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例2 如图①，A，B两个村庄在一条河（不计河的宽度）l的两侧，现要选一个位置建一座码头，使它到A，B两个村庄的距离之和最小，有人说图②中的点C即为码头的位置，这样说的理由是
答案 两点之间，线段最短
两点之间，线段最短
。答案 两点之间，线段最短
答案
两点之间，线段最短
解析
【分析】
解题时首先明确题目目标：找到直线$ l $上的点，使该点到A、B两点的距离之和最小。第一步观察A、B的位置特征，两个点分别在直线$ l $的两侧；第二步回忆线段的基本性质：两点之间的所有连线中，线段是最短的；第三步推导最优位置：连接A、B两点，线段AB与直线$ l $的交点就是所求的点，此时该点到A、B的距离之和恰好等于线段AB的长度，是所有可能情况里的最小值，对应原理就是两点之间线段最短。
【解析】
要让码头到A、B两个村庄的距离之和最小，已知A、B在直线$ l $的两侧，根据“两点之间，线段最短”的性质，连接A、B两点，线段AB与直线$ l $的交点C就是符合要求的码头位置，此时$ AC+BC = AB $，是所有可能的距离和中的最小值，因此该说法的理由是两点之间，线段最短。
【答案】
两点之间，线段最短
【知识点】
两点之间线段最短
【点评】
本题是线段性质的实际应用，属于基础的最短路径选址类题型，解题核心是结合点的位置特征，直接调用线段的基本性质即可得出结论。
【难度系数】
0.9
解题时首先明确题目目标：找到直线$ l $上的点，使该点到A、B两点的距离之和最小。第一步观察A、B的位置特征，两个点分别在直线$ l $的两侧；第二步回忆线段的基本性质：两点之间的所有连线中，线段是最短的；第三步推导最优位置：连接A、B两点，线段AB与直线$ l $的交点就是所求的点，此时该点到A、B的距离之和恰好等于线段AB的长度，是所有可能情况里的最小值，对应原理就是两点之间线段最短。
【解析】
要让码头到A、B两个村庄的距离之和最小，已知A、B在直线$ l $的两侧，根据“两点之间，线段最短”的性质，连接A、B两点，线段AB与直线$ l $的交点C就是符合要求的码头位置，此时$ AC+BC = AB $，是所有可能的距离和中的最小值，因此该说法的理由是两点之间，线段最短。
【答案】
两点之间，线段最短
【知识点】
两点之间线段最短
【点评】
本题是线段性质的实际应用，属于基础的最短路径选址类题型，解题核心是结合点的位置特征，直接调用线段的基本性质即可得出结论。
【难度系数】
0.9
例3 如图，已知线段$a$，$b$，$c$，且$a＞c$，用直尺和圆规作图（保留作图痕迹），并用字母表示出所画线段。
（1）画一条线段，使它等于$a+b$；
（2）画一条线段，使它等于$a−c$。
解（1）画一条直线$l$，先在直线$l$上找一点$A$，在直线上作线段$AB=a$，再在线段$AB$的延长线上作线段$BC=b$，则线段$AC$即为所求，如图所示。
解题要点
此题主要考查了两点之间，线段最短，正确将实际问题转化为数学问题是解题的关键。
特别提醒
如图，点$M$把线段$AB$分成相等的两条线段$AM$和$MB$，点$M$叫作线段$AB$的中点，即$AM=MB=\frac{1}{2}AB$，或$AB=2MB=2AM$。
$A$ $M$ $B$
（2）画一条直线$m$，先在直线$m$上找一点$A$，在直线上作线段$AB=a$，再在线段$AB$上作线段$BC=c$，则线段$AC$即为所求，如图所示。
（1）画一条线段，使它等于$a+b$；
（2）画一条线段，使它等于$a−c$。
解（1）画一条直线$l$，先在直线$l$上找一点$A$，在直线上作线段$AB=a$，再在线段$AB$的延长线上作线段$BC=b$，则线段$AC$即为所求，如图所示。
解题要点
此题主要考查了两点之间，线段最短，正确将实际问题转化为数学问题是解题的关键。
特别提醒
如图，点$M$把线段$AB$分成相等的两条线段$AM$和$MB$，点$M$叫作线段$AB$的中点，即$AM=MB=\frac{1}{2}AB$，或$AB=2MB=2AM$。
$A$ $M$ $B$
（2）画一条直线$m$，先在直线$m$上找一点$A$，在直线上作线段$AB=a$，再在线段$AB$上作线段$BC=c$，则线段$AC$即为所求，如图所示。
答案
1. 画一条直线$l$，先在直线$l$上找一点$A$，在直线上作线段$AB=a$，再在线段$AB$的延长线上作线段$BC=b$，则线段$AC$即为所求。
2. 画一条直线$m$，先在直线$m$上找一点$A$，在直线上作线段$AB=a$，再在线段$AB$上作线段$BC=c$，则线段$AC$即为所求。
2. 画一条直线$m$，先在直线$m$上找一点$A$，在直线上作线段$AB=a$，再在线段$AB$上作线段$BC=c$，则线段$AC$即为所求。
解析
【分析】
本题考查尺规作线段的和与差，解题思路如下：①作线段和时，核心是将两条已知线段首尾顺次拼接在同一直线上，总长度就是两条线段的和；先确定一条直线作为作图载体，先截取第一条线段a，再在它的延长线上顺次截取第二条线段b，得到的总线段就是a+b。②作线段差时，已知a＞c，先在直线上截取较长的线段a，再从线段a的一端出发，向线段内部截取长度为c的线段，剩下的线段长度就是a−c。作图时要用圆规准确量取已知线段的长度，保留作图痕迹。
【解析】
（1）作长度为a+b的线段：
①画直线l，在l上任意选取一点A；
②用圆规量取已知线段a的长度，以A为圆心、a的长度为半径画弧，交直线l于点B，得到线段AB=a；
③用圆规量取已知线段b的长度，以B为圆心、b的长度为半径画弧，交AB的延长线于点C，得到线段BC=b；
此时线段AC=AB+BC=a+b，即为所求。
（2）作长度为a−c的线段：
①画直线m，在m上任意选取一点A；
②用圆规量取已知线段a的长度，以A为圆心、a的长度为半径画弧，交直线m于点B，得到线段AB=a；
③用圆规量取已知线段c的长度，以B为圆心、c的长度为半径画弧，在线段AB上交于点C，得到线段BC=c；
此时线段AC=AB−BC=a−c，即为所求。
【答案】
1. 画一条直线$l$，先在直线$l$上找一点$A$，在直线上作线段$AB=a$，再在线段$AB$的延长线上作线段$BC=b$，则线段$AC$即为所求。
2. 画一条直线$m$，先在直线$m$上找一点$A$，在直线上作线段$AB=a$，再在线段$AB$上作线段$BC=c$，则线段$AC$即为所求。
【知识点】
尺规作线段，线段的和差运算
【点评】
本题是尺规作图的基础题型，重点考查线段和差的作图逻辑，掌握“顺次拼接作和、内部截去作差”的作图规则即可解题，作图时需注意保留作图痕迹，正确标注字母明确所求线段。
【难度系数】
0.85
本题考查尺规作线段的和与差，解题思路如下：①作线段和时，核心是将两条已知线段首尾顺次拼接在同一直线上，总长度就是两条线段的和；先确定一条直线作为作图载体，先截取第一条线段a，再在它的延长线上顺次截取第二条线段b，得到的总线段就是a+b。②作线段差时，已知a＞c，先在直线上截取较长的线段a，再从线段a的一端出发，向线段内部截取长度为c的线段，剩下的线段长度就是a−c。作图时要用圆规准确量取已知线段的长度，保留作图痕迹。
【解析】
（1）作长度为a+b的线段：
①画直线l，在l上任意选取一点A；
②用圆规量取已知线段a的长度，以A为圆心、a的长度为半径画弧，交直线l于点B，得到线段AB=a；
③用圆规量取已知线段b的长度，以B为圆心、b的长度为半径画弧，交AB的延长线于点C，得到线段BC=b；
此时线段AC=AB+BC=a+b，即为所求。
（2）作长度为a−c的线段：
①画直线m，在m上任意选取一点A；
②用圆规量取已知线段a的长度，以A为圆心、a的长度为半径画弧，交直线m于点B，得到线段AB=a；
③用圆规量取已知线段c的长度，以B为圆心、c的长度为半径画弧，在线段AB上交于点C，得到线段BC=c；
此时线段AC=AB−BC=a−c，即为所求。
【答案】
1. 画一条直线$l$，先在直线$l$上找一点$A$，在直线上作线段$AB=a$，再在线段$AB$的延长线上作线段$BC=b$，则线段$AC$即为所求。
2. 画一条直线$m$，先在直线$m$上找一点$A$，在直线上作线段$AB=a$，再在线段$AB$上作线段$BC=c$，则线段$AC$即为所求。
【知识点】
尺规作线段，线段的和差运算
【点评】
本题是尺规作图的基础题型，重点考查线段和差的作图逻辑，掌握“顺次拼接作和、内部截去作差”的作图规则即可解题，作图时需注意保留作图痕迹，正确标注字母明确所求线段。
【难度系数】
0.85
