2.【背景知识】
有理数 $a$ 和 $b$ 分别对应数轴上的点 $A$ 和点 $B$, 定义 $M[a,b]=\dfrac{a+b}{2}$ 为数 $a,b$ 的中点数, 定义$D[a,b]=|a-b|$ 为点 $A,B$ 之间的距离, 其中 $|a-b|$ 表示数 $a,b$ 的差的绝对值.
例如, 如图①所示, 有理数 $-1$ 和 $3$ 分别对应数轴上的点 $P$ 和点 $Q$, 数 $-1$ 和 $3$ 的中点数是$M[-1,3]=\dfrac{-1+3}{2}=1$; 点 $P,Q$ 之间的距离是 $D[-1,3]=|-1-3|=4$.
【问题情境】
如图②所示, 在数轴上原点 $O$ 表示数 $0$, 点 $A$ 在原点的左侧, 所表示的数是 $a$, 点 $A$ 到原点的距离为 $2$; 点 $B$ 在原点的右侧, 所表示的数是 $b$, 点 $A$ 到点 $B$ 的距离为 $6$, $P$ 为数轴上任意一点, 所表示的数是 $x$.
【解决问题】
(1)$a=$,$b=$;
(2)$M[a,b]=$,$D[a,b]=$;
(3)已知 $D[5,7]+M[-5,x]=5$, 求 $D[x,8]$ 的值;
(4)对于数轴上的三点, 又给出如下定义: 若其中一个点与其他两个点的距离恰好满足 $2$ 倍关系时, 则称该点是其他两个点的“$2$ 倍点”. 现在, 点 $A$, 点 $B$ 分别以每秒 $4$ 个单位长度和每秒$1$ 个单位长度的速度同时向右运动, 同时点 $P$ 以每秒 $3$ 个单位长度的速度从表示数 $5$ 的点向左运动. 设出发 $t$ 秒后, 点 $P$ 恰好是点 $A,B$ 的“$2$ 倍点”. 请直接写出此时 $t$ 的值是.

(1)$-2$ $4$
(2)$1$ $6$
(3)解:因为 $D[5,7]+M[-5,x]=5$,
所以$|5-7|+\dfrac{-5+x}{2}=5$,
解得 $x=11$,
所以 $D[x,8]=D[11,8]=|11-8|=3$.
(4)$\dfrac{3}{5}$或$\dfrac{13}{10}$或$\dfrac{5}{6}$

【分析】
本题围绕数轴上的点、新定义的中点数和距离展开，需先根据题意确定各点表示的数，再结合新定义的公式逐步求解。
(1) 利用点A在原点左侧且距离原点2，直接确定a；再根据A、B的距离求b。
(2) 代入中点数和距离的定义公式计算结果。
(3) 先将等式按新定义转化为方程，求解x后再计算目标距离。
(4) 先表示t秒后各点的数，再根据“2倍点”的定义分情况列方程，求解t并舍去不合理的解。
【解析】
(1) 点A在原点左侧，到原点距离为2，故$a=-2$；点A到B的距离为6，B在原点右侧，因此$b = a + 6 = -2 + 6 = 4$。
(2) 根据中点数定义：$M[a,b]=\frac{a+b}{2}=\frac{-2+4}{2}=1$；根据距离定义：$D[a,b]=|a-b|=|-2-4|=6$。
(3) 根据新定义，$D[5,7]=|5-7|=2$，$M[-5,x]=\frac{-5+x}{2}$，代入等式：
$2+\frac{-5+x}{2}=5$
两边同乘2得：$4-5+x=10$，解得$x=11$。
则$D[x,8]=|11-8|=3$。
(4) t秒后，点A表示的数为$-2+4t$，点B表示的数为$4+t$，点P表示的数为$5-3t$。
$PA=|(5-3t)-(-2+4t)|=|7-7t|$，$PB=|(5-3t)-(4+t)|=|1-4t|$。
因为P是A、B的“2倍点”，分两种情况：
① $PA=2PB$：$|7-7t|=2|1-4t|$
当$7-7t=2(1-4t)$时，解得$t=-5$（舍去，时间非负）；
当$7-7t=-2(1-4t)$时，解得$t=\frac{3}{5}$。
② $PB=2PA$：$|1-4t|=2|7-7t|$
当$1-4t=2(7-7t)$时，解得$t=\frac{13}{10}$；
当$1-4t=-2(7-7t)$时，解得$t=\frac{5}{6}$。
综上，t的值为$\frac{3}{5}$、$\frac{13}{10}$、$\frac{5}{6}$。
【答案】
(1)$-2$，$4$；(2)$1$，$6$；(3)$3$；(4)$\frac{3}{5}$或$\frac{13}{10}$或$\frac{5}{6}$
【知识点】
数轴、绝对值、一元一次方程、新定义问题
【点评】
本题结合数轴考查新定义的应用，需准确理解中点数、距离及“2倍点”的定义，第(4)问需分类讨论，培养学生的分类思想与方程思想。
【难度系数】
0.5