【例1】如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”，下列分式中，是“和谐分式”的是（）

A.$\dfrac{x^2 - y^2}{x - y}$
B.$\dfrac{x + y}{x^2 + 2xy + y^2}$
C.$\dfrac{4x + 2y}{x^2 - 4y^2}$
D.$\dfrac{x^2 - 2xy + y^2}{2x - 2y}$
【点拨】先将分子、分母因式分解，再进行约分，即可得出答案。

【例1】 C

【分析】
解题首先要明确“和谐分式”的两个判断条件：一是分子或分母可以因式分解；二是因式分解后的分式不可约分。我们需要对每个选项的分子、分母分别进行因式分解，再判断是否存在公因式，同时满足两个条件的就是和谐分式。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：分子$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$，分母为$x-y$，存在公因式$x-y$，约分后得$x+y$，不符合“不可约分”的要求，不是和谐分式；
B选项：分母$x^2+2xy+y^2=(x+y)^2$，分子为$x+y$，存在公因式$x+y$，约分后得$\dfrac{1}{x+y}$，不符合要求，不是和谐分式；
C选项：分子$4x+2y=2(2x+y)$，分母$x^2-4y^2=(x+2y)(x-2y)$，分子分母无公因式，不可约分，且分子、分母均可因式分解，符合和谐分式的定义；
D选项：分子$x^2-2xy+y^2=(x-y)^2$，分母$2x-2y=2(x-y)$，存在公因式$x-y$，约分后得$\dfrac{x-y}{2}$，不符合要求，不是和谐分式。
综上，选C。
【答案】
C
【知识点】
因式分解，分式约分，新定义理解
【点评】
本题属于新定义类题型，解题核心是准确把握新定义的两个判断标准，熟练运用提公因式法、公式法等因式分解方法对分子分母变形，再结合分式约分规则判断即可。
【难度系数】
0.7

【例2】将分式$\frac{1}{1-a^2}$与分式$\frac{a+1}{a^2-2a+1}$通分后，$\frac{a+1}{a^2-2a+1}$的分母变为$(1+a)(1-a)^2$，则$\frac{1}{1-a^2}$的分子变为（）

A.$1-a$
B.$1+a$
C.$-1-a$
D.$-1+a$
【点拨】找出两分式分母的最简公分母，需要注意的是要先将两个分母因式分解，才能确定最简公分母，再利用分式的性质判断即可。

【例2】 A

【分析】
解题时首先要对两个分式的分母做因式分解，确定通分的最简公分母，再观察目标分式的分母需要乘哪个因式才能变为最简公分母，最后根据分式的基本性质（分子和分母乘同一个不为0的整式，分式值不变），计算出变形后的分子即可。需要注意互为相反数的偶次幂相等，避免符号出错。
【解析】
步骤1：对两个分式的分母因式分解
$\frac{1}{1-a^2}$的分母：$1-a^2=(1-a)(1+a)$
$\frac{a+1}{a^2-2a+1}$的分母：$a^2-2a+1=(a-1)^2=(1-a)^2$
步骤2：确定最简公分母
由题意可知通分后的最简公分母为$(1+a)(1-a)^2$
步骤3：计算$\frac{1}{1-a^2}$需要乘的因式
原分母为$(1-a)(1+a)$，要变为$(1+a)(1-a)^2$，需要给分母乘$(1-a)$
步骤4：根据分式的基本性质求新分子
分子需和分母同乘$(1-a)$，因此新分子为$1×(1-a)=1-a$
【答案】
A
【知识点】
分式的基本性质，因式分解，分式的通分
【点评】
本题是分式通分的基础应用题，解题核心是先通过因式分解确定公分母，再结合分式的基本性质计算变形后的分子，解题时要注意偶次幂的符号特性，避免因符号混淆出错。
【难度系数】
0.8

1. 下列分式中，为最简分式的是（）

A.$\dfrac{3a}{5a^3b^2}$
B.$\dfrac{2a}{a^2+3a}$
C.$\dfrac{a+2}{a^2+2}$
D.$\dfrac{a^2-ab}{a^2-b^2}$

1. C

【分析】
要判断哪个是最简分式，首先要明确最简分式的定义：分子和分母没有公因式的分式叫做最简分式。解题思路是先对每个选项的分子、分母分别进行因式分解，再检查两者是否存在公因式，若没有公因式就是最简分式，有公因式的就可以约分，不是最简分式，我们逐一分析四个选项即可得出结果。
【解析】
根据最简分式的定义，逐个分析选项：
A. 分子为$3a$，分母为$5a^3b^2$，分子和分母有公因式$a$，约分后可得$\dfrac{3}{5a^2b^2}$，不是最简分式；
B. 先对分母因式分解：$a^2+3a=a(a+3)$，分子为$2a$，分子和分母有公因式$a$，约分后可得$\dfrac{2}{a+3}$，不是最简分式；
C. 分子是$a+2$，分母$a^2+2$无法因式分解，两者没有公因式，是最简分式；
D. 分别对分子分母因式分解：分子$a^2-ab=a(a-b)$，分母$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，分子和分母有公因式$a-b$，约分后可得$\dfrac{a}{a+b}$，不是最简分式。
综上，符合要求的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
最简分式判定，因式分解，分式的基本性质
【点评】
本题是基础题型，核心考查最简分式的判断方法，解题关键是熟练掌握提公因式、公式法等常见因式分解方法，准确判断分子分母是否存在公因式。
【难度系数】
0.8

2. 分式$\frac{3}{2a^2b}$与$\frac{a-b}{ab^2c}$的最简公分母是（）

A.$2a^2b^2c^2$
B.$2a^2b^2c$
C.$a^2b^2$
D.$2a^2b$

2. B

【分析】
找分式的最简公分母可按固定思路分步推导：第一步先找各分母系数的最小公倍数，第二步提取所有在分母中出现过的不同字母，第三步每个字母取它在各个分母里的最高次幂，最后将这几部分相乘，得到的结果就是最简公分母。本题先拆分两个分式的分母分别为$2a^2b$和$ab^2c$，按上述步骤计算即可。
【解析】
解：两个分式的分母分别为$2a^2b$和$ab^2c$，按步骤找最简公分母：
1. 求系数的最小公倍数：两个分母的系数为2和1，最小公倍数是2；
2. 提取所有出现的字母：分母中出现的字母有a、b、c三类；
3. 取各字母的最高次幂：a的最高次为$a^2$，b的最高次为$b^2$，c的最高次为$c$；
4. 合并得到最简公分母：$2× a^2× b^2× c=2a^2b^2c$。
因此本题选B选项。
【答案】
B
【知识点】
最简公分母的确定、分式通分
【点评】
本题是分式运算的基础题型，主要考查最简公分母的找法，是后续学习分式通分、分式加减运算的必备基础，解题时注意不要遗漏仅在单个分母中出现的字母，准确提取各字母的最高次幂即可快速解题。
【难度系数】
0.8

3. 化简$\frac{4m - m^2}{m^2 - 8m + 16} = \frac{m(4 - m)}{(4 - m)^2} ······ ① = \frac{m}{4 - m} ······ ②$，其中步骤①②的运算依据分别属于
（）

A.①是整式乘法；②是通分
B.①是分解因式；②是通分
C.①是分解因式；②是约分
D.①是整式乘法；②是约分

3. C

【分析】
解题时首先要明确分解因式、整式乘法、约分、通分的核心定义，再对应两步变形逐一判断：①先回忆分解因式是将多项式化为几个整式乘积的形式，整式乘法是其逆运算，判断步骤①的变形类型后排除错误选项；②再回忆约分是约去分子分母公因式的过程，通分是统一异分母分式分母的过程，判断步骤②的变形类型即可锁定正确答案。
【解析】
我们先明确各运算的定义：
1. 分解因式：把一个多项式化为几个整式的积的形式，它和整式乘法是互逆运算；
2. 约分：根据分式的基本性质，约去分式分子、分母中公因式的过程；通分是把多个异分母分式化为同分母分式的过程。
分析步骤①：
分子$4m - m^2 = m(4 - m)$是提取公因式分解因式，分母$m^2 - 8m + 16 = (4 - m)^2$是利用完全平方公式分解因式，因此步骤①属于分解因式，排除A、D选项。
分析步骤②：
分子、分母存在公因式$4 - m$（隐含$4 - m ≠ 0$），约去该公因式后得到$\frac{m}{4 - m}$，这个过程是约分，排除B选项。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
因式分解的定义；分式的约分；完全平方公式
【点评】
本题属于基础概念辨析题，主要考查对因式分解、约分、通分等核心概念的区分，只要准确掌握相关定义就能快速解答。
【难度系数】
0.8