8. 如图，$△ ABC$与$△ DEF$位似，点$O$为位似中心。
(1)已知$△ ABC$与$△ DEF$的相似比为$\frac{1}{2}$，$AC=2$，求$DF$的长；
(2)已知$∠ O=22°$，$∠ ABC=38°$，求$∠ OFE$的度数。

解:(1)$\because △ ABC$ 与 $△ DEF$ 的相似比为 $\frac{1}{2}$,
$AC=2$,
$\therefore \frac{AC}{DF}=\frac{1}{2}$,
$\therefore DF=2AC=2 × 2=4$。
(2)$\because ∠ O=22°,∠ ABC=38°$,
$\therefore ∠ OCB=180°-∠ O-∠ ABC=180°-22°-38°=120°$。
$\because △ ABC$ 与 $△ DEF$ 位似,
$\therefore ∠ ABC=∠ E, \therefore BC // EF$,
$\therefore ∠ OFE=∠ OCB=120°$。

【分析】
(1) 位似属于特殊的相似，位似图形的相似比等于对应边的比值。本题中AC与DF是两个位似三角形的对应边，已知相似比和AC的长度，代入对应边的比例关系即可求出DF的长。
(2) 首先在△OBC中，已知∠O和∠OBC（即∠ABC）的度数，利用三角形内角和为180°可先求出∠OCB的度数；再根据位似图形的对应边互相平行的性质，可得BC//EF，由平行线的同位角相等即可推出∠OFE与∠OCB相等，得到所求角度。
【解析】
(1)
∵ △ABC与△DEF的相似比为$\frac{1}{2}$，$AC=2$
∴ $\frac{AC}{DF}=\frac{1}{2}$
∴ $DF=2AC=2×2=4$
(2)
∵ $∠O=22°$，$∠ABC=38°$
∴ 在△OBC中，$∠OCB=180°-∠O-∠ABC=180°-22°-38°=120°$
∵ △ABC与△DEF位似
∴ 对应边$BC// EF$
∴ $∠OFE=∠OCB=120°$（两直线平行，同位角相等）
【答案】
(1) $DF=4$；(2) $∠OFE=120°$
【知识点】
位似的性质、三角形内角和定理、平行线的性质
【点评】
本题是位似性质的基础应用题，解题的核心是掌握位似图形的相似比等于对应边之比、对应边互相平行的特点，结合三角形内角和与平行线的性质即可求解，属于基础巩固类习题。
【难度系数】
0.8

9. 如图,在正方形网格中,点A,B,C是格点。用无刻度的直尺作图,并说明所作出的图形符合要求的理由。
(1)如图①,已知$△ ABC$,以点C为位似中心画三角形,使它与$△ ABC$位似,且相似比为2;
(2)如图②,在线段AB上找出一点E,使$AE:BE=5:3$。

解:(1)如图①,$△ A_1B_1C$ 和 $△ A_2B_2C$ 即为所求。理由如下:
延长 $CA$ 到点 $A_1$,使 $CA_1=2CA$,延长 $CB$ 到点$B_1$,使 $CB_1=2CB$,连接 $A_1B_1$,
$\therefore \frac{CA_1}{CA}=\frac{CB_1}{CB}=2$。
$\because$ 点 $C,A,A_1$ 三点共线,点 $C,B,B_1$ 三点共线,
$\therefore △ A_1B_1C$ 与 $△ ABC$ 位似,相似比为 2 且点 $C$为位似中心。
同理,$△ A_2B_2C$ 与 $△ ABC$ 位似,相似比为 2。
(2)如图②,点 $E$ 即为所求。理由如下:
$\because AF // BG, \therefore ∠ A=∠ B, ∠ F=∠ G$,
$\therefore △ AEF ∽ △ BEG, \therefore \frac{AE}{BE}=\frac{AF}{BG}=\frac{5}{3}$。

【分析】
(1) 位似作图首先要明确位似的核心性质：位似图形对应顶点的连线均过位似中心，对应边的比值等于相似比，且位似图形存在位似中心同侧、异侧两种符合要求的情况。本题以C为位似中心、相似比为2，因此先确定AC、BC的长度，将AC、BC分别向两个方向延长至原长度的2倍，得到对应点后连接即可得到符合要求的位似三角形。
(2) 要得到线段AB上满足AE:BE=5:3的点E，可利用平行线构造“X”型相似三角形，构造一组平行且长度比为5:3的线段，使两条线段的端点连线与AB交于点E，借助相似三角形对应边成比例的性质即可得到符合比例要求的分点。
【解析】
(1) 作图及理由：
延长$CA$到点$A_1$,使$CA_1=2CA$,延长$CB$到点$B_1$,使$CB_1=2CB$,连接$A_1B_1$，得到$△ A_1B_1C$；反向延长$CA$到点$A_2$,使$CA_2=2CA$,反向延长$CB$到点$B_2$,使$CB_2=2CB$,连接$A_2B_2$，得到$△ A_2B_2C$。
$\because \frac{CA_1}{CA}=\frac{CB_1}{CB}=2$，且点 $C,A,A_1$ 三点共线,点 $C,B,B_1$ 三点共线，根据位似的定义，$△ A_1B_1C$ 与 $△ ABC$ 位似,相似比为 2 且点 $C$为位似中心；同理可得$△ A_2B_2C$ 与 $△ ABC$ 位似,相似比为 2。
(2) 作图及理由：
取格点F、G，使$AF// BG$，且AF长为5个单位长度、BG长为3个单位长度，连接FG交AB于点E，点E即为所求。
$\because AF // BG, \therefore ∠ A=∠ B, ∠ F=∠ G$，
$\therefore △ AEF ∽ △ BEG, \therefore \frac{AE}{BE}=\frac{AF}{BG}=\frac{5}{3}$，符合要求。
【答案】
(1) $△ A_1B_1C$ 和 $△ A_2B_2C$ 为所求位似三角形；(2) 点E为所求比例分点，作图如下：

【知识点】
位似图形的性质，相似三角形的判定与性质，网格作图
【点评】
本题结合网格考查位似作图和比例线段的构造，既需要熟练掌握位似的定义与性质，也需要灵活运用相似三角形的性质构造符合比例的分点，对动手作图能力和几何推理能力有一定的考查作用。
【难度系数】
0.6