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1. 已知圆的半径为6.5 cm，如果一条直线与圆心的距离为4.5 cm，那么这条直线与圆有
2
个交点。答案
1. 2
解析
【分析】
解决本题的核心是利用直线与圆位置关系的判定规则。首先我们需要从题干中提取两个关键数值：圆的半径r，以及圆心到直线的距离d；接着回忆判定规则：当d＜r时，直线与圆相交，有2个交点；当d=r时，直线与圆相切，有1个交点；当d＞r时，直线与圆相离，有0个交点。最后将提取的数值比较大小，对应规则即可得出答案。
【解析】
由题可知，圆的半径$ r=6.5\mathrm{cm} $，直线到圆心的距离$ d=4.5\mathrm{cm} $。
比较$ d $和$ r $的大小可得：$ 4.5\mathrm{cm}＜6.5\mathrm{cm} $，即$ d＜r $，此时直线与圆相交，因此直线与圆有2个交点。
【答案】
2
【知识点】
直线与圆的位置关系判定、直线与圆的交点特征
【点评】
本题属于基础类考题，直接考察直线与圆位置关系的判定应用，熟练掌握圆心到直线的距离与半径的大小关系、对应位置状态、交点数量三者的对应规律即可快速解答。
【难度系数】
0.9
解决本题的核心是利用直线与圆位置关系的判定规则。首先我们需要从题干中提取两个关键数值：圆的半径r，以及圆心到直线的距离d；接着回忆判定规则：当d＜r时，直线与圆相交，有2个交点；当d=r时，直线与圆相切，有1个交点；当d＞r时，直线与圆相离，有0个交点。最后将提取的数值比较大小，对应规则即可得出答案。
【解析】
由题可知，圆的半径$ r=6.5\mathrm{cm} $，直线到圆心的距离$ d=4.5\mathrm{cm} $。
比较$ d $和$ r $的大小可得：$ 4.5\mathrm{cm}＜6.5\mathrm{cm} $，即$ d＜r $，此时直线与圆相交，因此直线与圆有2个交点。
【答案】
2
【知识点】
直线与圆的位置关系判定、直线与圆的交点特征
【点评】
本题属于基础类考题，直接考察直线与圆位置关系的判定应用，熟练掌握圆心到直线的距离与半径的大小关系、对应位置状态、交点数量三者的对应规律即可快速解答。
【难度系数】
0.9
2. 已知矩形ABCD，AB=3，BC=6. 以A为圆心，r为半径作⊙A.
(1)当半径r的值为
(2)当半径r的值为
(3)当半径r的值为
(4)当半径r的取值范围为
(1)当半径r的值为
3
时，⊙A与BC相切；(2)当半径r的值为
6
时，⊙A与CD相切；(3)当半径r的值为
$\frac{6\sqrt{5}}{5}$
时，⊙A与BD相切；(4)当半径r的取值范围为
$3＜r＜6$
时，⊙A与直线BC相交且与直线CD相离.答案
(1) 3 (2) 6 (3) $\frac{6\sqrt{5}}{5}$ (4) $3＜r＜6$
解析
【分析】
解决本题的核心是牢记直线与圆的位置关系判定规则：设圆心到直线的距离为d，当d=r时，圆与直线相切；当d＜r时，圆与直线相交；当d＞r时，圆与直线相离。解题时先结合矩形的性质，分别求出点A到各条直线的距离，再结合位置关系的判定条件，对应求出r的值或取值范围即可：
(1) 矩形中AB垂直BC，点A到BC的距离就是AB的长度，相切时r等于该距离；
(2) 矩形中AD垂直CD，点A到CD的距离就是AD的长度，相切时r等于该距离；
(3) 求点A到对角线BD的距离，可利用直角三角形面积的两种计算方法求出垂线段长度，相切时r等于该长度；
(4) 分别根据相交、相离的判定条件列出r的范围，取公共区间即可。
【解析】
已知矩形ABCD，
∴∠BAD=∠ABC=∠ADC=90°，AB=3，BC=AD=6。
(1)
∵AB⊥BC，
∴点A到直线BC的距离d₁=AB=3，
∵⊙A与BC相切，
∴r=d₁=3；
(2)
∵AD⊥CD，
∴点A到直线CD的距离d₂=AD=6，
∵⊙A与CD相切，
∴r=d₂=6；
(3) 连接BD，过A作AF⊥BD于点F，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：$BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{3^2+6^2}=3\sqrt{5}$，
△ABD的面积$S=\frac{1}{2}×AB×AD=\frac{1}{2}×3×6=9$，
同时$S=\frac{1}{2}×BD×AF$，代入得$\frac{1}{2}×3\sqrt{5}×AF=9$，解得$AF=\frac{6\sqrt{5}}{5}$，
∵⊙A与BD相切，
∴$r=AF=\frac{6\sqrt{5}}{5}$；
(4) ⊙A与直线BC相交，则$r＞d₁=3$；
⊙A与直线CD相离，则$r＜d₂=6$；
综上，r的取值范围是$3＜r＜6$。
【答案】
(1) 3 (2) 6 (3) $\frac{6\sqrt{5}}{5}$ (4) $3＜r＜6$
【知识点】
直线与圆的位置关系；矩形的性质；勾股定理
【点评】本题重点考查直线与圆位置关系的实际应用，解题关键是准确求出圆心到对应直线的距离，再结合位置关系判定条件求解，其中求点到对角线的距离用到的等面积法，是几何中求垂线段长度的常用方法。
【难度系数】
0.75
解决本题的核心是牢记直线与圆的位置关系判定规则：设圆心到直线的距离为d，当d=r时，圆与直线相切；当d＜r时，圆与直线相交；当d＞r时，圆与直线相离。解题时先结合矩形的性质，分别求出点A到各条直线的距离，再结合位置关系的判定条件，对应求出r的值或取值范围即可：
(1) 矩形中AB垂直BC，点A到BC的距离就是AB的长度，相切时r等于该距离；
(2) 矩形中AD垂直CD，点A到CD的距离就是AD的长度，相切时r等于该距离；
(3) 求点A到对角线BD的距离，可利用直角三角形面积的两种计算方法求出垂线段长度，相切时r等于该长度；
(4) 分别根据相交、相离的判定条件列出r的范围，取公共区间即可。
【解析】
已知矩形ABCD，
∴∠BAD=∠ABC=∠ADC=90°，AB=3，BC=AD=6。
(1)
∵AB⊥BC，
∴点A到直线BC的距离d₁=AB=3，
∵⊙A与BC相切，
∴r=d₁=3；
(2)
∵AD⊥CD，
∴点A到直线CD的距离d₂=AD=6，
∵⊙A与CD相切，
∴r=d₂=6；
(3) 连接BD，过A作AF⊥BD于点F，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：$BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{3^2+6^2}=3\sqrt{5}$，
△ABD的面积$S=\frac{1}{2}×AB×AD=\frac{1}{2}×3×6=9$，
同时$S=\frac{1}{2}×BD×AF$，代入得$\frac{1}{2}×3\sqrt{5}×AF=9$，解得$AF=\frac{6\sqrt{5}}{5}$，
∵⊙A与BD相切，
∴$r=AF=\frac{6\sqrt{5}}{5}$；
(4) ⊙A与直线BC相交，则$r＞d₁=3$；
⊙A与直线CD相离，则$r＜d₂=6$；
综上，r的取值范围是$3＜r＜6$。
【答案】
(1) 3 (2) 6 (3) $\frac{6\sqrt{5}}{5}$ (4) $3＜r＜6$
【知识点】
直线与圆的位置关系；矩形的性质；勾股定理
【点评】本题重点考查直线与圆位置关系的实际应用，解题关键是准确求出圆心到对应直线的距离，再结合位置关系判定条件求解，其中求点到对角线的距离用到的等面积法，是几何中求垂线段长度的常用方法。
【难度系数】
0.75
3. 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC≠ BC$，点$M$是边$AC$上的动点.过点$M$作$MN// AB$交$BC$于点$N$.现将$△ MNC$沿$MN$折叠，得到$△ MNP$.若点$P$在$AB$上，则以$MN$为直径的圆与直线$AB$的位置关系是
相交
.答案
3. 相交
解析
【分析】
要判断以MN为直径的圆与直线AB的位置关系，只需比较圆心到直线AB的距离d和圆半径r的大小关系：若d＞r则相离，d=r则相切，d＜r则相交。首先确定MN的中点为圆心，半径$r=\frac{1}{2}MN$；再结合折叠性质可得$∠ MPN=90°$，利用直角三角形斜边中线的性质得到圆心到AB上点P的距离等于半径r；最后根据垂线段最短，可推出圆心到AB的垂线段长度小于r，即可得出位置关系。
【解析】
设MN的中点为O，则O是以MN为直径的圆的圆心，该圆半径$ r=\frac{1}{2}MN $。
1. 由折叠的性质可知$ △ MNC ≌ △ MNP $，因为$ ∠ C=90° $，所以$ ∠ MPN=∠ C=90° $。
2. 在$ \mathrm{Rt}△ MPN $中，O是斜边MN的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得$ OP=\frac{1}{2}MN=r $。
3. 过点O作$ OQ ⊥ AB $于点Q，OQ即为圆心O到直线AB的距离d。根据垂线段最短，可得$ OQ ＜ OP $（已知$ AC ≠ BC $，故OP不与AB垂直，等号不成立），即$ d ＜ r $。
因此以MN为直径的圆与直线AB相交。
【答案】
相交
【知识点】
直线与圆的位置关系判定；折叠的性质；直角三角形斜边中线的性质
【点评】
本题属于几何综合题，将折叠变换、直角三角形性质与直线和圆的位置关系判定结合考查，解题的核心是掌握位置关系的判定方法，通过转化思想将问题转化为距离与半径的大小比较，结合垂线段最短即可求解。
【难度系数】
0.6
要判断以MN为直径的圆与直线AB的位置关系，只需比较圆心到直线AB的距离d和圆半径r的大小关系：若d＞r则相离，d=r则相切，d＜r则相交。首先确定MN的中点为圆心，半径$r=\frac{1}{2}MN$；再结合折叠性质可得$∠ MPN=90°$，利用直角三角形斜边中线的性质得到圆心到AB上点P的距离等于半径r；最后根据垂线段最短，可推出圆心到AB的垂线段长度小于r，即可得出位置关系。
【解析】
设MN的中点为O，则O是以MN为直径的圆的圆心，该圆半径$ r=\frac{1}{2}MN $。
1. 由折叠的性质可知$ △ MNC ≌ △ MNP $，因为$ ∠ C=90° $，所以$ ∠ MPN=∠ C=90° $。
2. 在$ \mathrm{Rt}△ MPN $中，O是斜边MN的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得$ OP=\frac{1}{2}MN=r $。
3. 过点O作$ OQ ⊥ AB $于点Q，OQ即为圆心O到直线AB的距离d。根据垂线段最短，可得$ OQ ＜ OP $（已知$ AC ≠ BC $，故OP不与AB垂直，等号不成立），即$ d ＜ r $。
因此以MN为直径的圆与直线AB相交。
【答案】
相交
【知识点】
直线与圆的位置关系判定；折叠的性质；直角三角形斜边中线的性质
【点评】
本题属于几何综合题，将折叠变换、直角三角形性质与直线和圆的位置关系判定结合考查，解题的核心是掌握位置关系的判定方法，通过转化思想将问题转化为距离与半径的大小比较，结合垂线段最短即可求解。
【难度系数】
0.6
4. 已知$\odot O$的直径为6 cm，如果直线$l$上的一点C与圆心O的距离为3 cm，则直线$l$与$\odot O$的位置关系是
相切或相交
。答案
4. 相切或相交
解析
【分析】
要判断直线与圆的位置关系，需先明确判定依据：比较圆心到直线的距离d与圆半径r的大小关系。首先由圆的直径求出半径r=3cm；注意题目给出的是直线l上一点C到圆心O的距离为3cm，这是两点间的距离，并非圆心到直线的距离。根据垂线段最短的性质，圆心到直线的距离d是O到直线l上所有点连线的最短长度，因此d≤OC=3cm，即d≤r，对应两种位置关系，分情况讨论即可得到结果。
【解析】
已知⊙O的直径为6cm，因此⊙O的半径$r=6÷2=3\mathrm{cm}$。
直线与圆的位置关系由圆心到直线的距离d与半径r的大小决定：
① 当$d＞r$时，直线与圆相离；
② 当$d=r$时，直线与圆相切；
③ 当$d＜r$时，直线与圆相交。
由题可知，直线l上存在点C满足$OC=3\mathrm{cm}$，根据垂线段最短的性质，圆心O到直线l的距离$d≤ OC=3\mathrm{cm}$，即$d≤ r$：
若$d=3\mathrm{cm}=r$，此时直线l与⊙O相切，C为切点；
若$d＜3\mathrm{cm}＜r$，此时直线l与⊙O相交，C为直线l与圆的交点。
因此直线l与⊙O的位置关系是相切或相交。
【答案】
相切或相交
【知识点】
直线与圆的位置关系判定；垂线段的性质
【点评】
本题易错点是混淆点到点的距离和点到直线的距离，误将OC的长度直接当成圆心到直线的距离，仅判断为相切，解题时要注意结合几何性质全面分析所有可能的情况。
【难度系数】
0.6
要判断直线与圆的位置关系，需先明确判定依据：比较圆心到直线的距离d与圆半径r的大小关系。首先由圆的直径求出半径r=3cm；注意题目给出的是直线l上一点C到圆心O的距离为3cm，这是两点间的距离，并非圆心到直线的距离。根据垂线段最短的性质，圆心到直线的距离d是O到直线l上所有点连线的最短长度，因此d≤OC=3cm，即d≤r，对应两种位置关系，分情况讨论即可得到结果。
【解析】
已知⊙O的直径为6cm，因此⊙O的半径$r=6÷2=3\mathrm{cm}$。
直线与圆的位置关系由圆心到直线的距离d与半径r的大小决定：
① 当$d＞r$时，直线与圆相离；
② 当$d=r$时，直线与圆相切；
③ 当$d＜r$时，直线与圆相交。
由题可知，直线l上存在点C满足$OC=3\mathrm{cm}$，根据垂线段最短的性质，圆心O到直线l的距离$d≤ OC=3\mathrm{cm}$，即$d≤ r$：
若$d=3\mathrm{cm}=r$，此时直线l与⊙O相切，C为切点；
若$d＜3\mathrm{cm}＜r$，此时直线l与⊙O相交，C为直线l与圆的交点。
因此直线l与⊙O的位置关系是相切或相交。
【答案】
相切或相交
【知识点】
直线与圆的位置关系判定；垂线段的性质
【点评】
本题易错点是混淆点到点的距离和点到直线的距离，误将OC的长度直接当成圆心到直线的距离，仅判断为相切，解题时要注意结合几何性质全面分析所有可能的情况。
【难度系数】
0.6
5. 以坐标原点O为圆心，作半径为2的圆. 若直线$y=-x+b$与$\odot O$相交，则b的取值范围为
$-2\sqrt{2}＜b＜2\sqrt{2}$
.答案
5. $-2\sqrt{2}＜b＜2\sqrt{2}$
解析
【分析】
解题时首先回忆直线与圆相交的判定规则：当圆心到直线的距离小于圆的半径时，直线和圆相交。第一步先明确已知条件：⊙O的圆心为原点(0,0)，半径r=2；第二步将直线解析式整理为一般式，方便代入点到直线的距离公式计算距离；第三步根据相交的判定条件列不等式，解不等式即可得到b的取值范围，注意距离等于半径时是相切，要排除等号的情况。
【解析】
解：由题可知，⊙O的圆心为O(0,0)，半径r=2。
将直线$y=-x+b$整理为一般式：$x + y - b = 0$。
根据点到直线的距离公式，圆心O到直线的距离为：
$d=\frac{|0 + 0 - b|}{\sqrt{1^2 + 1^2}}=\frac{|b|}{\sqrt{2}}$
∵直线与$\odot O$相交，
∴$d ＜ r$，即：
$\frac{|b|}{\sqrt{2}} ＜ 2$
两边同乘$\sqrt{2}$得：$|b| ＜ 2\sqrt{2}$
解得：$-2\sqrt{2} ＜ b ＜ 2\sqrt{2}$
【答案】
$-2\sqrt{2}＜b＜2\sqrt{2}$
【知识点】
1. 直线与圆相交的判定
2. 点到直线的距离公式
3. 绝对值不等式求解
【点评】
本题属于基础题型，核心考查直线和圆相交的性质，解题关键是熟练掌握直线与圆三种位置关系对应的距离与半径的大小关系，结合距离公式列式计算即可。
【难度系数】
0.75
解题时首先回忆直线与圆相交的判定规则：当圆心到直线的距离小于圆的半径时，直线和圆相交。第一步先明确已知条件：⊙O的圆心为原点(0,0)，半径r=2；第二步将直线解析式整理为一般式，方便代入点到直线的距离公式计算距离；第三步根据相交的判定条件列不等式，解不等式即可得到b的取值范围，注意距离等于半径时是相切，要排除等号的情况。
【解析】
解：由题可知，⊙O的圆心为O(0,0)，半径r=2。
将直线$y=-x+b$整理为一般式：$x + y - b = 0$。
根据点到直线的距离公式，圆心O到直线的距离为：
$d=\frac{|0 + 0 - b|}{\sqrt{1^2 + 1^2}}=\frac{|b|}{\sqrt{2}}$
∵直线与$\odot O$相交，
∴$d ＜ r$，即：
$\frac{|b|}{\sqrt{2}} ＜ 2$
两边同乘$\sqrt{2}$得：$|b| ＜ 2\sqrt{2}$
解得：$-2\sqrt{2} ＜ b ＜ 2\sqrt{2}$
【答案】
$-2\sqrt{2}＜b＜2\sqrt{2}$
【知识点】
1. 直线与圆相交的判定
2. 点到直线的距离公式
3. 绝对值不等式求解
【点评】
本题属于基础题型，核心考查直线和圆相交的性质，解题关键是熟练掌握直线与圆三种位置关系对应的距离与半径的大小关系，结合距离公式列式计算即可。
【难度系数】
0.75
6. 在$\mathrm{Rt}△ ABO$中，$∠ AOB=90°$，$OA=4\sqrt{5}$，$OB=2\sqrt{5}$，以$O$为圆心，4为半径的$\odot O$与直线$AB$的位置关系如何？请说明理由。
答案
6. 相切，理由略.
解析
【分析】
要判断$\odot O$与直线$AB$的位置关系，只需先求出圆心$O$到直线$AB$的距离$d$，再将$d$与圆的半径$r=4$比较即可：若$d＞r$则相离，$d=r$则相切，$d＜r$则相交。我们可以先通过勾股定理计算斜边$AB$的长度，再利用直角三角形面积的两种计算方法（两直角边乘积的一半、斜边乘斜边上的高的一半），求出$O$到$AB$的垂线段长度也就是$d$，最后比较$d$和$r$的大小得出结论。
【解析】
解：过点$O$作$OC⊥ AB$于点$C$，$OC$的长度即为圆心$O$到直线$AB$的距离$d$。
在$\mathrm{Rt}△ ABO$中，$∠ AOB=90°$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{(4\sqrt{5})^2+(2\sqrt{5})^2}=\sqrt{80+20}=\sqrt{100}=10$
根据三角形面积公式，$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}OA· OB=\frac{1}{2}AB· OC$
代入数值可得：$\frac{1}{2}×4\sqrt{5}×2\sqrt{5}=\frac{1}{2}×10× OC$
计算得：$40=10· OC$，解得$OC=4$
已知$\odot O$的半径$r=4$，故$d=r$，因此$\odot O$与直线$AB$相切。
【答案】
相切
【知识点】
直线与圆的位置关系判定；勾股定理；面积法求高
【点评】
本题是直线与圆位置关系判定的基础题型，解题关键是明确判定方法，灵活运用面积法求解圆心到直线的距离，计算时注意根式运算的准确性。
【难度系数】
0.7
要判断$\odot O$与直线$AB$的位置关系，只需先求出圆心$O$到直线$AB$的距离$d$，再将$d$与圆的半径$r=4$比较即可：若$d＞r$则相离，$d=r$则相切，$d＜r$则相交。我们可以先通过勾股定理计算斜边$AB$的长度，再利用直角三角形面积的两种计算方法（两直角边乘积的一半、斜边乘斜边上的高的一半），求出$O$到$AB$的垂线段长度也就是$d$，最后比较$d$和$r$的大小得出结论。
【解析】
解：过点$O$作$OC⊥ AB$于点$C$，$OC$的长度即为圆心$O$到直线$AB$的距离$d$。
在$\mathrm{Rt}△ ABO$中，$∠ AOB=90°$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{(4\sqrt{5})^2+(2\sqrt{5})^2}=\sqrt{80+20}=\sqrt{100}=10$
根据三角形面积公式，$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}OA· OB=\frac{1}{2}AB· OC$
代入数值可得：$\frac{1}{2}×4\sqrt{5}×2\sqrt{5}=\frac{1}{2}×10× OC$
计算得：$40=10· OC$，解得$OC=4$
已知$\odot O$的半径$r=4$，故$d=r$，因此$\odot O$与直线$AB$相切。
【答案】
相切
【知识点】
直线与圆的位置关系判定；勾股定理；面积法求高
【点评】
本题是直线与圆位置关系判定的基础题型，解题关键是明确判定方法，灵活运用面积法求解圆心到直线的距离，计算时注意根式运算的准确性。
【难度系数】
0.7
