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1. 已知$a - b = 5$，$b - c = -6$，则代数式$a^2 - ac - b(a - c)$的值为 （
A.$-30$
B.$30$
C.$-5$
D.$-6$
C
）A.$-30$
B.$30$
C.$-5$
D.$-6$
答案
1. C
解析
【分析】
首先，观察已知条件仅给出了a与b、b与c的差值，无法直接求出a、b、c的具体值，因此考虑先对所求代数式进行因式分解化简，再通过已知条件推导所需的整体值，最后整体代入计算即可。第一步先根据已知的两个等式求出a-c的值，第二步对代数式因式分解变形，第三步代入数值计算结果。
【解析】
1. 计算$a - c$的值：
已知$a - b = 5$，$b - c = -6$，将两个等式左右两边分别相加，得：
$(a - b) + (b - c) = 5 + (-6)$
化简后可得$a - c = -1$
2. 化简代数式$a^2 - ac - b(a - c)$：
对前两项提取公因式$a$，原式变形为：
$a(a - c) - b(a - c)$
再提取公因式$(a - c)$，可得：
$(a - c)(a - b)$
3. 整体代入求值：
将$a - c = -1$，$a - b = 5$代入化简后的式子，计算得：
$(-1)×5 = -5$
【答案】
C
【知识点】
因式分解的应用；代数式求值；整式加减运算
【点评】
本题考查代数式的化简求值，解题核心是通过因式分解对代数式变形，结合整体代入思想计算，无需单独求出每个字母的取值，大幅简化了计算过程，需要熟练掌握提公因式法因式分解和整体代入的解题思路。
【难度系数】
0.7
首先，观察已知条件仅给出了a与b、b与c的差值，无法直接求出a、b、c的具体值，因此考虑先对所求代数式进行因式分解化简，再通过已知条件推导所需的整体值，最后整体代入计算即可。第一步先根据已知的两个等式求出a-c的值，第二步对代数式因式分解变形，第三步代入数值计算结果。
【解析】
1. 计算$a - c$的值：
已知$a - b = 5$，$b - c = -6$，将两个等式左右两边分别相加，得：
$(a - b) + (b - c) = 5 + (-6)$
化简后可得$a - c = -1$
2. 化简代数式$a^2 - ac - b(a - c)$：
对前两项提取公因式$a$，原式变形为：
$a(a - c) - b(a - c)$
再提取公因式$(a - c)$，可得：
$(a - c)(a - b)$
3. 整体代入求值：
将$a - c = -1$，$a - b = 5$代入化简后的式子，计算得：
$(-1)×5 = -5$
【答案】
C
【知识点】
因式分解的应用；代数式求值；整式加减运算
【点评】
本题考查代数式的化简求值，解题核心是通过因式分解对代数式变形，结合整体代入思想计算，无需单独求出每个字母的取值，大幅简化了计算过程，需要熟练掌握提公因式法因式分解和整体代入的解题思路。
【难度系数】
0.7
2. 因式分解：$mn - m - n + 1 =$
(m-1)(n-1)
。答案
2. (m-1)(n-1)
解析
【分析】
这是一道四项式的因式分解题，可采用分组分解法求解。首先观察多项式的项的特征，将前两项分为一组、后两项分为一组，第一组可提取公因式m，第二组变形后也会出现和第一组相同的公因式，再整体提取公因式即可完成分解。
【解析】
解：$\begin{split}&mn - m - n + 1\\=&(mn - m) + (-n + 1)\\=&m(n - 1) - (n - 1)\\=&(m - 1)(n - 1)\end{split}$
【答案】
$(m-1)(n-1)$
【知识点】
提公因式法，分组分解法
【点评】
本题属于因式分解的基础题型，解题的核心是根据多项式的项的特点合理分组，确保分组后可提取公因式继续分解，熟练掌握提公因式的方法是解题的基础。
【难度系数】
0.85
这是一道四项式的因式分解题，可采用分组分解法求解。首先观察多项式的项的特征，将前两项分为一组、后两项分为一组，第一组可提取公因式m，第二组变形后也会出现和第一组相同的公因式，再整体提取公因式即可完成分解。
【解析】
解：$\begin{split}&mn - m - n + 1\\=&(mn - m) + (-n + 1)\\=&m(n - 1) - (n - 1)\\=&(m - 1)(n - 1)\end{split}$
【答案】
$(m-1)(n-1)$
【知识点】
提公因式法，分组分解法
【点评】
本题属于因式分解的基础题型，解题的核心是根据多项式的项的特点合理分组，确保分组后可提取公因式继续分解，熟练掌握提公因式的方法是解题的基础。
【难度系数】
0.85
任务三 综合运用提公因式法解决问题
阅读下列因式分解的过程，完成下列探究。
$1+a+a(1+a)+a(1+a)^2=(1+a)[1+a+a(1+a)]=(1+a)^2(1+a)=(1+a)^3$。
探究1：上述因式分解的方法是 ，共应用了 次。
阅读下列因式分解的过程，完成下列探究。
$1+a+a(1+a)+a(1+a)^2=(1+a)[1+a+a(1+a)]=(1+a)^2(1+a)=(1+a)^3$。
探究1：上述因式分解的方法是 ，共应用了 次。
答案
探究1 提公因式法 2
解析
【分析】
解题时先观察给出的因式分解过程，首先判断每一步的操作：将多项式中各项都含有的公共因式提取出来的方法就是提公因式法；再逐次数清楚提取公因式的次数，第一次提取公因式(1+a)后，剩余的多项式仍然含有公因式(1+a)，需要再次提取，两次提取后完成因式分解，即可得出对应的结论。
【解析】
观察因式分解的步骤：
1. 第一步$1+a+a(1+a)+a(1+a)^2=(1+a)[1+a+a(1+a)]$，是提取各项的公因式$(1+a)$，为第1次应用提公因式法；
2. 第二步$(1+a)[1+a+a(1+a)]=(1+a)^2(1+a)$，是对中括号内的整式再次提取公因式$(1+a)$，为第2次应用提公因式法；
后续为同底数幂的合并，未再使用提公因式法。
因此所用因式分解方法为提公因式法，共应用2次。
【答案】
提公因式法；2
【知识点】
1. 提公因式法
2. 公因式识别
【点评】
本题属于因式分解的基础考查题，重点在于识别提公因式法的操作，解题时要注意每次提取公因式后需检查剩余部分是否还存在公因式，确保分解彻底。
【难度系数】
0.9
解题时先观察给出的因式分解过程，首先判断每一步的操作：将多项式中各项都含有的公共因式提取出来的方法就是提公因式法；再逐次数清楚提取公因式的次数，第一次提取公因式(1+a)后，剩余的多项式仍然含有公因式(1+a)，需要再次提取，两次提取后完成因式分解，即可得出对应的结论。
【解析】
观察因式分解的步骤：
1. 第一步$1+a+a(1+a)+a(1+a)^2=(1+a)[1+a+a(1+a)]$，是提取各项的公因式$(1+a)$，为第1次应用提公因式法；
2. 第二步$(1+a)[1+a+a(1+a)]=(1+a)^2(1+a)$，是对中括号内的整式再次提取公因式$(1+a)$，为第2次应用提公因式法；
后续为同底数幂的合并，未再使用提公因式法。
因此所用因式分解方法为提公因式法，共应用2次。
【答案】
提公因式法；2
【知识点】
1. 提公因式法
2. 公因式识别
【点评】
本题属于因式分解的基础考查题，重点在于识别提公因式法的操作，解题时要注意每次提取公因式后需检查剩余部分是否还存在公因式，确保分解彻底。
【难度系数】
0.9
探究2：若将多项式$1+a+a(1+a)+a(1+a)^2+\dots+a(1+a)^{10}$因式分解，则可应用上述方法
10
次，结果是$(1+a)^{11}$
。答案
探究2 10 $(1+a)^{11}$
解析
【分析】
本题考查利用提公因式法进行因式分解的规律应用，解题思路如下：首先观察多项式的结构，发现每一项都含有公因式$(1+a)$，第一次提取公因式$(1+a)$后，得到的新多项式仍含有公因式$(1+a)$，可继续提取；每次提取公因式后，多项式中$(1+a)$的最高次幂降低1次，直到最后提取完公因式后剩余$(1+a)$即可得到最终结果，提取公因式的次数等于原式中$(1+a)$的最高次幂的次数。
【解析】
采用逐步提公因式$(1+a)$的方法分解因式：
第1次提取公因式$(1+a)$：
原式$=(1+a)[1 + a + a(1+a) + a(1+a)^2 + \dots + a(1+a)^9]$
第2次提取公因式$(1+a)$：
原式$=(1+a)^2[1 + a + a(1+a) + \dots + a(1+a)^8]$
……
以此类推，每提取1次公因式，$(1+a)$的指数加1，剩余多项式中$(1+a)$的最高次幂减1，当提取第10次时，剩余的多项式为$1+a$，因此：
原式$=(1+a)^{10}·(1+a)=(1+a)^{11}$
【答案】
$10$；$(1+a)^{11}$
【知识点】
提公因式法因式分解；同底数幂的乘法
【点评】
本题属于规律类因式分解题，解题关键是观察出多项式整体反复存在公因式$(1+a)$的结构特征，通过逐步提取公因式总结次数规律即可快速求解，熟练掌握提公因式法是解决这类问题的基础。
【难度系数】
0.7
本题考查利用提公因式法进行因式分解的规律应用，解题思路如下：首先观察多项式的结构，发现每一项都含有公因式$(1+a)$，第一次提取公因式$(1+a)$后，得到的新多项式仍含有公因式$(1+a)$，可继续提取；每次提取公因式后，多项式中$(1+a)$的最高次幂降低1次，直到最后提取完公因式后剩余$(1+a)$即可得到最终结果，提取公因式的次数等于原式中$(1+a)$的最高次幂的次数。
【解析】
采用逐步提公因式$(1+a)$的方法分解因式：
第1次提取公因式$(1+a)$：
原式$=(1+a)[1 + a + a(1+a) + a(1+a)^2 + \dots + a(1+a)^9]$
第2次提取公因式$(1+a)$：
原式$=(1+a)^2[1 + a + a(1+a) + \dots + a(1+a)^8]$
……
以此类推，每提取1次公因式，$(1+a)$的指数加1，剩余多项式中$(1+a)$的最高次幂减1，当提取第10次时，剩余的多项式为$1+a$，因此：
原式$=(1+a)^{10}·(1+a)=(1+a)^{11}$
【答案】
$10$；$(1+a)^{11}$
【知识点】
提公因式法因式分解；同底数幂的乘法
【点评】
本题属于规律类因式分解题，解题关键是观察出多项式整体反复存在公因式$(1+a)$的结构特征，通过逐步提取公因式总结次数规律即可快速求解，熟练掌握提公因式法是解决这类问题的基础。
【难度系数】
0.7
探究3：因式分解：$1+a+a(1+a)+a(1+a)^2+a(1+a)^3+\dots+a(1+a)^n$（$n$为正整数）。
探究4：利用探究3的结果计算$1+3+3×4+3×4^2+\dots+3×4^{99}$的值。
探究4：利用探究3的结果计算$1+3+3×4+3×4^2+\dots+3×4^{99}$的值。
答案
探究3 原式=$(1+a)^{n+1}$。
探究4 原式=$4^{100}$。
探究4 原式=$4^{100}$。
解析
【分析】
探究3解题思路：先观察多项式的结构特征，发现每一项都含有公因式$(1+a)$，可通过逐步提取公因式寻找规律：第一次提取公因式$(1+a)$后，剩下的多项式仍含有公因式$(1+a)$，反复提取公因式，最终可得到化简结果。
探究4解题思路：将所求式子与探究3的因式分解结果对比，确定式子中对应$a$的值和$n$的值，直接代入探究3得到的规律即可快速计算出结果，无需逐项计算。
【解析】
探究3
采用逐步提取公因式法求解：
1. 原式前两项合并提取公因式$(1+a)$：
$\begin{aligned}原式&=(1+a) + a(1+a) + a(1+a)^2 + \dots + a(1+a)^n\\&=(1+a)(1+a) + a(1+a)^2 + \dots + a(1+a)^n\\&=(1+a)^2 + a(1+a)^2 + \dots + a(1+a)^n\end{aligned}$
2. 再次提取公因式$(1+a)^2$，可得原式$=(1+a)^3 + a(1+a)^3 + \dots + a(1+a)^n$。
3. 依此类推，每提取一次公因式，$(1+a)$的指数加1，提取$n$次公因式后，最终可得原式$=(1+a)^{n+1}$。
探究4
观察所求式子$1+3+3×4+3×4^2+\dots+3×4^{99}$，与探究3的式子结构对比：
此处$1+a=4$，即$a=3$，最后一项为$a(1+a)^{99}$，对应$n=99$，代入探究3的结论$(1+a)^{n+1}$得：
原式$=(1+3)^{99+1}=4^{100}$
【答案】
探究3：$\boxed{(1+a)^{n+1}}$；探究4：$\boxed{4^{100}}$
【知识点】
提公因式法因式分解，规律探究，代数式求值
【点评】
本题重点考查对提公因式法的灵活运用和归纳推理能力，解题核心是观察多项式的公共因式特征，通过逐步提取公因式总结出通用规律，再利用规律迁移解决同结构的计算问题，避免了繁琐的逐项运算，体现了转化思想在代数运算中的应用。
【难度系数】
0.7
探究3解题思路：先观察多项式的结构特征，发现每一项都含有公因式$(1+a)$，可通过逐步提取公因式寻找规律：第一次提取公因式$(1+a)$后，剩下的多项式仍含有公因式$(1+a)$，反复提取公因式，最终可得到化简结果。
探究4解题思路：将所求式子与探究3的因式分解结果对比，确定式子中对应$a$的值和$n$的值，直接代入探究3得到的规律即可快速计算出结果，无需逐项计算。
【解析】
探究3
采用逐步提取公因式法求解：
1. 原式前两项合并提取公因式$(1+a)$：
$\begin{aligned}原式&=(1+a) + a(1+a) + a(1+a)^2 + \dots + a(1+a)^n\\&=(1+a)(1+a) + a(1+a)^2 + \dots + a(1+a)^n\\&=(1+a)^2 + a(1+a)^2 + \dots + a(1+a)^n\end{aligned}$
2. 再次提取公因式$(1+a)^2$，可得原式$=(1+a)^3 + a(1+a)^3 + \dots + a(1+a)^n$。
3. 依此类推，每提取一次公因式，$(1+a)$的指数加1，提取$n$次公因式后，最终可得原式$=(1+a)^{n+1}$。
探究4
观察所求式子$1+3+3×4+3×4^2+\dots+3×4^{99}$，与探究3的式子结构对比：
此处$1+a=4$，即$a=3$，最后一项为$a(1+a)^{99}$，对应$n=99$，代入探究3的结论$(1+a)^{n+1}$得：
原式$=(1+3)^{99+1}=4^{100}$
【答案】
探究3：$\boxed{(1+a)^{n+1}}$；探究4：$\boxed{4^{100}}$
【知识点】
提公因式法因式分解，规律探究，代数式求值
【点评】
本题重点考查对提公因式法的灵活运用和归纳推理能力，解题核心是观察多项式的公共因式特征，通过逐步提取公因式总结出通用规律，再利用规律迁移解决同结构的计算问题，避免了繁琐的逐项运算，体现了转化思想在代数运算中的应用。
【难度系数】
0.7
1. 先因式分解，再求值：$3(x-2)^2(x-7)+11(2-x)(7-x)$，其中$x=1$。
答案
解：原式$=(x-2)(x-7)(3x+5)$。
当$x=1$时，原式$=48$。
当$x=1$时，原式$=48$。
解析
【分析】
解题时首先观察式子结构，发现两项中含有的$(x-2)$与$(2-x)$、$(x-7)$与$(7-x)$互为相反数，先通过符号变形将式子转化为含有相同公因式的形式，再提取公因式完成因式分解，最后代入$x=1$计算结果即可，变形时要注意负号的运算规则，避免符号错误。
【解析】
解：先对原式进行符号变形：
$\because 2-x=-(x-2)$，$7-x=-(x-7)$
$\therefore$ 原式$=3(x-2)^2(x-7) + 11×[-(x-2)]×[-(x-7)]$
$=3(x-2)^2(x-7) + 11(x-2)(x-7)$
提取公因式$(x-2)(x-7)$：
$=(x-2)(x-7)[3(x-2)+11]$
化简括号内的整式：
$=(x-2)(x-7)(3x-6+11)$
$=(x-2)(x-7)(3x+5)$
将$x=1$代入分解后的式子：
原式$=(1-2)×(1-7)×(3×1+5)$
$=(-1)×(-6)×8$
$=48$
【答案】
因式分解结果为$(x-2)(x-7)(3x+5)$，求值结果为$48$。
【知识点】
1. 提公因式法分解因式
2. 代数式代入求值
3. 整式符号变形
【点评】
本题是因式分解的基础应用题型，核心是准确识别并统一公因式，通过先分解再求值的方式可以大幅简化计算，降低直接代入高次式计算的出错率，解题时需注意互为相反数的整式变形时的符号处理。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察式子结构，发现两项中含有的$(x-2)$与$(2-x)$、$(x-7)$与$(7-x)$互为相反数，先通过符号变形将式子转化为含有相同公因式的形式，再提取公因式完成因式分解，最后代入$x=1$计算结果即可，变形时要注意负号的运算规则，避免符号错误。
【解析】
解：先对原式进行符号变形：
$\because 2-x=-(x-2)$，$7-x=-(x-7)$
$\therefore$ 原式$=3(x-2)^2(x-7) + 11×[-(x-2)]×[-(x-7)]$
$=3(x-2)^2(x-7) + 11(x-2)(x-7)$
提取公因式$(x-2)(x-7)$：
$=(x-2)(x-7)[3(x-2)+11]$
化简括号内的整式：
$=(x-2)(x-7)(3x-6+11)$
$=(x-2)(x-7)(3x+5)$
将$x=1$代入分解后的式子：
原式$=(1-2)×(1-7)×(3×1+5)$
$=(-1)×(-6)×8$
$=48$
【答案】
因式分解结果为$(x-2)(x-7)(3x+5)$，求值结果为$48$。
【知识点】
1. 提公因式法分解因式
2. 代数式代入求值
3. 整式符号变形
【点评】
本题是因式分解的基础应用题型，核心是准确识别并统一公因式，通过先分解再求值的方式可以大幅简化计算，降低直接代入高次式计算的出错率，解题时需注意互为相反数的整式变形时的符号处理。
【难度系数】
0.8
2. 先因式分解，再求值：$20(a-2b)^2 -12(a-2b)^2$，其中$a=-9$，$b=3$。
答案
解：原式$=8(a-2b)^2$。
当$a=-9$，$b=3$时，原式$=1 800$。
当$a=-9$，$b=3$时，原式$=1 800$。
解析
【分析】
解题时首先观察代数式的结构，发现两项中都含有公因式$(a-2b)^2$，因此优先通过提取公因式（合并同类项）的方式对代数式进行化简，避免直接展开计算导致运算繁琐；化简完成后，再将$a$、$b$的数值代入化简后的式子计算即可，能有效减少计算出错的概率。
【解析】
解：首先对原式提取公因式$(a-2b)^2$：
$20(a-2b)^2 -12(a-2b)^2=(20-12)(a-2b)^2=8(a-2b)^2$
接下来代入$a=-9$，$b=3$计算：
先算括号内部分：$a-2b=-9 - 2×3=-15$
代入化简后的式子：$8×(-15)^2=8×225=1800$
【答案】
$1800$
【知识点】
提取公因式法因式分解，代数式求值
【点评】
本题属于代数式化简求值的基础题型，核心是掌握先化简再求值的解题思路，利用提取公因式简化运算，是整式运算中的常规考查内容。
【难度系数】
0.9
解题时首先观察代数式的结构，发现两项中都含有公因式$(a-2b)^2$，因此优先通过提取公因式（合并同类项）的方式对代数式进行化简，避免直接展开计算导致运算繁琐；化简完成后，再将$a$、$b$的数值代入化简后的式子计算即可，能有效减少计算出错的概率。
【解析】
解：首先对原式提取公因式$(a-2b)^2$：
$20(a-2b)^2 -12(a-2b)^2=(20-12)(a-2b)^2=8(a-2b)^2$
接下来代入$a=-9$，$b=3$计算：
先算括号内部分：$a-2b=-9 - 2×3=-15$
代入化简后的式子：$8×(-15)^2=8×225=1800$
【答案】
$1800$
【知识点】
提取公因式法因式分解，代数式求值
【点评】
本题属于代数式化简求值的基础题型，核心是掌握先化简再求值的解题思路，利用提取公因式简化运算，是整式运算中的常规考查内容。
【难度系数】
0.9
