1. 如图，在矩形ABCD(AB＞AD)的对称轴l上找点P，使得△PAB，△PCD均为直角三角形，则符合条件的点P的个数是().

A.1
B.3
C.4
D.5

1. C

【分析】
首先明确已知条件：l是矩形ABCD的水平对称轴，因此l上任意点到A、B距离相等，到C、D距离相等，且l到AB、CD的距离均为$\frac{AD}{2}$。要使$△ PAB$、$△ PCD$均为直角三角形，我们按直角顶点的位置分类讨论：①直角顶点为点P；②直角顶点为A/B（对应$△ PCD$的直角顶点为D/C），结合圆周角定理（直径所对圆周角为直角）和垂线的性质找交点即可，注意排除重复的点。
【解析】
我们分情况讨论符合条件的点P：
1. 直角顶点为P的情况
若$∠ APB=90°$，根据“直径所对的圆周角为直角”，点P在以AB为直径的圆上，同时P在直线l上。
已知$AB＞AD$，以AB中点为圆心、$\frac{AB}{2}$为半径的圆，圆心到直线l的距离为$\frac{AD}{2}＜\frac{AB}{2}$，因此该圆与直线l有2个不同的交点。由矩形对称性可知，这2个点同时满足$∠ CPD=90°$，因此这2个点符合要求。
2. 直角顶点为A或B的情况
若$∠ PAB=90°$，过点A作AB的垂线，与直线l交于1个点P，此时$PA⊥ AB$，$△ PAB$为直角三角形；由对称性可知$PD⊥ CD$，因此$△ PCD$也为直角三角形，该点符合要求。
同理，若$∠ PBA=90°$，过点B作AB的垂线，与直线l交于1个不同的点，该点也符合要求。
综上，符合条件的点P共有$2+1+1=4$个。
【答案】
C
【知识点】
矩形的性质；圆周角定理；直角三角形的判定
【点评】
本题考查分类讨论思想在几何计数问题中的应用，解题关键是按直角顶点的不同位置逐一分析，结合圆的性质和矩形的对称性找交点，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.6

2. 如图，$\odot O$的半径为1，圆心O在等边三角形的边AB的中点处，$\odot O$向顶点A方向运动，点O运动到点A时终止. 若AB=10，运动速度为每秒1个单位，运动时间设为t(单位：s). 试问：
(1)当t的取值为时，$\odot O$与直线AC相离；
(2)当t的取值为时，$\odot O$与直线AC相切；
(3)当t的取值为时，$\odot O$与直线AC相交.

(1) $0≤ t＜5-\frac{2\sqrt{3}}{3}$ (2) $t=5-\frac{2\sqrt{3}}{3}$ (3) $5-\frac{2\sqrt{3}}{3}＜t≤5$

【分析】
解决本题的核心是利用直线与圆的位置关系的判定规则：比较圆心到直线的距离d和圆半径r的大小。首先明确运动过程中圆心O的位置：初始时O在AB中点，AO=5，向A以1单位/秒运动t秒后，AO的长度为5-t，且t的取值范围为0≤t≤5；再结合等边三角形∠A=60°，过O作AC的垂线，通过解直角三角形表示出O到AC的距离d；最后分别根据相离（d＞r）、相切（d=r）、相交（d＜r）的条件列不等式或方程，结合t的取值范围求解即可。
【解析】
由题意可知，$\odot O$半径$r=1$，点O的运动时间t的取值范围为$0≤t≤5$。
过点O作$OH⊥AC$于点H，则OH为圆心O到直线AC的距离d。
∵$△ ABC$是等边三角形，
∴$∠ A=60°$，
运动t秒后，$AO=5 - t$，
在$Rt△ AOH$中，$d=OH=AO·\sin60°=(5 - t)×\frac{\sqrt{3}}{2}$。
(1) 当$\odot O$与直线AC相离时，$d＞r$，即：
$\frac{\sqrt{3}}{2}(5 - t) ＞ 1$
解得$t ＜ 5 - \frac{2\sqrt{3}}{3}$，结合$t≥0$，得$0≤ t＜5-\frac{2\sqrt{3}}{3}$；
(2) 当$\odot O$与直线AC相切时，$d=r$，即：
$\frac{\sqrt{3}}{2}(5 - t) = 1$
解得$t=5-\frac{2\sqrt{3}}{3}$；
(3) 当$\odot O$与直线AC相交时，$d＜r$，即：
$\frac{\sqrt{3}}{2}(5 - t) ＜ 1$
解得$t ＞ 5 - \frac{2\sqrt{3}}{3}$，结合$t≤5$，得$5-\frac{2\sqrt{3}}{3}＜t≤5$。
【答案】
(1) $0≤ t＜5-\frac{2\sqrt{3}}{3}$ (2) $t=5-\frac{2\sqrt{3}}{3}$ (3) $5-\frac{2\sqrt{3}}{3}＜t≤5$
【知识点】
直线与圆的位置关系，解直角三角形，等边三角形的性质
【点评】
本题属于动点与几何位置关系结合的基础题型，解题关键是将动态问题转化为静态的数量关系，通过建立距离与运动时间的表达式，结合直线与圆位置关系的判定条件求解，同时要注意运动时间的实际取值范围，避免漏解。
【难度系数】
0.6

3. 如图，在$□ ABCD$中，$AB=2$，$AD=m$，$∠ ABC=60°$，以$AB$为直径作$\odot O$。若$CD$与$\odot O$有两个交点，则$m$的取值范围为。

3. $1≤ m＜\frac{2\sqrt{3}}{3}$

【分析】
要确定CD与$\odot O$有两个交点时m的取值范围，需结合直线与圆的位置关系判定条件，分两步找临界值：
1. 先找CD与$\odot O$相切的临界情况：此时圆心O到CD的距离等于半径，可求出此时的m值，这是m的上限临界，超过该值CD与圆无交点；
2. 再找CD与$\odot O$刚好有两个交点的下限临界：当点C在$\odot O$上时，是CD出现两个交点的最小m值，小于该值时CD仅与圆有1个交点。
最后结合相交的条件确定取值范围。
【解析】
已知$\odot O$以AB为直径，$AB=2$，故$\odot O$半径$r=1$。
1. 求CD与$\odot O$相切时的m值：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ $AB// CD$，$∠ ABC=60°$，$BC=AD=m$。
平行四边形AB与CD之间的距离（即圆心O到CD的距离）为：
$h = BC·\sin∠ ABC = m·\sin60° = \frac{\sqrt{3}}{2}m$
当CD与$\odot O$相切时，圆心到直线的距离等于半径，即$h=r=1$：
$\frac{\sqrt{3}}{2}m = 1$，解得$m=\frac{2\sqrt{3}}{3}$。
若CD与$\odot O$有两个交点（相交），需$h＜r$，故$m＜\frac{2\sqrt{3}}{3}$。
2. 求m的下限：
当点C落在$\odot O$上时，$OB=OC=r=1$，又$∠ ABC=60°$，故$△ OBC$为等边三角形，因此$BC=OB=1$，即$m=1$。
若$m＜1$，则点C在$\odot O$内部，CD一个端点在圆内、一个端点在圆外，仅与圆有1个交点，不符合要求，故$m≥1$。
综上，m的取值范围是$1≤ m＜\frac{2\sqrt{3}}{3}$。
【答案】
$1≤ m＜\frac{2\sqrt{3}}{3}$
【知识点】
直线与圆的位置关系，平行四边形的性质，等边三角形判定
【点评】
本题是几何综合题，解题关键是找准两个临界状态：直线与圆相切、点在圆上，再结合相交的判定条件确定取值范围，解题时需注意临界值是否符合题意。
【难度系数】
0.65

4. 已知$∠ MAN=30°$，$O$为边$AN$上一点，以$O$为圆心，2为半径作$\odot O$交$AN$于$D$，$E$两点，设$AD=x$.
(1)如图1，当$x$取何值时，$\odot O$与$AM$相切？
(2)如图2，当$x$取何值时，$\odot O$与$AM$相交于点$B$，$C$两点，且$∠ BOC$的度数为$90°$？

(1) 2 (2) $2\sqrt{2}-2$

【分析】
(1) 若要⊙O与AM相切，根据切线的性质，圆心O到直线AM的距离等于圆的半径。我们可以过O作AM的垂线构造含30°角的直角三角形，先求出AO的长度，再结合AO=AD+OD即可算出x的值。
(2) 当⊙O与AM相交且∠BOC=90°时，先在等腰Rt△BOC中利用垂径定理求出圆心O到弦AM的距离，再通过含30°角的直角三角形性质求出AO的长度，最后结合线段和差关系求出x的值。
【解析】
(1) 过点O作$OF⊥ AM$于点F。
若$\odot O$与$AM$相切，则$OF$等于$\odot O$的半径，即$OF=2$。
在$Rt△ AOF$中，$∠ MAN=30°$，直角三角形中30°角对的直角边是斜边的一半，因此$AO=2OF=2×2=4$。
又$\because AO=AD+OD$，$OD$为$\odot O$半径，长度为2，$AD=x$，
$\therefore x+2=4$，解得$x=2$。
(2) 过点O作$OH⊥ AM$于点H。
$\because OB=OC=2$，$∠ BOC=90°$，$\therefore △ BOC$是等腰直角三角形，
由勾股定理得$BC=\sqrt{OB^2+OC^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$。
$\because OH⊥ BC$，由垂径定理可知H为BC中点，等腰直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，因此$OH=\frac{1}{2}BC=\sqrt{2}$。
在$Rt△ AOH$中，$∠ MAN=30°$，$\therefore AO=2OH=2\sqrt{2}$。
又$\because AO=AD+OD=x+2$，
$\therefore x+2=2\sqrt{2}$，解得$x=2\sqrt{2}-2$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{2}$；(2) $\boldsymbol{2\sqrt{2}-2}$
【知识点】
直线与圆相切的性质；垂径定理；含30°角的直角三角形性质
【点评】
本题围绕直线与圆的位置关系展开，结合了特殊直角三角形的性质进行考查，解题的核心是抓住圆心到直线的距离与半径的大小关系，通过作垂线构造直角三角形是解决这类问题的常用辅助线作法。
【难度系数】
0.65