3. 如图，在扇形AOB中，OA=3，∠AOB=120°，点C是$\overset{\frown}{AB}$上的动点，以BC为边作正方形BCDE. 当点C从点A移动至点B时，求点D经过的路径长.

点D经过的路径长为$2\sqrt{2}π$. 理由如下：如图，延长$BO$交$\odot O$于$F$，取$\overset{\frown}{BF}$的中点$H$，连接$FH$，$HB$，$BD$. 易知$△ FHB$是等腰直角三角形，$HF=HB$，$∠ FHB=90°$. 由$∠ FDB=45°=\dfrac{1}{2}∠ FHB$，$\therefore$点$D$在$\odot H$上运动，轨迹是$\overset{\frown}{GB}$，易知$∠ HFG=∠ HGF=15°$，$\therefore∠ FHG=150°$，$\therefore∠ GHB=120°$，易知$HB=3\sqrt{2}$，$\therefore$点$D$的运动轨迹的长为$\dfrac{120·π·3\sqrt{2}}{180}=2\sqrt{2}π$.

【分析】
要计算点D经过的路径长，首先需要确定点D的运动轨迹：点C在弧AB上运动，以BC为边作正方形BCDE时，BD与BC的长度比恒为$\sqrt{2}$，夹角恒为45°，说明D的轨迹为圆弧。解题时先通过构造辅助线找到D所在圆的圆心，再确定圆弧对应的半径和圆心角，最后代入弧长公式计算即可。
【解析】
1. 作辅助线：延长BO交$\odot O$于点F，取$\overset{\frown}{BF}$的中点H，连接FH、HB、BD。
2. 推导$\odot H$的半径：
已知OA=OB=3，FB为$\odot O$的直径，故FB=6，H是$\overset{\frown}{BF}$中点，因此$∠ FOH=∠ BOH=90°$，由勾股定理得$HB=\sqrt{OB^2+OH^2}=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$，且$∠ FHB=90°$，即$△ FHB$是等腰直角三角形。
3. 确定点D的运动轨迹：
正方形BCDE中，$∠ CBD=45°$，结合直径所对圆周角为直角的性质可推得$∠ FDB=45°=\frac{1}{2}∠ FHB$，根据圆周角定理可知，点D在以H为圆心、HB为半径的圆上运动。
4. 计算路径长：
当点C从A运动到B时，点D的轨迹对应的圆心角为$120°$，半径$r=3\sqrt{2}$，代入弧长公式：
$l=\frac{nπ r}{180}=\frac{120· π· 3\sqrt{2}}{180}=2\sqrt{2}π$
【答案】
点D经过的路径长为$2\sqrt{2}π$。
【知识点】
圆周角定理，正方形的性质，弧长计算
【点评】
本题属于几何动点综合题，核心难点是判断动点D的运动轨迹为圆弧，解题时需要结合正方形的固定角度关系和圆周角定理确定轨迹的圆心、半径及圆心角，再代入弧长公式求解，对几何性质的综合运用能力要求较高。
【难度系数】
0.3