$
D.$1-(4-3x)=(5x+3)-x$
答案
3.A
解析
【分析】本题考查一元一次方程去分母的操作，解题思路是先确定分母4和6的最小公倍数为12，再将方程左右两边的每一项都乘以12，注意常数项、单独的未知数项都要乘，分子为多项式时需加括号，据此得到去分母后的式子，再匹配选项即可。
【解析】对于方程$1-\dfrac{4-3x}{4}=\dfrac{5x+3}{6}-x$，分母4和6的最小公倍数是12，给方程两边同时乘以12：
左边：$1×12 - \dfrac{4-3x}{4}×12 = 12 - 3(4-3x)$；
右边：$\dfrac{5x+3}{6}×12 - x×12 = 2(5x+3) -12x$；
因此去分母后得到$12-3(4-3x)=2(5x+3)-12x$，对应选项A。
【答案】A
【知识点】一元一次方程的去分母
【点评】本题是一元一次方程去分母的基础题，核心是掌握去分母时“不漏乘、分子加括号”的规则，易错点为漏乘常数项或单独的未知数项，难度较低。
【难度系数】0.8
【解析】对于方程$1-\dfrac{4-3x}{4}=\dfrac{5x+3}{6}-x$，分母4和6的最小公倍数是12，给方程两边同时乘以12：
左边：$1×12 - \dfrac{4-3x}{4}×12 = 12 - 3(4-3x)$；
右边：$\dfrac{5x+3}{6}×12 - x×12 = 2(5x+3) -12x$；
因此去分母后得到$12-3(4-3x)=2(5x+3)-12x$，对应选项A。
【答案】A
【知识点】一元一次方程的去分母
【点评】本题是一元一次方程去分母的基础题，核心是掌握去分母时“不漏乘、分子加括号”的规则，易错点为漏乘常数项或单独的未知数项，难度较低。
【难度系数】0.8
4. 某文具店一支铅笔的售价为 1.2 元,一支圆珠笔的售价为 2 元. 该店在“六一”儿童节举行文具优惠售卖活动,铅笔按原价打八折出售,圆珠笔按原价打九折出售,结果两种笔共卖出 60 支,销售额为 87 元. 若设铅笔卖出 $x$ 支,则依题意可列方程为（
A.$1.2 × 0.8x + 2 × 0.9(60 + x) = 87$
B.$2 × 0.9x + 1.2 × 0.8(60 + x) = 87$
C.$1.2 × 0.8x + 2 × 0.9(60 - x) = 87$
D.$2 × 0.9x + 1.2 × 0.8(60 - x) = 87$
C
）A.$1.2 × 0.8x + 2 × 0.9(60 + x) = 87$
B.$2 × 0.9x + 1.2 × 0.8(60 + x) = 87$
C.$1.2 × 0.8x + 2 × 0.9(60 - x) = 87$
D.$2 × 0.9x + 1.2 × 0.8(60 - x) = 87$
答案
4.C
解析
【分析】
要列方程，需先明确各量的关系：设铅笔卖出$x$支，两种笔共卖出60支，因此圆珠笔卖出的数量为总数量减去铅笔的数量，即$(60 - x)$支。再分别计算两种笔的销售额：铅笔原价1.2元，打八折后单价为$1.2×0.8$元，销售额为单价×数量，即$1.2×0.8x$；圆珠笔原价2元，打九折后单价为$2×0.9$元，销售额为$2×0.9(60 - x)$。总销售额为87元，据此可列出等量关系。
【解析】
解：设铅笔卖出$x$支，则圆珠笔卖出$(60 - x)$支。
铅笔的销售额：$1.2×0.8x$元；
圆珠笔的销售额：$2×0.9(60 - x)$元；
根据总销售额为87元，可列方程：$1.2×0.8x + 2×0.9(60 - x) = 87$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一元一次方程的应用、打折销售计算
【点评】
本题是一元一次方程应用的基础题型，核心是理清两种笔的数量关系及打折后销售额的计算，关键在于准确找出“总销售额=铅笔销售额+圆珠笔销售额”的等量关系，难度较低，适合巩固基础。
【难度系数】
0.7
要列方程，需先明确各量的关系：设铅笔卖出$x$支，两种笔共卖出60支，因此圆珠笔卖出的数量为总数量减去铅笔的数量，即$(60 - x)$支。再分别计算两种笔的销售额：铅笔原价1.2元，打八折后单价为$1.2×0.8$元，销售额为单价×数量，即$1.2×0.8x$；圆珠笔原价2元，打九折后单价为$2×0.9$元，销售额为$2×0.9(60 - x)$。总销售额为87元，据此可列出等量关系。
【解析】
解：设铅笔卖出$x$支，则圆珠笔卖出$(60 - x)$支。
铅笔的销售额：$1.2×0.8x$元；
圆珠笔的销售额：$2×0.9(60 - x)$元；
根据总销售额为87元，可列方程：$1.2×0.8x + 2×0.9(60 - x) = 87$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一元一次方程的应用、打折销售计算
【点评】
本题是一元一次方程应用的基础题型，核心是理清两种笔的数量关系及打折后销售额的计算，关键在于准确找出“总销售额=铅笔销售额+圆珠笔销售额”的等量关系，难度较低，适合巩固基础。
【难度系数】
0.7
5. A,B 两地相距 900 千米,甲、乙两车分别从 A,B 两地同时出发,相向而行. 已知甲车的速度为110 千米/时,乙车的速度为 90 千米/时,则当两车相距 100 千米时,甲车行驶的时间是（
A.4 小时
B.4.5 小时
C.5 小时
D.4 小时或 5 小时
D
）A.4 小时
B.4.5 小时
C.5 小时
D.4 小时或 5 小时
答案
5.D
解析
【分析】
首先明确两车相向而行，相距100千米存在两种情况：①两车未相遇时，共同行驶的路程为总距离减去100千米；②两车相遇后继续行驶，再次相距100千米时，共同行驶的路程为总距离加上100千米。需通过分类讨论，结合“时间=路程和÷速度和”计算甲车行驶时间，避免漏解。
【解析】
设甲车行驶的时间为$ t $小时，两车速度和为$ 110 + 90 = 200 $千米/时。
情况1：两车未相遇，相距100千米，此时两车行驶的总路程为$ 900 - 100 = 800 $千米，根据路程和=速度和×时间，可得：
$ 200t = 800 $，解得$ t = 4 $；
情况2：两车相遇后继续行驶，相距100千米，此时两车行驶的总路程为$ 900 + 100 = 1000 $千米，同理可得：
$ 200t = 1000 $，解得$ t = 5 $；
因此甲车行驶的时间为4小时或5小时，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一元一次方程应用、行程问题
【点评】
本题考查相向而行的行程问题，关键在于分类讨论两车相距100千米的两种情形，避免漏解，需掌握路程、速度、时间的关系。
【难度系数】
0.5
首先明确两车相向而行，相距100千米存在两种情况：①两车未相遇时，共同行驶的路程为总距离减去100千米；②两车相遇后继续行驶，再次相距100千米时，共同行驶的路程为总距离加上100千米。需通过分类讨论，结合“时间=路程和÷速度和”计算甲车行驶时间，避免漏解。
【解析】
设甲车行驶的时间为$ t $小时，两车速度和为$ 110 + 90 = 200 $千米/时。
情况1：两车未相遇，相距100千米，此时两车行驶的总路程为$ 900 - 100 = 800 $千米，根据路程和=速度和×时间，可得：
$ 200t = 800 $，解得$ t = 4 $；
情况2：两车相遇后继续行驶，相距100千米，此时两车行驶的总路程为$ 900 + 100 = 1000 $千米，同理可得：
$ 200t = 1000 $，解得$ t = 5 $；
因此甲车行驶的时间为4小时或5小时，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一元一次方程应用、行程问题
【点评】
本题考查相向而行的行程问题，关键在于分类讨论两车相距100千米的两种情形，避免漏解，需掌握路程、速度、时间的关系。
【难度系数】
0.5
6. 当 $m=$
14
时,方程 $2x+m=x+10$ 的解为 $x=-4$.答案
6.14
解析
【分析】要确定m的值，需利用方程解的定义：方程的解能使方程左右两边相等，因此将已知的解x=-4代入原方程，可得到只含m的一元一次方程，解这个方程就能求出m的值。
【解析】将x=-4代入方程2x+m=x+10，得：
2×(-4) + m = (-4) + 10
计算得：-8 + m = 6
移项求解：m = 6 + 8 = 14
【答案】14
【知识点】一元一次方程的解；解一元一次方程
【点评】本题考查一元一次方程解的基础应用，难度较低，只需掌握方程解的定义，代入后解简单的一元一次方程即可，属于基础题型。
【难度系数】0.9
【解析】将x=-4代入方程2x+m=x+10，得：
2×(-4) + m = (-4) + 10
计算得：-8 + m = 6
移项求解：m = 6 + 8 = 14
【答案】14
【知识点】一元一次方程的解；解一元一次方程
【点评】本题考查一元一次方程解的基础应用，难度较低，只需掌握方程解的定义，代入后解简单的一元一次方程即可，属于基础题型。
【难度系数】0.9
7. 在等式 $4 × □ - 2 × □ = 18$ 的两个方格内分别填入一个数,使这两个数互为相反数且等式成立,则第一个方格内的数是
3
.答案
7.3
解析
【分析】
要解决这道题，首先根据“两个数互为相反数”的条件设未知数，再将未知数代入等式，通过解一元一次方程求出第一个方格的数。
【解析】
设第一个方格内的数为$x$，因为两个数互为相反数，所以第二个方格内的数为$-x$。
将两个数代入等式得：
$4x - 2×(-x) = 18$
化简左边：$4x + 2x = 6x$
即$6x = 18$
解得：$x = 3$
【答案】
3
【知识点】
一元一次方程、相反数的应用
【点评】
本题结合相反数的概念考查一元一次方程的应用，关键是根据题意设未知数并代入等式，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先根据“两个数互为相反数”的条件设未知数，再将未知数代入等式，通过解一元一次方程求出第一个方格的数。
【解析】
设第一个方格内的数为$x$，因为两个数互为相反数，所以第二个方格内的数为$-x$。
将两个数代入等式得：
$4x - 2×(-x) = 18$
化简左边：$4x + 2x = 6x$
即$6x = 18$
解得：$x = 3$
【答案】
3
【知识点】
一元一次方程、相反数的应用
【点评】
本题结合相反数的概念考查一元一次方程的应用，关键是根据题意设未知数并代入等式，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】
0.8
8. 方程$\dfrac{x}{0.3}-\dfrac{x}{0.5}=1$可变形为$\dfrac{10x}{3}-\dfrac{10x}{5}=$
1
。答案
8.1
解析
【分析】
这道题考查分数的基本性质在方程变形中的应用。解题思路是：利用分数的基本性质，将原方程中分母为小数的分数转化为分母为整数的分数，分数大小不变，原方程右边的数值保持不变，即可得出结果。
【解析】
根据分数的基本性质，分数的分子和分母同时乘同一个不为0的数，分数大小不变。对原方程左边的分数变形：
$\dfrac{x}{0.3} = \dfrac{10× x}{10×0.3} = \dfrac{10x}{3}$，
$\dfrac{x}{0.5} = \dfrac{10× x}{10×0.5} = \dfrac{10x}{5}$，
原方程$\dfrac{x}{0.3}-\dfrac{x}{0.5}=1$变形后为$\dfrac{10x}{3}-\dfrac{10x}{5}=1$，因此横线处应填1。
【答案】
1
【知识点】
分数的基本性质；一元一次方程的变形
【点评】
本题是基础题型，考查分数基本性质的简单应用，是一元一次方程求解的基础步骤，难度较低，适合巩固代数基础。
【难度系数】
0.9
这道题考查分数的基本性质在方程变形中的应用。解题思路是：利用分数的基本性质，将原方程中分母为小数的分数转化为分母为整数的分数，分数大小不变，原方程右边的数值保持不变，即可得出结果。
【解析】
根据分数的基本性质，分数的分子和分母同时乘同一个不为0的数，分数大小不变。对原方程左边的分数变形：
$\dfrac{x}{0.3} = \dfrac{10× x}{10×0.3} = \dfrac{10x}{3}$，
$\dfrac{x}{0.5} = \dfrac{10× x}{10×0.5} = \dfrac{10x}{5}$，
原方程$\dfrac{x}{0.3}-\dfrac{x}{0.5}=1$变形后为$\dfrac{10x}{3}-\dfrac{10x}{5}=1$，因此横线处应填1。
【答案】
1
【知识点】
分数的基本性质；一元一次方程的变形
【点评】
本题是基础题型，考查分数基本性质的简单应用，是一元一次方程求解的基础步骤，难度较低，适合巩固代数基础。
【难度系数】
0.9
9.某商店因换季将某种服装打折销售，若每件服装按标价的6折出售将亏10元，若按标价的9折出售将赚20元，设每件服装的标价是$x$元，则可列方程为
$0.6x+10=0.9x-20$
.答案
9.$0.6x+10=0.9x-20$
解析
【分析】首先明确本题的核心等量关系是“服装的成本价固定不变”。设标价为$x$元，6折出售的售价为$0.6x$元，此时亏10元，说明成本价比6折售价多10元；9折出售的售价为$0.9x$元，此时赚20元，说明成本价比9折售价少20元。根据成本价相等，即可列出方程。
【解析】设每件服装的标价是$x$元。
1. 6折出售的售价为$0.6x$元，因亏10元，故成本价为$(0.6x + 10)$元；
2. 9折出售的售价为$0.9x$元，因赚20元，故成本价为$(0.9x - 20)$元；
3. 由于成本价固定，因此两个成本价相等，可列方程：$0.6x + 10 = 0.9x - 20$。
【答案】$0.6x+10=0.9x-20$
【知识点】一元一次方程的应用、打折销售问题
【点评】本题是一元一次方程应用的基础题型，关键在于抓住“成本价不变”这一核心等量关系，将打折售价与盈亏情况结合转化为成本表达式，进而列出方程，难度较低，适合巩固基础。
【难度系数】0.7
【解析】设每件服装的标价是$x$元。
1. 6折出售的售价为$0.6x$元，因亏10元，故成本价为$(0.6x + 10)$元；
2. 9折出售的售价为$0.9x$元，因赚20元，故成本价为$(0.9x - 20)$元；
3. 由于成本价固定，因此两个成本价相等，可列方程：$0.6x + 10 = 0.9x - 20$。
【答案】$0.6x+10=0.9x-20$
【知识点】一元一次方程的应用、打折销售问题
【点评】本题是一元一次方程应用的基础题型，关键在于抓住“成本价不变”这一核心等量关系，将打折售价与盈亏情况结合转化为成本表达式，进而列出方程，难度较低，适合巩固基础。
【难度系数】0.7
10. 已知关于 $x$ 的方程 $x+5-\dfrac{999}{2024}x=m$ 的解是 $x=88$, 那么关于 $y$ 的一元一次方程 $y+27-\dfrac{999}{2024}(y+22)=m$ 的解是 $y=$
66
.答案
10.66
解析
【分析】
本题可通过换元法，观察两个方程的结构联系，将关于$y$的方程转化为与已知解的关于$x$的方程形式一致的式子，进而利用已知解求出$y$的值。
【解析】
1. 设$t = y + 22$，则$y = t - 22$，将其代入关于$y$的方程$y + 27 - \dfrac{999}{2024}(y + 22) = m$，得：
$(t - 22) + 27 - \dfrac{999}{2024}t = m$
2. 化简左边式子：
$t - 22 + 27 - \dfrac{999}{2024}t = t(1 - \dfrac{999}{2024}) + 5 = \dfrac{1025}{2024}t + 5$
3. 整理已知关于$x$的方程$x + 5 - \dfrac{999}{2024}x = m$，得：
$x(1 - \dfrac{999}{2024}) + 5 = m$，即$\dfrac{1025}{2024}x + 5 = m$
4. 对比两个等式，可得$\dfrac{1025}{2024}t + 5 = \dfrac{1025}{2024}x + 5$，因此$t = x = 88$
5. 因为$t = y + 22$，所以$y = t - 22 = 88 - 22 = 66$
【答案】
66
【知识点】
一元一次方程的解、换元法解方程
【点评】
本题核心是利用整体思想和换元法，将陌生方程转化为已知解的方程，简化计算，需观察方程间的结构关联。
【难度系数】
0.3
本题可通过换元法，观察两个方程的结构联系，将关于$y$的方程转化为与已知解的关于$x$的方程形式一致的式子，进而利用已知解求出$y$的值。
【解析】
1. 设$t = y + 22$，则$y = t - 22$，将其代入关于$y$的方程$y + 27 - \dfrac{999}{2024}(y + 22) = m$，得：
$(t - 22) + 27 - \dfrac{999}{2024}t = m$
2. 化简左边式子：
$t - 22 + 27 - \dfrac{999}{2024}t = t(1 - \dfrac{999}{2024}) + 5 = \dfrac{1025}{2024}t + 5$
3. 整理已知关于$x$的方程$x + 5 - \dfrac{999}{2024}x = m$，得：
$x(1 - \dfrac{999}{2024}) + 5 = m$，即$\dfrac{1025}{2024}x + 5 = m$
4. 对比两个等式，可得$\dfrac{1025}{2024}t + 5 = \dfrac{1025}{2024}x + 5$，因此$t = x = 88$
5. 因为$t = y + 22$，所以$y = t - 22 = 88 - 22 = 66$
【答案】
66
【知识点】
一元一次方程的解、换元法解方程
【点评】
本题核心是利用整体思想和换元法，将陌生方程转化为已知解的方程，简化计算，需观察方程间的结构关联。
【难度系数】
0.3
