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1. 计算下列阴影部分的面积.
(1)如图 1，正六边形 ABCDEF 的边长为 4，中心为点 O，以点 O 为圆心，以 AB 长为半径作圆心角为 $120°$的扇形，则图中阴影部分的面积为
(2)如图 2，扇形 ABC 的半径长为 2，$∠ ABC=90°$，以 AB 为直径画半圆，取弧 $\overset{\frown}{AB}$ 的中点 D，连接 CD，则阴影部分的面积为
(1)如图 1，正六边形 ABCDEF 的边长为 4，中心为点 O，以点 O 为圆心，以 AB 长为半径作圆心角为 $120°$的扇形，则图中阴影部分的面积为
$\dfrac{16π}{3}-8\sqrt{3}$
.(2)如图 2，扇形 ABC 的半径长为 2，$∠ ABC=90°$，以 AB 为直径画半圆，取弧 $\overset{\frown}{AB}$ 的中点 D，连接 CD，则阴影部分的面积为
$\dfrac{5π}{4}-\dfrac{1}{2}$
.答案
1. (1)$\dfrac{16π}{3}-8\sqrt{3}$ (2)$\dfrac{5π}{4}-\dfrac{1}{2}$[提示：(1)如图1，连接$OA$，$OE$，$OF$. 根据正六边形的性质得$S_{\mathrm{五边形}AGOHF}=S_{\mathrm{四边形}AOEF}$，再根据$S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{扇形}}-S_{\mathrm{五边形}AGOHF}$求出结果.
(2)如图2，过点$D$作$DE⊥ BC$交$CB$的延长线于点$E$. 由已知可推出阴影部分的面积等于扇形$ABC$的面积加$\dfrac{1}{2}$个半圆$ADB$的面积，加上以$DE$为边长的小正方形的面积，再减去$△ DCE$的面积.]
解析
【分析】
(1) 首先回忆正六边形的性质：正六边形的边长等于其外接圆半径，每个中心角为$60°$。观察图形可知，阴影部分面积可转化为圆心角$120°$的扇形面积减去内部空白多边形的面积；根据旋转的性质可推出空白五边形的面积等于四边形$AOEF$的面积，而四边形$AOEF$由两个边长为4的等边三角形组成，分别计算扇形和四边形面积后作差即可得到结果。
(2) 本题为不规则阴影面积计算，采用割补法转化求解：先计算扇形$ABC$的面积，结合$D$是半圆弧$\overset{\frown}{AB}$中点的性质，将阴影部分拆解为扇形$ABC$、$\frac{1}{4}$小圆（半圆的一半）、边长为1的小正方形的面积和，再减去底为3、高为1的$△ DCE$的面积，代入数值计算即可。
【解析】
(1) $\because$ 正六边形$ABCDEF$的边长为4，中心为$O$，
$\therefore OA=OF=FE=EO=AB=4$，正六边形每个中心角为$360°÷6=60°$，
$\therefore ∠ AOF=∠ FOE=60°$，即$∠ AOE=120°$，四边形$AOEF$由2个边长为4的等边三角形组成，
$\therefore S_{\mathrm{四边形}AOEF}=2×\frac{\sqrt{3}}{4}×4^2=8\sqrt{3}$。
由旋转性质可知，空白五边形$AGOHF$的面积等于四边形$AOEF$的面积，
圆心角为$120°$、半径为4的扇形面积：$S_{\mathrm{扇形}}=\frac{120°}{360°}×π×4^2=\frac{16π}{3}$，
$\therefore S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{扇形}}-S_{\mathrm{四边形}AOEF}=\frac{16π}{3}-8\sqrt{3}$。
(2) $\because$ 扇形$ABC$的半径为2，$∠ ABC=90°$，
$\therefore S_{\mathrm{扇形}ABC}=\frac{90°}{360°}×π×2^2=π$，$AB=BC=2$。
以$AB$为直径的半圆半径$r=2÷2=1$，$D$是$\overset{\frown}{AB}$的中点，过$D$作$DE⊥ BC$交$CB$的延长线于$E$，
则四边形$DEBO$为边长1的正方形，$S_{\mathrm{正方形}DEBO}=1×1=1$，
$\frac{1}{2}$个半圆$ADB$的面积即$\frac{1}{4}$小圆的面积：$S_1=\frac{1}{4}×π×1^2=\frac{π}{4}$。
$△ DCE$中，$EC=EB+BC=1+2=3$，高$DE=1$，$\therefore S_{△ DCE}=\frac{1}{2}×3×1=\frac{3}{2}$，
$\therefore S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{扇形}ABC}+S_1+S_{\mathrm{正方形}DEBO}-S_{△ DCE}=π+\frac{π}{4}+1-\frac{3}{2}=\frac{5π}{4}-\frac{1}{2}$。
【答案】
(1)$\dfrac{16π}{3}-8\sqrt{3}$ (2)$\dfrac{5π}{4}-\dfrac{1}{2}$
【知识点】
扇形面积计算，正多边形的性质，割补法求阴影面积
【点评】
这两道题主要考查不规则阴影面积的计算，解题核心是通过旋转转化、割补等方法，将不规则图形的面积转化为扇形、正多边形、三角形等规则图形面积的和差，需要熟练掌握常见规则图形的面积公式，灵活运用图形变换简化计算。
【难度系数】
0.6
(1) 首先回忆正六边形的性质：正六边形的边长等于其外接圆半径，每个中心角为$60°$。观察图形可知，阴影部分面积可转化为圆心角$120°$的扇形面积减去内部空白多边形的面积；根据旋转的性质可推出空白五边形的面积等于四边形$AOEF$的面积，而四边形$AOEF$由两个边长为4的等边三角形组成，分别计算扇形和四边形面积后作差即可得到结果。
(2) 本题为不规则阴影面积计算，采用割补法转化求解：先计算扇形$ABC$的面积，结合$D$是半圆弧$\overset{\frown}{AB}$中点的性质，将阴影部分拆解为扇形$ABC$、$\frac{1}{4}$小圆（半圆的一半）、边长为1的小正方形的面积和，再减去底为3、高为1的$△ DCE$的面积，代入数值计算即可。
【解析】
(1) $\because$ 正六边形$ABCDEF$的边长为4，中心为$O$，
$\therefore OA=OF=FE=EO=AB=4$，正六边形每个中心角为$360°÷6=60°$，
$\therefore ∠ AOF=∠ FOE=60°$，即$∠ AOE=120°$，四边形$AOEF$由2个边长为4的等边三角形组成，
$\therefore S_{\mathrm{四边形}AOEF}=2×\frac{\sqrt{3}}{4}×4^2=8\sqrt{3}$。
由旋转性质可知，空白五边形$AGOHF$的面积等于四边形$AOEF$的面积，
圆心角为$120°$、半径为4的扇形面积：$S_{\mathrm{扇形}}=\frac{120°}{360°}×π×4^2=\frac{16π}{3}$，
$\therefore S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{扇形}}-S_{\mathrm{四边形}AOEF}=\frac{16π}{3}-8\sqrt{3}$。
(2) $\because$ 扇形$ABC$的半径为2，$∠ ABC=90°$，
$\therefore S_{\mathrm{扇形}ABC}=\frac{90°}{360°}×π×2^2=π$，$AB=BC=2$。
以$AB$为直径的半圆半径$r=2÷2=1$，$D$是$\overset{\frown}{AB}$的中点，过$D$作$DE⊥ BC$交$CB$的延长线于$E$，
则四边形$DEBO$为边长1的正方形，$S_{\mathrm{正方形}DEBO}=1×1=1$，
$\frac{1}{2}$个半圆$ADB$的面积即$\frac{1}{4}$小圆的面积：$S_1=\frac{1}{4}×π×1^2=\frac{π}{4}$。
$△ DCE$中，$EC=EB+BC=1+2=3$，高$DE=1$，$\therefore S_{△ DCE}=\frac{1}{2}×3×1=\frac{3}{2}$，
$\therefore S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{扇形}ABC}+S_1+S_{\mathrm{正方形}DEBO}-S_{△ DCE}=π+\frac{π}{4}+1-\frac{3}{2}=\frac{5π}{4}-\frac{1}{2}$。
【答案】
(1)$\dfrac{16π}{3}-8\sqrt{3}$ (2)$\dfrac{5π}{4}-\dfrac{1}{2}$
【知识点】
扇形面积计算，正多边形的性质，割补法求阴影面积
【点评】
这两道题主要考查不规则阴影面积的计算，解题核心是通过旋转转化、割补等方法，将不规则图形的面积转化为扇形、正多边形、三角形等规则图形面积的和差，需要熟练掌握常见规则图形的面积公式，灵活运用图形变换简化计算。
【难度系数】
0.6
2. 有若干块半圆形木板，在直径MN上取两点C，D，作$AC⊥ MN$，与半圆交于点A，作$BD⊥ MN$，与半圆交于点B.
(1)如图1，使得$CM=DN$，则有$\overset{\frown}{AM}$
(2)如图2，从这块木板中裁出两块阴影部分的木料，使得$\overset{\frown}{AB}$所对的圆心角为$90°$.
①若$MN=100\ \mathrm{cm}$，求裁出的两块木料的周长之和；
②若$AC+CM =48\ \mathrm{cm}$，$BD+DN =32\ \mathrm{cm}$，求裁出的两块木料的面积之和.
(3)如图3，在线段CD上取点F，作$EF⊥ MN$，与半圆相交于点E，若$CM=DN$，$CF· DF=m$，$AC=n$，请直接写出EF的长(用含$m$，$n$的代数式表示).
(1)如图1，使得$CM=DN$，则有$\overset{\frown}{AM}$
=
$\overset{\frown}{BN}$(填“＞”“＜”或“=”).(2)如图2，从这块木板中裁出两块阴影部分的木料，使得$\overset{\frown}{AB}$所对的圆心角为$90°$.
①若$MN=100\ \mathrm{cm}$，求裁出的两块木料的周长之和；
②若$AC+CM =48\ \mathrm{cm}$，$BD+DN =32\ \mathrm{cm}$，求裁出的两块木料的面积之和.
(3)如图3，在线段CD上取点F，作$EF⊥ MN$，与半圆相交于点E，若$CM=DN$，$CF· DF=m$，$AC=n$，请直接写出EF的长(用含$m$，$n$的代数式表示).
答案
2. (1)= (2)①如图1，连接$OA$，$OB$. 由题意，得$∠ AOB=90°$，$\therefore∠ AOC+∠ BOD=90°$. $\because AC⊥ MN$，$BD⊥ MN$，$\therefore∠ ACO=∠ BDO=90°$，$\therefore∠ AOC+∠ OAC=90°$，$\therefore∠ OAC=∠ BOD$. 又$\because OA=OB$，$\therefore△ OAC≌△ BOD(\mathrm{AAS})$，$\therefore AC=OD$，$OC=BD$. $\because l_{\overset{\frown}{AM}}+l_{\overset{\frown}{BN}}=l_{\overset{\frown}{MN}}-l_{\overset{\frown}{AB}}=25π$，$CM+AC+BD+DN=CM+OD+OC+DN=MN=100(\mathrm{cm})$，$\therefore$两块木料的周长之和为$(100+25π)\mathrm{cm}$.
②由①可知，$MN=AC+CM+BD+DN=48+32=80(\mathrm{cm})$，$\therefore OM=ON=\dfrac{MN}{2}=40(\mathrm{cm})$，$\therefore OM-(BD+DN)=OD+DN-BD-DN=OD-BD=40-32=8(\mathrm{cm})$，$\therefore OD=BD+8$. 又$OB=ON=40(\mathrm{cm})$，$\therefore$在$\mathrm{Rt}△ OBD$中，$OB^2=OD^2+BD^2$，$40^2=(BD+8)^2+BD^2$，解得$BD=24(\mathrm{cm})$，$\therefore OD=BD+8=32(\mathrm{cm})$，$\therefore S_{△ OBD}=\dfrac{1}{2}OD· BD=384\ \mathrm{cm}^2$，由①可知，$△ OAC≌△ BOD$，$\therefore S_{△ OAC}=S_{△ OBD}=384$. 由图可知，阴影部分的面积$=$半圆$MON$的面积$-$扇形$AOB$的面积$-S_{△ OAC}-S_{△ OBD}=\dfrac{180π×40^2}{360}-\dfrac{90π×40^2}{360}-384-384=400π-768(\mathrm{cm}^2)$，故裁出的两块木料的面积和为$(400π-768)\mathrm{cm}^2$.
(3)$EF=\sqrt{m+n^2}$.（提示：如图2，连接$OE$，$OB$. 由(1)得$OC=OD$，$BD=AC=n$，$\therefore OD=DF+OF$，$CF=OC+OF=OD+OF=DF+OF+OF=DF+2OF$. $\because OE=OB$，$EF⊥ MN$，$BD⊥ MN$，$\therefore OE^2=OF^2+EF^2=OB^2=OD^2+BD^2$，$\therefore OF^2+EF^2=OD^2+BD^2$，即$OF^2+EF^2=(DF+OF)^2+n^2$，整理得$EF^2=(DF+OF)^2-OF^2+n^2=(DF+OF-OF)(DF+OF+OF)+n^2$，即$EF^2=DF(DF+2OF)+n^2=DF· CF+n^2=m+n^2$，$\therefore EF=\sqrt{m+n^2}$.）
解析
【分析】
(1) 同圆中弧的大小由对应圆心角决定。已知半圆半径$OM=ON$，结合$CM=DN$可推出$OC=OD$，再结合$AC⊥ MN$、$BD⊥ MN$，可证$Rt△ OAC≌ Rt△ OBD$，得到$∠ AOC=∠ BOD$，即可判断弧的关系。
(2) ①求两块阴影周长之和，先明确周长包含两段弧$\overset{\frown}{AM}$、$\overset{\frown}{BN}$和线段$CM、AC、BD、DN$。连接$OA、OB$，证$△ OAC≌△ BOD$，可将线段部分的和转化为直径$MN$的长度；再根据$∠ AOB=90°$算出两段弧长的和，相加即可得到总周长。
②先由①的边的关系推出直径$MN$的长度，得到半径；再在$Rt△ OBD$中用勾股定理求出$BD、OD$的长度，算出两个全等三角形的面积；阴影面积等于半圆面积减去扇形$AOB$的面积，再减去两个三角形的面积即可求解。
(3) 连接$OE、OB$，由(1)的结论得$OC=OD$、$BD=AC=n$，分别在$Rt△ OEF$和$Rt△ OBD$中用勾股定理，结合$CF·DF=m$对式子变形推导，即可求出$EF$的长度。
【解析】
(1) 连接$OA、OB$，$\because OM=ON$，$CM=DN$，$\therefore OM-CM=ON-DN$，即$OC=OD$。$\because AC⊥ MN$，$BD⊥ MN$，$\therefore ∠ ACO=∠ BDO=90°$，又$OA=OB$，$\therefore Rt△ OAC≌ Rt△ OBD(HL)$，$\therefore ∠ AOC=∠ BOD$，$\therefore \overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{BN}$。
(2) ①连接$OA$，$OB$，由题意得$∠ AOB=90°$，$\therefore∠ AOC+∠ BOD=90°$。$\because AC⊥ MN$，$BD⊥ MN$，$\therefore∠ ACO=∠ BDO=90°$，$\therefore∠ AOC+∠ OAC=90°$，$\therefore∠ OAC=∠ BOD$。又$\because OA=OB$，$\therefore△ OAC≌△ BOD(\mathrm{AAS})$，$\therefore AC=OD$，$OC=BD$。
弧长部分：$l_{\overset{\frown}{AM}}+l_{\overset{\frown}{BN}}=l_{\overset{\frown}{MN}}-l_{\overset{\frown}{AB}}$，$MN=100\mathrm{cm}$，半径为$50\mathrm{cm}$，$l_{\overset{\frown}{MN}}=50π\mathrm{cm}$，$l_{\overset{\frown}{AB}}=25π\mathrm{cm}$，故两段弧长和为$50π-25π=25π\mathrm{cm}$。
线段部分：$CM+AC+BD+DN=CM+OD+OC+DN=OM+ON=MN=100\mathrm{cm}$，因此两块木料的周长之和为$(100+25π)\mathrm{cm}$。
②由①的结论可得$MN=AC+CM+BD+DN=48+32=80\mathrm{cm}$，$\therefore$半径$OM=ON=40\mathrm{cm}$。
$\because OM-(BD+DN)=OD+DN-BD-DN=OD-BD=40-32=8\mathrm{cm}$，$\therefore OD=BD+8$。
在$\mathrm{Rt}△ OBD$中，由勾股定理得$OB^2=OD^2+BD^2$，代入$OB=40\mathrm{cm}$得$40^2=(BD+8)^2+BD^2$，解得$BD=24\mathrm{cm}$（负根舍去），$\therefore OD=32\mathrm{cm}$，$S_{△ OBD}=\dfrac{1}{2}×32×24=384\mathrm{cm}^2$。
由$△ OAC≌△ BOD$得$S_{△ OAC}=S_{△ OBD}=384\mathrm{cm}^2$。
阴影面积$=$半圆面积$-$扇形$AOB$面积$-S_{△ OAC}-S_{△ OBD}=\dfrac{1}{2}π×40^2-\dfrac{90π×40^2}{360}-384-384=400π-768\mathrm{cm}^2$。
(3) 连接$OE$，$OB$，由(1)得$OC=OD$，$BD=AC=n$，$\therefore OD=DF+OF$，$CF=OC+OF=OD+OF=DF+2OF$。
由勾股定理得$OE^2=OF^2+EF^2$，$OB^2=OD^2+BD^2$，$\because OE=OB$，$\therefore OF^2+EF^2=(DF+OF)^2+n^2$，整理得$EF^2=DF(DF+2OF)+n^2=DF·CF+n^2=m+n^2$，$\therefore EF=\sqrt{m+n^2}$。
【答案】
(1)$=$
(2)①两块木料的周长之和为$(100+25π)\mathrm{cm}$；
②裁出的两块木料的面积和为$(400π-768)\mathrm{cm}^2$
(3)$EF=\sqrt{m+n^2}$
【知识点】
全等三角形判定与性质，圆的相关计算，勾股定理
【点评】
本题综合考查了圆的性质、全等三角形、勾股定理以及弧长、面积公式的应用，解题的核心是通过全等三角形实现线段的转化，对图形分析能力和代数计算能力有一定要求。
【难度系数】
0.4
(1) 同圆中弧的大小由对应圆心角决定。已知半圆半径$OM=ON$，结合$CM=DN$可推出$OC=OD$，再结合$AC⊥ MN$、$BD⊥ MN$，可证$Rt△ OAC≌ Rt△ OBD$，得到$∠ AOC=∠ BOD$，即可判断弧的关系。
(2) ①求两块阴影周长之和，先明确周长包含两段弧$\overset{\frown}{AM}$、$\overset{\frown}{BN}$和线段$CM、AC、BD、DN$。连接$OA、OB$，证$△ OAC≌△ BOD$，可将线段部分的和转化为直径$MN$的长度；再根据$∠ AOB=90°$算出两段弧长的和，相加即可得到总周长。
②先由①的边的关系推出直径$MN$的长度，得到半径；再在$Rt△ OBD$中用勾股定理求出$BD、OD$的长度，算出两个全等三角形的面积；阴影面积等于半圆面积减去扇形$AOB$的面积，再减去两个三角形的面积即可求解。
(3) 连接$OE、OB$，由(1)的结论得$OC=OD$、$BD=AC=n$，分别在$Rt△ OEF$和$Rt△ OBD$中用勾股定理，结合$CF·DF=m$对式子变形推导，即可求出$EF$的长度。
【解析】
(1) 连接$OA、OB$，$\because OM=ON$，$CM=DN$，$\therefore OM-CM=ON-DN$，即$OC=OD$。$\because AC⊥ MN$，$BD⊥ MN$，$\therefore ∠ ACO=∠ BDO=90°$，又$OA=OB$，$\therefore Rt△ OAC≌ Rt△ OBD(HL)$，$\therefore ∠ AOC=∠ BOD$，$\therefore \overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{BN}$。
(2) ①连接$OA$，$OB$，由题意得$∠ AOB=90°$，$\therefore∠ AOC+∠ BOD=90°$。$\because AC⊥ MN$，$BD⊥ MN$，$\therefore∠ ACO=∠ BDO=90°$，$\therefore∠ AOC+∠ OAC=90°$，$\therefore∠ OAC=∠ BOD$。又$\because OA=OB$，$\therefore△ OAC≌△ BOD(\mathrm{AAS})$，$\therefore AC=OD$，$OC=BD$。
弧长部分：$l_{\overset{\frown}{AM}}+l_{\overset{\frown}{BN}}=l_{\overset{\frown}{MN}}-l_{\overset{\frown}{AB}}$，$MN=100\mathrm{cm}$，半径为$50\mathrm{cm}$，$l_{\overset{\frown}{MN}}=50π\mathrm{cm}$，$l_{\overset{\frown}{AB}}=25π\mathrm{cm}$，故两段弧长和为$50π-25π=25π\mathrm{cm}$。
线段部分：$CM+AC+BD+DN=CM+OD+OC+DN=OM+ON=MN=100\mathrm{cm}$，因此两块木料的周长之和为$(100+25π)\mathrm{cm}$。
②由①的结论可得$MN=AC+CM+BD+DN=48+32=80\mathrm{cm}$，$\therefore$半径$OM=ON=40\mathrm{cm}$。
$\because OM-(BD+DN)=OD+DN-BD-DN=OD-BD=40-32=8\mathrm{cm}$，$\therefore OD=BD+8$。
在$\mathrm{Rt}△ OBD$中，由勾股定理得$OB^2=OD^2+BD^2$，代入$OB=40\mathrm{cm}$得$40^2=(BD+8)^2+BD^2$，解得$BD=24\mathrm{cm}$（负根舍去），$\therefore OD=32\mathrm{cm}$，$S_{△ OBD}=\dfrac{1}{2}×32×24=384\mathrm{cm}^2$。
由$△ OAC≌△ BOD$得$S_{△ OAC}=S_{△ OBD}=384\mathrm{cm}^2$。
阴影面积$=$半圆面积$-$扇形$AOB$面积$-S_{△ OAC}-S_{△ OBD}=\dfrac{1}{2}π×40^2-\dfrac{90π×40^2}{360}-384-384=400π-768\mathrm{cm}^2$。
(3) 连接$OE$，$OB$，由(1)得$OC=OD$，$BD=AC=n$，$\therefore OD=DF+OF$，$CF=OC+OF=OD+OF=DF+2OF$。
由勾股定理得$OE^2=OF^2+EF^2$，$OB^2=OD^2+BD^2$，$\because OE=OB$，$\therefore OF^2+EF^2=(DF+OF)^2+n^2$，整理得$EF^2=DF(DF+2OF)+n^2=DF·CF+n^2=m+n^2$，$\therefore EF=\sqrt{m+n^2}$。
【答案】
(1)$=$
(2)①两块木料的周长之和为$(100+25π)\mathrm{cm}$；
②裁出的两块木料的面积和为$(400π-768)\mathrm{cm}^2$
(3)$EF=\sqrt{m+n^2}$
【知识点】
全等三角形判定与性质，圆的相关计算，勾股定理
【点评】
本题综合考查了圆的性质、全等三角形、勾股定理以及弧长、面积公式的应用，解题的核心是通过全等三角形实现线段的转化，对图形分析能力和代数计算能力有一定要求。
【难度系数】
0.4
