4. 下列说法正确的是（）

A.当$ x≠3 $时，分式$\frac{x-3}{x}$有意义
B.分式$\frac{2}{3a}$与$\frac{1}{ab^2}$的最简公分母是$3a^2b^2$
C.分式$\frac{xy}{3x-2y}$中$x$，$y$都扩大3倍，分式的值不变
D.无论$x$为何值，$\frac{3}{x^2+1}$的值总为正数

4. D

【分析】
这是一道分式相关概念的综合选择题，解题时需依次对应每个选项的知识点逐一判断对错：①判断分式有意义只需看分母是否不为0；②找最简公分母要取各分母系数的最小公倍数、相同字母的最高次幂；③分式的基本性质是分子分母同时乘或除以同一个不为0的整式，分式值不变；④判断分式值的正负要分别确定分子、分母的正负性。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：分式$\frac{x-3}{x}$有意义的条件是分母$x≠0$，而非$x≠3$，故A错误；
B选项：两个分式$\frac{2}{3a}$和$\frac{1}{ab^2}$的分母分别是$3a$、$ab^2$，系数最小公倍数是3，$a$的最高次是1次，$b$的最高次是2次，因此最简公分母是$3ab^2$，不是$3a^2b^2$，故B错误；
C选项：将$x$、$y$都扩大3倍，新分式的分子为$3x·3y=9xy$，分母为$3·3x - 2·3y=9x-6y=3(3x-2y)$，新分式为$\frac{9xy}{3(3x-2y)}=3·\frac{xy}{3x-2y}$，是原分式值的3倍，值发生了变化，故C错误；
D选项：对任意实数$x$，都有$x^2≥0$，因此$x^2+1≥1＞0$，分子$3＞0$，正数除以正数结果为正，因此无论$x$为何值，$\frac{3}{x^2+1}$的值总为正数，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
1.分式有意义的条件 2.分式的基本性质 3.最简公分母的确定
【点评】
本题属于分式基础考查题，综合了分式的多个核心基础概念，难度不大，解题时注意逐一排查选项，避免概念混淆即可正确作答。
【难度系数】
0.7

5. 化简$\frac{x^2 -4x}{x^2 -8x +16}=$；$\frac{1 -x}{x^2 -1}$化简后的结果是。

5. $\dfrac{x}{x-4}$；$-\dfrac{1}{x+1}$

【分析】
分式化简的核心是利用分式的基本性质进行约分，解题步骤如下：①先对分子、分母分别进行因式分解；②找出分子分母的公因式；③约去公因式得到最简分式，注意处理代数式的符号问题。对于第一个分式，分子可提公因式分解，分母符合完全平方公式的结构，分解后约去公因式即可；对于第二个分式，可先将分子变形提取负号，分母用平方差公式分解，再约去公因式。
【解析】
1. 化简$\frac{x^2 -4x}{x^2 -8x +16}$：
第一步，分解因式：
分子：$x^2-4x=x(x-4)$
分母：$x^2-8x+16=(x-4)^2$
第二步，约分（$x≠4$时分式有意义）：
$\frac{x^2 -4x}{x^2 -8x +16}=\frac{x(x-4)}{(x-4)^2}=\frac{x}{x-4}$
2. 化简$\frac{1 -x}{x^2 -1}$：
第一步，变形并分解因式：
分子：$1-x=-(x-1)$
分母：$x^2-1=(x+1)(x-1)$
第二步，约分（$x≠\pm1$时分式有意义）：
$\frac{1 -x}{x^2 -1}=\frac{-(x-1)}{(x+1)(x-1)}=-\frac{1}{x+1}$
【答案】
$\dfrac{x}{x-4}$；$-\dfrac{1}{x+1}$
【知识点】
因式分解；分式的基本性质；分式约分
【点评】
本题属于分式化简的基础题型，解题的关键是熟练掌握常见的因式分解方法，约分过程中要注意符号的处理，避免因符号出错导致结果错误。
【难度系数】
0.8

6. 把$\frac{y}{4x^2}$，$\frac{5}{6xy}$通分，则$\frac{y}{4x^2}=$______，$\frac{5}{6xy}=$______.

$\dfrac{3y^2}{12x^2y}$；$\dfrac{10x}{12x^2y}$

【分析】
要对两个分式通分，第一步先确定两个分式分母的最简公分母：先找分母系数的最小公倍数，再找相同字母的最高次幂，两者结合就是最简公分母；第二步根据分式的基本性质，将每个分式的分子分母同乘适当的整式，使分母都变为最简公分母，同时保证分式的值不变。
首先看两个分母：$4x^2$和$6xy$，系数4和6的最小公倍数是12，x的最高次是$x^2$，y的最高次是y，所以最简公分母是$12x^2y$。接下来对第一个分式，分母$4x^2$要变成$12x^2y$，需要乘$3y$，因此分子y也要乘$3y$；对第二个分式，分母$6xy$要变成$12x^2y$，需要乘$2x$，因此分子5也要乘$2x$，就能得到通分后的结果。
【解析】
1. 确定最简公分母：
分母分别为$4x^2$和$6xy$，系数4和6的最小公倍数是12，字母因式中$x$的最高次幂为$x^2$，$y$的最高次幂为$y$，因此最简公分母为$12x^2y$。
2. 对$\frac{y}{4x^2}$通分：
根据分式的基本性质，分子分母同乘$3y$，得：
$\frac{y}{4x^2}=\frac{y·3y}{4x^2·3y}=\frac{3y^2}{12x^2y}$
3. 对$\frac{5}{6xy}$通分：
根据分式的基本性质，分子分母同乘$2x$，得：
$\frac{5}{6xy}=\frac{5·2x}{6xy·2x}=\frac{10x}{12x^2y}$
【答案】
$\dfrac{3y^2}{12x^2y}$；$\dfrac{10x}{12x^2y}$
【知识点】
分式的基本性质；通分；最简公分母
【点评】
本题是分式通分的基础题型，解题核心是准确找到最简公分母，再利用分式的基本性质对分子做相应变形，熟练掌握通分方法是后续学习分式加减运算的基础。
【难度系数】
0.9

7. 请写出一个化简结果为$\frac{x+1}{x-1}$的分式：.

7. $\dfrac{2x+2}{2x-2}$

【分析】
要构造出化简结果为$\frac{x+1}{x-1}$的分式，可逆用分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。我们只需给$\frac{x+1}{x-1}$的分子、分母同时乘任意一个不为0的整式，即可得到符合要求的分式，同时要保证所乘的整式不为0，避免构造的分式无意义。
【解析】
根据分式的基本性质，将$\frac{x+1}{x-1}$的分子和分母同时乘不为0的常数2，可得：
$\frac{x+1}{x-1}=\frac{(x+1)×2}{(x-1)×2}=\frac{2x+2}{2x-2}$
本题答案不唯一，只要是$\frac{x+1}{x-1}$的分子、分母同乘一个非零整式得到的分式均符合要求。
【答案】
$\dfrac{2x+2}{2x-2}$（答案不唯一）
【知识点】
分式的基本性质
【点评】
本题属于开放性基础题，核心考查分式基本性质的逆运用，解题时只要保证变形前后分式的值不变，且构造的分式有意义即可，作答灵活度较高。
【难度系数】
0.9

8. 分式$\frac{1}{x^2 - 3x}$与$\frac{1}{x^2 - 9}$通分后的结果是.

8. $\dfrac{1}{x^2-3x}=\dfrac{x+3}{x(x+3)(x-3)}$，$\dfrac{1}{x^2-9}=\dfrac{x}{x(x+3)(x-3)}$

【分析】
要完成分式通分，需遵循两步思路：第一步先对两个分式的分母分别因式分解，找出它们的最简公分母；第二步根据分式的基本性质，将两个分式的分子、分母同乘各自分母缺少的因式，使两个分式的分母都变为最简公分母即可。
【解析】
1. 先对两个分式的分母因式分解：
第一个分式的分母：$x^2 - 3x = x(x - 3)$
第二个分式的分母：$x^2 - 9 = (x + 3)(x - 3)$
2. 确定最简公分母：取两个分母所有不同因式的最高次幂的乘积，即最简公分母为$x(x + 3)(x - 3)$
3. 根据分式的基本性质变形：
对$\frac{1}{x^2 - 3x}$，分母缺少因式$(x + 3)$，分子分母同乘$(x + 3)$，得$\frac{1}{x^2 - 3x} = \frac{1 × (x + 3)}{x(x - 3) × (x + 3)} = \frac{x + 3}{x(x + 3)(x - 3)}$
对$\frac{1}{x^2 - 9}$，分母缺少因式$x$，分子分母同乘$x$，得$\frac{1}{x^2 - 9} = \frac{1 × x}{(x + 3)(x - 3) × x} = \frac{x}{x(x + 3)(x - 3)}$
【答案】
$\dfrac{1}{x^2-3x}=\dfrac{x+3}{x(x+3)(x-3)}$，$\dfrac{1}{x^2-9}=\dfrac{x}{x(x+3)(x-3)}$
【知识点】
因式分解、分式的基本性质、分式通分
【点评】
本题是分式通分的基础题型，解题核心是先正确对分母因式分解，准确确定最简公分母，再利用分式基本性质对分子做对应变形，掌握该方法是后续进行分式加减运算的基础。
【难度系数】
0.7

9. $\frac{2}{3x^2(x-y)}$，$\frac{1}{2x-2y}$，$\frac{3}{4xy}$的最简公分母是。

9. $12x^2y(x-y)$

【分析】
要确定几个分式的最简公分母，可按固定思路推导：第一步先把每个分母因式分解，将含公因式的分母分解彻底；第二步取各分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数；第三步找出所有出现过的字母、多项式因式，每个因式取最高次幂，最后将系数与所有因式相乘，所得结果就是最简公分母。
【解析】
首先对三个分式的分母逐一因式分解：
1. 第一个分式的分母为$3x^2(x-y)$，已经是因式分解后的形式；
2. 第二个分式的分母$2x-2y=2(x-y)$，提取公因式2即可完成分解；
3. 第三个分式的分母为$4xy$，已经是因式分解后的形式。
再按规则计算最简公分母：
① 系数部分：3、2、4的最小公倍数是12；
② 因式部分：出现的因式有$x$、$y$、$(x-y)$，其中$x$的最高次幂为$x^2$，$y$的最高次幂为$y$，$(x-y)$的最高次幂为$(x-y)$；
③ 将系数与各因式相乘得：$12 × x^2 × y × (x-y) = 12x^2y(x-y)$。
【答案】
$12x^2y(x-y)$
【知识点】
最简公分母，因式分解，最小公倍数
【点评】
本题是分式通分相关的基础题，解题核心是先将各分母因式分解，再严格按规则求解，注意不要遗漏多项式因式或搞错因式的最高次数，熟练掌握该知识点是后续分式加减运算的基础。
【难度系数】
0.8

10. 已知分式$\frac{x^2 -9}{x^2 -4x +3}$.
（1）化简该分式.
（2）若该分式的值为整数，求所有符合条件的整数$x$的值.

10. 解：
（1）原式$=\frac{(x+3)(x-3)}{(x-2)^2-1}=\frac{(x+3)(x-3)}{(x-3)(x-1)}=\frac{x+3}{x-1} \ (x≠ 1且x≠ 3)$.
（2）$\because \frac{x^2-9}{x^2-4x+3}$的值为整数，
$\therefore \frac{x+3}{x-1} \ (x≠ 1且x≠ 3)$的值为整数，
$\because \frac{x+3}{x-1}=\frac{x-1+4}{x-1}=1+\frac{4}{x-1}$，
$\therefore x-1=\pm1$ 或 $x-1=\pm2$ 或 $x-1=\pm4$，
解得 $x=2,\ 0,\ 3,\ -1,\ 5,\ -3$，
$\because x≠ 1$ 且 $x≠ 3$，$\therefore x=5,\ -3,\ -1,\ 2,\ 0$.
答：$x$ 的值为 $5,\ -3,\ -1,\ 2,\ 0$.

【分析】
（1）化简分式的核心是先对分子、分母分别因式分解，再约去公因式，同时要注意分式有意义的前提是分母不为0，需标注x的取值限制。首先分子$x^2-9$是平方差公式的形式，可分解为$(x+3)(x-3)$；分母$x^2-4x+3$是二次三项式，用十字相乘法分解为$(x-3)(x-1)$，约去公因式$(x-3)$即可得到化简结果，同时要保证原分母不为0，即$x≠1$且$x≠3$。
（2）要让分式的值为整数，先将化简后的分式变形为“整数+分子为常数的分式”的形式，即把$x+3$拆成$(x-1)+4$，这样原分式可化为$1+\frac{4}{x-1}$，此时只要$x-1$是4的整数约数即可，最后要排除掉使原分式无意义的x值。
【解析】
（1）对分子、分母分别因式分解：
分子：$x^2 -9=(x+3)(x-3)$
分母：$x^2 -4x +3=(x-3)(x-1)$
根据分式的基本性质，约去公因式$(x-3)$，注意分母不能为0，即$x≠1$且$x≠3$，因此：
原式$=\frac{(x+3)(x-3)}{(x-3)(x-1)}=\frac{x+3}{x-1} \ (x≠ 1且x≠ 3)$
（2）由（1）得原分式化简为$\frac{x+3}{x-1} \ (x≠ 1且x≠ 3)$，将其变形：
$\frac{x+3}{x-1}=\frac{(x-1)+4}{x-1}=1+\frac{4}{x-1}$
要使分式的值为整数，则$\frac{4}{x-1}$必须为整数，即$x-1$是4的整数约数，因此：
$x-1=\pm1$ 或 $x-1=\pm2$ 或 $x-1=\pm4$
分别求解：
当$x-1=1$时，$x=2$；当$x-1=-1$时，$x=0$；
当$x-1=2$时，$x=3$；当$x-1=-2$时，$x=-1$；
当$x-1=4$时，$x=5$；当$x-1=-4$时，$x=-3$；
结合分式有意义的条件$x≠1$且$x≠3$，舍去$x=3$，因此符合条件的整数x为5、-3、-1、2、0。
【答案】
（1）$\frac{x+3}{x-1} \ (x≠ 1且x≠ 3)$；
（2）$x$的值为$5、-3、-1、2、0$。
【知识点】
1. 分式的基本性质
2. 因式分解
3. 分式有意义的条件
【点评】
本题是分式的常规考题，重点考查分式化简及整数解的求解，解题时需要注意：化简分式时要保证原分式有意义，求解整数解后要检验是否符合分母不为0的要求，避免多解、错解。
【难度系数】
0.7