登录
3. 如图，正方形ABCD与正方形A'B'C'D'关于点O成中心对称.
(1)找出它们的对称中心O；
(2)若正方形ABCD的边长为1，图形重合部分为正方形，面积为y，线段OB的长为x，写出y关于x的函数解析式.
(1)找出它们的对称中心O；
(2)若正方形ABCD的边长为1，图形重合部分为正方形，面积为y，线段OB的长为x，写出y关于x的函数解析式.
答案
1. 作图提示：连接DD'与AA'，交点即为对称中心O；
2. y=(2−√2 x)².
2. y=(2−√2 x)².
解析
【分析】
(1) 根据中心对称的性质：成中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，且被对称中心平分，因此只需找到两组对应点，连接对应点，两条连线的交点就是对称中心O，选择对应点A和A'、D和D'连线即可找到O。
(2) 求重合正方形的面积需要先求其边长：首先用勾股定理算出正方形ABCD的对角线长，再结合中心对称对应点到对称中心距离相等的性质，求出重合小正方形的对角线长，最后利用正方形边长与对角线的关系算出边长，代入面积公式即可得到y关于x的函数解析式。
【解析】
(1) 连接对应点AA'和DD'，两条线段的交点即为对称中心O。
(2) ① 计算正方形ABCD的对角线长：已知正方形边长为1，由勾股定理得对角线长为$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$。
② 求重合小正方形的对角线长度：由中心对称性质得$OB'=OB=x$，两个正方形对角线共线，总长度为$\sqrt{2}+\sqrt{2}=2\sqrt{2}$，因此重合部分的对角线长为$2\sqrt{2}-2x$。
③ 求小正方形边长：正方形边长=对角线÷$\sqrt{2}$，代入得边长为$\frac{2\sqrt{2}-2x}{\sqrt{2}}=2-\sqrt{2}x$。
④ 计算面积：正方形面积=边长²，因此$y=(2-\sqrt{2}x)^2$。
【答案】
(1) 连接AA'与DD'，交点即为对称中心O；
(2) $y=(2-\sqrt{2}x)^2$
【知识点】
中心对称的性质，正方形的性质，勾股定理
【点评】
本题结合中心对称和正方形的性质考查函数解析式的求解，解题的关键是利用中心对称的性质梳理出重合正方形边长与已知线段的关系，既考查了基础性质的识记，也考查了几何推导能力。
【难度系数】
0.65
(1) 根据中心对称的性质：成中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，且被对称中心平分，因此只需找到两组对应点，连接对应点，两条连线的交点就是对称中心O，选择对应点A和A'、D和D'连线即可找到O。
(2) 求重合正方形的面积需要先求其边长：首先用勾股定理算出正方形ABCD的对角线长，再结合中心对称对应点到对称中心距离相等的性质，求出重合小正方形的对角线长，最后利用正方形边长与对角线的关系算出边长，代入面积公式即可得到y关于x的函数解析式。
【解析】
(1) 连接对应点AA'和DD'，两条线段的交点即为对称中心O。
(2) ① 计算正方形ABCD的对角线长：已知正方形边长为1，由勾股定理得对角线长为$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$。
② 求重合小正方形的对角线长度：由中心对称性质得$OB'=OB=x$，两个正方形对角线共线，总长度为$\sqrt{2}+\sqrt{2}=2\sqrt{2}$，因此重合部分的对角线长为$2\sqrt{2}-2x$。
③ 求小正方形边长：正方形边长=对角线÷$\sqrt{2}$，代入得边长为$\frac{2\sqrt{2}-2x}{\sqrt{2}}=2-\sqrt{2}x$。
④ 计算面积：正方形面积=边长²，因此$y=(2-\sqrt{2}x)^2$。
【答案】
(1) 连接AA'与DD'，交点即为对称中心O；
(2) $y=(2-\sqrt{2}x)^2$
【知识点】
中心对称的性质，正方形的性质，勾股定理
【点评】
本题结合中心对称和正方形的性质考查函数解析式的求解，解题的关键是利用中心对称的性质梳理出重合正方形边长与已知线段的关系，既考查了基础性质的识记，也考查了几何推导能力。
【难度系数】
0.65
4. 如图，在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$CD$是高.
(1)用直尺和圆规作$△ EFG$，使$△ EFG$与$△ ABC$关于点$D$对称(保留作图痕迹，不写作法)，连接$AG$，$CE$，求证：四边形$ACEG$是菱形；
(2)若$AD=6$，$DB:BC=1:2$，求(1)中的菱形$ACEG$的高.
(1)用直尺和圆规作$△ EFG$，使$△ EFG$与$△ ABC$关于点$D$对称(保留作图痕迹，不写作法)，连接$AG$，$CE$，求证：四边形$ACEG$是菱形；
(2)若$AD=6$，$DB:BC=1:2$，求(1)中的菱形$ACEG$的高.
答案
1. 作图如图所示
. 证明：由作图可知DA=DE，DC=DG，∴四边形ACEG是平行四边形.
∵AE⊥CG，
∴四边形ACEG是菱形.
2.
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，
∴∠BDC=∠ACB=90°.
∵DB：BC=1：2，
∴∠BCD=∠BAC=30°. 在Rt△ACD中，AD=6，由勾股定理，得CD=2√3，AC=4√3，即菱形ACEG的边长为4√3.
∵四边形ACEG是菱形，
∴AE=2AD=12，CG=2CD=4√3. 设菱形的高为h，则$S_{菱形ACEG}=\frac{1}{2}AE · CG=AC · h$，即$\frac{1}{2}×12×4\sqrt{3}=4\sqrt{3} · h$，解得h=6，即菱形ACEG的高为6.
解析
【分析】
（1）要作△EFG与△ABC关于点D中心对称，根据中心对称的性质，只需分别作出点A、B、C关于点D的对称点E、F、G，再顺次连接即可；证明四边形是菱形时，先由中心对称的性质得到对角线互相平分，证出四边形是平行四边形，再结合已知CD⊥AB即对角线互相垂直，即可判定为菱形。
（2）求菱形的高时，可先利用直角三角形的角度关系、勾股定理求出菱形的边长和对角线长度，再根据菱形面积的两种计算方法（对角线乘积的一半、底乘高）建立等式求解高。
【解析】
(1) 作图如下。
证明：由中心对称的作图性质可知，点A与E关于D对称，点C与G关于D对称，因此$DA=DE$，$DC=DG$，
∴ 四边形ACEG的对角线互相平分，即四边形ACEG是平行四边形，
又
∵ CD是Rt△ABC的高，
∴ $AE⊥CG$，
∴ 对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即四边形ACEG是菱形。
(2) 解：在$Rt△ABC$中，$∠ACB=90°$，CD是高，
∴ $∠BDC=∠ACB=90°$，
∵ $DB:BC=1:2$，在$Rt△BCD$中，直角边是斜边的一半时所对的角为30°，
∴ $∠BCD=30°$，
又
∵ $∠BAC + ∠B = 90°$，$∠BCD + ∠B = 90°$，同角的余角相等，
∴ $∠BAC=∠BCD=30°$，
在$Rt△ACD$中，$AD=6$，$∠BAC=30°$，设$CD=x$，则$AC=2x$，由勾股定理得：
$AD^2 + CD^2 = AC^2$，即$6^2 + x^2 = (2x)^2$，
解得$x=2\sqrt{3}$，即$CD=2\sqrt{3}$，$AC=4\sqrt{3}$，即菱形ACEG的边长为$4\sqrt{3}$，
∵ 四边形ACEG是菱形，
∴ 对角线$AE=2AD=12$，$CG=2CD=4\sqrt{3}$，
设菱形的高为h，菱形面积可表示为$\frac{1}{2}×对角线乘积$，也可表示为$底×高$，因此：
$S_{菱形ACEG}=\frac{1}{2}AE · CG = AC · h$，
代入数值：$\frac{1}{2}×12×4\sqrt{3}=4\sqrt{3} · h$，
解得$h=6$。
【答案】
1. 作图如图所示。 证明：由作图可知DA=DE，DC=DG，
∴四边形ACEG是平行四边形.
∵AE⊥CG，
∴四边形ACEG是菱形.
2. 菱形ACEG的高为6.
【知识点】
中心对称的性质，菱形的判定与性质，直角三角形的性质
【点评】
本题综合考查了尺规作图、中心对称的性质、菱形的判定和性质、直角三角形的边角关系以及面积法的应用，解题的关键是熟练掌握相关几何性质，灵活运用面积法求解线段长度。
【难度系数】
0.7
（1）要作△EFG与△ABC关于点D中心对称，根据中心对称的性质，只需分别作出点A、B、C关于点D的对称点E、F、G，再顺次连接即可；证明四边形是菱形时，先由中心对称的性质得到对角线互相平分，证出四边形是平行四边形，再结合已知CD⊥AB即对角线互相垂直，即可判定为菱形。
（2）求菱形的高时，可先利用直角三角形的角度关系、勾股定理求出菱形的边长和对角线长度，再根据菱形面积的两种计算方法（对角线乘积的一半、底乘高）建立等式求解高。
【解析】
(1) 作图如下
。证明：由中心对称的作图性质可知，点A与E关于D对称，点C与G关于D对称，因此$DA=DE$，$DC=DG$，
∴ 四边形ACEG的对角线互相平分，即四边形ACEG是平行四边形，
又
∵ CD是Rt△ABC的高，
∴ $AE⊥CG$，
∴ 对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即四边形ACEG是菱形。
(2) 解：在$Rt△ABC$中，$∠ACB=90°$，CD是高，
∴ $∠BDC=∠ACB=90°$，
∵ $DB:BC=1:2$，在$Rt△BCD$中，直角边是斜边的一半时所对的角为30°，
∴ $∠BCD=30°$，
又
∵ $∠BAC + ∠B = 90°$，$∠BCD + ∠B = 90°$，同角的余角相等，
∴ $∠BAC=∠BCD=30°$，
在$Rt△ACD$中，$AD=6$，$∠BAC=30°$，设$CD=x$，则$AC=2x$，由勾股定理得：
$AD^2 + CD^2 = AC^2$，即$6^2 + x^2 = (2x)^2$，
解得$x=2\sqrt{3}$，即$CD=2\sqrt{3}$，$AC=4\sqrt{3}$，即菱形ACEG的边长为$4\sqrt{3}$，
∵ 四边形ACEG是菱形，
∴ 对角线$AE=2AD=12$，$CG=2CD=4\sqrt{3}$，
设菱形的高为h，菱形面积可表示为$\frac{1}{2}×对角线乘积$，也可表示为$底×高$，因此：
$S_{菱形ACEG}=\frac{1}{2}AE · CG = AC · h$，
代入数值：$\frac{1}{2}×12×4\sqrt{3}=4\sqrt{3} · h$，
解得$h=6$。
【答案】
1. 作图如图所示
。 证明：由作图可知DA=DE，DC=DG，∴四边形ACEG是平行四边形.
∵AE⊥CG，
∴四边形ACEG是菱形.
2. 菱形ACEG的高为6.
【知识点】
中心对称的性质，菱形的判定与性质，直角三角形的性质
【点评】
本题综合考查了尺规作图、中心对称的性质、菱形的判定和性质、直角三角形的边角关系以及面积法的应用，解题的关键是熟练掌握相关几何性质，灵活运用面积法求解线段长度。
【难度系数】
0.7
1. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史. 下列由两种棋子摆成的图案是中心对称图形的是(
A
).答案
1. A
解析
【分析】
本题考查中心对称图形的识别，解题的核心是牢记中心对称图形的判定标准：在平面内，将一个图形绕某个固定点旋转180°，若旋转后的图形能与原图形完全重合，该图形即为中心对称图形。我们只需对四个选项依次按该标准验证，判断旋转180°后阴影棋子、空白棋子的位置是否和原图一致，即可得出答案。
【解析】
根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，若旋转后的图形能够与原来的图形重合，这个图形就是中心对称图形，对各选项逐一判断：
A选项：将该图案绕中心旋转180°后，阴影棋子和空白棋子的位置均与原图案完全重合，是中心对称图形，符合题意；
B选项：将该图案绕中心旋转180°后，阴影棋子的位置与原图案不匹配，不是中心对称图形，不符合题意；
C选项：将该图案绕中心旋转180°后，阴影棋子的位置与原图案不匹配，不是中心对称图形，不符合题意；
D选项：将该图案绕中心旋转180°后，阴影棋子的位置与原图案不匹配，不是中心对称图形，不符合题意。
综上，本题选A。
【答案】
A
【知识点】
中心对称图形的判定
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对中心对称图形定义的理解和应用，只要掌握“旋转180°后与自身重合”这一核心判断依据，就能快速选出正确答案。
【难度系数】
0.8
本题考查中心对称图形的识别，解题的核心是牢记中心对称图形的判定标准：在平面内，将一个图形绕某个固定点旋转180°，若旋转后的图形能与原图形完全重合，该图形即为中心对称图形。我们只需对四个选项依次按该标准验证，判断旋转180°后阴影棋子、空白棋子的位置是否和原图一致，即可得出答案。
【解析】
根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，若旋转后的图形能够与原来的图形重合，这个图形就是中心对称图形，对各选项逐一判断：
A选项：将该图案绕中心旋转180°后，阴影棋子和空白棋子的位置均与原图案完全重合，是中心对称图形，符合题意；
B选项：将该图案绕中心旋转180°后，阴影棋子的位置与原图案不匹配，不是中心对称图形，不符合题意；
C选项：将该图案绕中心旋转180°后，阴影棋子的位置与原图案不匹配，不是中心对称图形，不符合题意；
D选项：将该图案绕中心旋转180°后，阴影棋子的位置与原图案不匹配，不是中心对称图形，不符合题意。
综上，本题选A。
【答案】
A
【知识点】
中心对称图形的判定
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对中心对称图形定义的理解和应用，只要掌握“旋转180°后与自身重合”这一核心判断依据，就能快速选出正确答案。
【难度系数】
0.8
