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1. 如图,在平面直角坐标系中,五边形ABCDE与五边形A'B'C'D'E'是以原点O为位似中心的位似图形,点A,A'的坐标分别为(2,0),(3,0)。若DE=3,则D'E'的长为(
A.$\frac{7}{2}$
B.4
C.$\frac{9}{2}$
D.5
C
)。A.$\frac{7}{2}$
B.4
C.$\frac{9}{2}$
D.5
答案
1.C
解析
【分析】
本题考查位似图形的相关计算，解题思路如下：首先回忆位似图形的性质：以原点为位似中心的位似图形，对应点坐标的比值等于位似比（相似比），且位似图形的对应边成比例，比值等于相似比。第一步，先根据点A、A'的坐标求出两个五边形的相似比；第二步，利用相似比与对应边DE、D'E'的比例关系，代入DE的长度即可求出D'E'的长。
【解析】
解：
∵五边形ABCDE与五边形A'B'C'D'E'是以原点O为位似中心的位似图形，点A、A'的坐标分别为(2,0)、(3,0)
∴两个五边形的相似比为 $\frac{OA}{OA'} = \frac{2}{3}$
根据位似图形的性质，对应边的比等于相似比，可得：
$\frac{DE}{D'E'} = \frac{2}{3}$
将$DE=3$代入上式：
$\frac{3}{D'E'} = \frac{2}{3}$
解得 $D'E' = 3 × \frac{3}{2} = \frac{9}{2}$
【答案】
C
【知识点】
位似图形的性质；位似比的计算；比例线段应用
【点评】
本题属于基础题型，核心是掌握位似图形的相似比与对应边、对应点坐标的关系，解题时先通过已知对应点坐标求出相似比，再结合已知边长列比例式计算即可，解题难度较低。
【难度系数】
0.8
本题考查位似图形的相关计算，解题思路如下：首先回忆位似图形的性质：以原点为位似中心的位似图形，对应点坐标的比值等于位似比（相似比），且位似图形的对应边成比例，比值等于相似比。第一步，先根据点A、A'的坐标求出两个五边形的相似比；第二步，利用相似比与对应边DE、D'E'的比例关系，代入DE的长度即可求出D'E'的长。
【解析】
解：
∵五边形ABCDE与五边形A'B'C'D'E'是以原点O为位似中心的位似图形，点A、A'的坐标分别为(2,0)、(3,0)
∴两个五边形的相似比为 $\frac{OA}{OA'} = \frac{2}{3}$
根据位似图形的性质，对应边的比等于相似比，可得：
$\frac{DE}{D'E'} = \frac{2}{3}$
将$DE=3$代入上式：
$\frac{3}{D'E'} = \frac{2}{3}$
解得 $D'E' = 3 × \frac{3}{2} = \frac{9}{2}$
【答案】
C
【知识点】
位似图形的性质；位似比的计算；比例线段应用
【点评】
本题属于基础题型，核心是掌握位似图形的相似比与对应边、对应点坐标的关系，解题时先通过已知对应点坐标求出相似比，再结合已知边长列比例式计算即可，解题难度较低。
【难度系数】
0.8
2. 如图，在平面直角坐标系中，$△ ABC$和$△ BDE$都是等边三角形，它们是以原点$O$为位似中心的位似图形，面积比为$1:9$，点$A,B,D$均在$x$轴上，若点$C$的坐标为$(2,\sqrt{3})$，则点$E$的坐标为(
A.$(4,2\sqrt{3})$
B.$(5,2\sqrt{3})$
C.$(6,3\sqrt{3})$
D.$(8,3\sqrt{3})$
C
)。A.$(4,2\sqrt{3})$
B.$(5,2\sqrt{3})$
C.$(6,3\sqrt{3})$
D.$(8,3\sqrt{3})$
答案
2.C
解析
【分析】
首先回忆位似图形的性质：位似图形的面积比等于相似比的平方，且位似中心在原点时，对应点的坐标比等于相似比。首先根据已知的面积比求出两个等边三角形的相似比，再利用等边三角形的性质结合点C的坐标，结合位似的坐标规律即可求出点E的坐标。
【解析】
1. 求位似比：
∵ △ABC和△BDE是以原点O为位似中心的位似图形，面积比为$1:9$，
∴ 两个三角形的相似比为$\sqrt{\frac{1}{9}}=\frac{1}{3}$，即位似比为$1:3$，△BDE的边长是△ABC边长的3倍。
2. 求△ABC的边长：
∵ △ABC是等边三角形，点C的坐标为$(2,\sqrt{3})$，
∴ △ABC的高为$\sqrt{3}$。
设等边△ABC的边长为$a$，由等边三角形高的公式$h=\frac{\sqrt{3}}{2}a$，代入$h=\sqrt{3}$，得：
$\frac{\sqrt{3}}{2}a=\sqrt{3}$，解得$a=2$，即$AB=2$。
3. 求点E的坐标：
位似中心为原点时，对应点的横、纵坐标的比等于位似比，点C和点E是对应点，位似比为$1:3$，
∴ 点E的横坐标为$2×3=6$，纵坐标为$\sqrt{3}×3=3\sqrt{3}$，即$E(6,3\sqrt{3})$。
【答案】
C
【知识点】
位似图形的性质，等边三角形的性质，坐标与图形性质
【点评】
本题属于位似图形和等边三角形结合的基础题型，解题的核心是先通过面积比确定相似比，再结合位似的坐标性质快速得到对应点坐标，熟练掌握相关性质可以快速解题。
【难度系数】
0.7
首先回忆位似图形的性质：位似图形的面积比等于相似比的平方，且位似中心在原点时，对应点的坐标比等于相似比。首先根据已知的面积比求出两个等边三角形的相似比，再利用等边三角形的性质结合点C的坐标，结合位似的坐标规律即可求出点E的坐标。
【解析】
1. 求位似比：
∵ △ABC和△BDE是以原点O为位似中心的位似图形，面积比为$1:9$，
∴ 两个三角形的相似比为$\sqrt{\frac{1}{9}}=\frac{1}{3}$，即位似比为$1:3$，△BDE的边长是△ABC边长的3倍。
2. 求△ABC的边长：
∵ △ABC是等边三角形，点C的坐标为$(2,\sqrt{3})$，
∴ △ABC的高为$\sqrt{3}$。
设等边△ABC的边长为$a$，由等边三角形高的公式$h=\frac{\sqrt{3}}{2}a$，代入$h=\sqrt{3}$，得：
$\frac{\sqrt{3}}{2}a=\sqrt{3}$，解得$a=2$，即$AB=2$。
3. 求点E的坐标：
位似中心为原点时，对应点的横、纵坐标的比等于位似比，点C和点E是对应点，位似比为$1:3$，
∴ 点E的横坐标为$2×3=6$，纵坐标为$\sqrt{3}×3=3\sqrt{3}$，即$E(6,3\sqrt{3})$。
【答案】
C
【知识点】
位似图形的性质，等边三角形的性质，坐标与图形性质
【点评】
本题属于位似图形和等边三角形结合的基础题型，解题的核心是先通过面积比确定相似比，再结合位似的坐标性质快速得到对应点坐标，熟练掌握相关性质可以快速解题。
【难度系数】
0.7
3. 在平面直角坐标系中,点$A(4,2),B(3,0)$,以坐标原点$O$为位似中心作线段,使它与线段$AB$的相似比为$\frac{1}{2}$。下列画法正确的是(
D
)。答案
3.D
解析
【分析】
解决本题首先要回忆平面直角坐标系中以原点为位似中心的位似变换的性质：位似图形对应点的坐标比等于相似比k或-k，即位似图形既可以和原图形在位似中心的同侧，也可以在异侧。首先我们根据已知的相似比$\frac{1}{2}$，计算出线段AB位似变换后对应点的两种坐标，再对照选项逐一判断即可。
【解析】
根据平面直角坐标系中位似变换的性质：以原点为位似中心的位似图形，相似比为k时，对应点的坐标为原坐标乘k或乘-k。
已知点$A(4,2)$，$B(3,0)$，相似比为$\frac{1}{2}$，分两种情况：
1. 位似图形与原图形在原点同侧：
对应点坐标为原坐标乘$\frac{1}{2}$，得$A'(4×\frac{1}{2},2×\frac{1}{2})=(2,1)$，$B'(3×\frac{1}{2},0×\frac{1}{2})=(1.5,0)$，对应线段在第一象限；
2. 位似图形与原图形在原点异侧：
对应点坐标为原坐标乘$-\frac{1}{2}$，得$A''(4×(-\frac{1}{2}),2×(-\frac{1}{2}))=(-2,-1)$，$B''(3×(-\frac{1}{2}),0×(-\frac{1}{2}))=(-1.5,0)$，对应线段在第三象限。
对照选项：
选项A仅画出同侧的位似图形，缺少异侧情况，错误；
选项B仅画出异侧的位似图形，缺少同侧情况，错误；
选项C是将原线段放大（相似比大于1），不符合相似比$\frac{1}{2}$的要求，错误；
选项D同时画出了同侧、异侧的两个位似图形，符合要求，正确。
【答案】
D
【知识点】
1.位似的性质 2.坐标系中位似的坐标规律
【点评】
本题易错点是容易忽略位似图形可存在于位似中心的两侧，只考虑单侧的情况导致错选，解决位似问题时要注意考虑两种位置的情况。
【难度系数】
0.6
解决本题首先要回忆平面直角坐标系中以原点为位似中心的位似变换的性质：位似图形对应点的坐标比等于相似比k或-k，即位似图形既可以和原图形在位似中心的同侧，也可以在异侧。首先我们根据已知的相似比$\frac{1}{2}$，计算出线段AB位似变换后对应点的两种坐标，再对照选项逐一判断即可。
【解析】
根据平面直角坐标系中位似变换的性质：以原点为位似中心的位似图形，相似比为k时，对应点的坐标为原坐标乘k或乘-k。
已知点$A(4,2)$，$B(3,0)$，相似比为$\frac{1}{2}$，分两种情况：
1. 位似图形与原图形在原点同侧：
对应点坐标为原坐标乘$\frac{1}{2}$，得$A'(4×\frac{1}{2},2×\frac{1}{2})=(2,1)$，$B'(3×\frac{1}{2},0×\frac{1}{2})=(1.5,0)$，对应线段在第一象限；
2. 位似图形与原图形在原点异侧：
对应点坐标为原坐标乘$-\frac{1}{2}$，得$A''(4×(-\frac{1}{2}),2×(-\frac{1}{2}))=(-2,-1)$，$B''(3×(-\frac{1}{2}),0×(-\frac{1}{2}))=(-1.5,0)$，对应线段在第三象限。
对照选项：
选项A仅画出同侧的位似图形，缺少异侧情况，错误；
选项B仅画出异侧的位似图形，缺少同侧情况，错误；
选项C是将原线段放大（相似比大于1），不符合相似比$\frac{1}{2}$的要求，错误；
选项D同时画出了同侧、异侧的两个位似图形，符合要求，正确。
【答案】
D
【知识点】
1.位似的性质 2.坐标系中位似的坐标规律
【点评】
本题易错点是容易忽略位似图形可存在于位似中心的两侧，只考虑单侧的情况导致错选，解决位似问题时要注意考虑两种位置的情况。
【难度系数】
0.6
4. 在平面直角坐标系中,点 A,B,C 的坐标分别为（1，0）,（4，－1）,（3，2）。△A₁B₁C₁ 与△ABC 是以点 P 为位似中心的位似图形。
（1）在图①中画出点 P,并直接写出点 P 的坐标；
（2）把△A₁B₁C₁ 的顶点 A₁,B₁,C₁ 的横、纵坐标都乘$-\dfrac{1}{2}$得到对应的点 A₂,B₂,C₂,在图②中画出△A₂B₂C₂,并判断△A₁B₁C₁ 与△A₂B₂C₂ 是否是位似图形,若是,请写出位似中心和相似比。
（1）在图①中画出点 P,并直接写出点 P 的坐标；
（2）把△A₁B₁C₁ 的顶点 A₁,B₁,C₁ 的横、纵坐标都乘$-\dfrac{1}{2}$得到对应的点 A₂,B₂,C₂,在图②中画出△A₂B₂C₂,并判断△A₁B₁C₁ 与△A₂B₂C₂ 是否是位似图形,若是,请写出位似中心和相似比。
答案
4. 解:(1)如图①,点 P 即为所求
。点 P 的坐标为(0,-2)。
(2)如图②,△A₂B₂C₂ 即为所求
。△A₁B₁C₁ 与△A₂B₂C₂ 是位似图形,位似中心是原点,相似比为 2。
解析
【分析】
（1）要确定位似中心P，根据位似图形的性质：位似图形所有对应顶点的连线都交于位似中心，因此只需连接两组对应点（如A与A₁、B与B₁），两条连线的交点就是位似中心P，再结合网格即可读出P的坐标。
（2）首先将A₁、B₁、C₁的横、纵坐标都乘$-\dfrac{1}{2}$，计算得到A₂、B₂、C₂的坐标，在网格中描出三点后顺次连接即可得到△A₂B₂C₂；根据位似变换的坐标规律：若两个图形对应点的横、纵坐标均乘以同一个非零实数，则两个图形关于原点位似，相似比为原图形与新图形对应边的比值，据此可判断位似关系，写出位似中心和相似比。
【解析】
（1）分别连接AA₁、BB₁并延长，两条直线的交点即为位似中心P，结合平面直角坐标系的网格读取坐标，可得P的坐标为$\boldsymbol{(0,-2)}$。
（2）从网格中读取A₁、B₁、C₁的坐标分别为$(2,2)$、$(7,0)$、$(5,6)$，将三个点的横、纵坐标都乘$-\dfrac{1}{2}$，计算得：
$A_2(2×(-\dfrac{1}{2}),2×(-\dfrac{1}{2}))=(-1,-1)$，
$B_2(7×(-\dfrac{1}{2}),0×(-\dfrac{1}{2}))=(-\dfrac{7}{2},0)$，
$C_2(5×(-\dfrac{1}{2}),6×(-\dfrac{1}{2}))=(-\dfrac{5}{2},-3)$。
在图②中描出A₂、B₂、C₂三点，顺次连接得到△A₂B₂C₂。
根据位似变换的性质，两个图形对应点的横、纵坐标均乘以同一个非零常数时，两个图形是以原点为位似中心的位似图形，因此△A₁B₁C₁与△A₂B₂C₂是位似图形，位似中心为坐标原点；相似比为△A₁B₁C₁与△A₂B₂C₂的对应边比值，即$\left|\dfrac{1}{-\dfrac{1}{2}}\right|=2$。
【答案】
(1)如图①,点 P 即为所求。
点 P 的坐标为(0,-2)。
(2)如图②,△A₂B₂C₂ 即为所求。
△A₁B₁C₁ 与△A₂B₂C₂ 是位似图形,位似中心是原点,相似比为 2。
【知识点】
位似图形的性质；位似中心的确定；坐标与位似变换
【点评】
本题考查位似图形的作图与性质应用，解题的核心是掌握位似中心的确定方法，以及坐标表示位似变换的规律，能有效巩固位似相关的基础知识点。
【难度系数】
0.7
（1）要确定位似中心P，根据位似图形的性质：位似图形所有对应顶点的连线都交于位似中心，因此只需连接两组对应点（如A与A₁、B与B₁），两条连线的交点就是位似中心P，再结合网格即可读出P的坐标。
（2）首先将A₁、B₁、C₁的横、纵坐标都乘$-\dfrac{1}{2}$，计算得到A₂、B₂、C₂的坐标，在网格中描出三点后顺次连接即可得到△A₂B₂C₂；根据位似变换的坐标规律：若两个图形对应点的横、纵坐标均乘以同一个非零实数，则两个图形关于原点位似，相似比为原图形与新图形对应边的比值，据此可判断位似关系，写出位似中心和相似比。
【解析】
（1）分别连接AA₁、BB₁并延长，两条直线的交点即为位似中心P，结合平面直角坐标系的网格读取坐标，可得P的坐标为$\boldsymbol{(0,-2)}$。
（2）从网格中读取A₁、B₁、C₁的坐标分别为$(2,2)$、$(7,0)$、$(5,6)$，将三个点的横、纵坐标都乘$-\dfrac{1}{2}$，计算得：
$A_2(2×(-\dfrac{1}{2}),2×(-\dfrac{1}{2}))=(-1,-1)$，
$B_2(7×(-\dfrac{1}{2}),0×(-\dfrac{1}{2}))=(-\dfrac{7}{2},0)$，
$C_2(5×(-\dfrac{1}{2}),6×(-\dfrac{1}{2}))=(-\dfrac{5}{2},-3)$。
在图②中描出A₂、B₂、C₂三点，顺次连接得到△A₂B₂C₂。
根据位似变换的性质，两个图形对应点的横、纵坐标均乘以同一个非零常数时，两个图形是以原点为位似中心的位似图形，因此△A₁B₁C₁与△A₂B₂C₂是位似图形，位似中心为坐标原点；相似比为△A₁B₁C₁与△A₂B₂C₂的对应边比值，即$\left|\dfrac{1}{-\dfrac{1}{2}}\right|=2$。
【答案】
(1)如图①,点 P 即为所求
。点 P 的坐标为(0,-2)。
(2)如图②,△A₂B₂C₂ 即为所求
。△A₁B₁C₁ 与△A₂B₂C₂ 是位似图形,位似中心是原点,相似比为 2。
【知识点】
位似图形的性质；位似中心的确定；坐标与位似变换
【点评】
本题考查位似图形的作图与性质应用，解题的核心是掌握位似中心的确定方法，以及坐标表示位似变换的规律，能有效巩固位似相关的基础知识点。
【难度系数】
0.7
