探究1：请在下列各式等号右边的括号前填入“+”或“－”，使等式成立。
(1) $-m -n =$ $(m + n)$；
(2) $-p -q =$ $(p + q)$；
(3) $-s^2 + t^2 =$ $(s^2 - t^2)$。
探究2：把首项系数变为正数。
(1) $-x^2y - xy^2 = -($ $)$；
(2) $-27x^2y + 9xy^2 - 18xy = -($ $)$；
(3) $-a^nb + a^{n-1}b^2 + a^{n-2}b = -($ $)$。
探究3：(添括号法则)括号前面是“+”，括到括号里的各项都 ；括号前面是“－”，括到括号里的各项都 。

探究1
(1) -
(2) -
(3) -
探究2
(1) $x^2y+xy^2$
(2) $27x^2y-9xy^2+18xy$
(3) $a^nb - a^{n-1}b^2 - a^{n-2}b$
探究3
不变号 变号

【分析】
解题时我们可以结合去括号的逆运算（也就是添括号法则）来思考：
1. 探究1的题目都是将左边的整式变形为“符号+(括号内多项式)”的形式，我们只需要对比左边整式和括号内给出的多项式各项的符号：如果括号内各项和左边对应项符号都相反，说明我们提取了负号，括号前填“-”；如果符号都相同就填“+”。
2. 探究2要求把首项系数变为正数，也就是把整体的负号提到括号外面，此时括号内的每一项都要改变符号，再把变号后的各项填入括号即可。
3. 探究3是对添括号法则的直接识记，回忆课本上的添括号规则填写即可。
【解析】
探究1
(1) 左边$-m-n$的两项$m$、$n$的符号都是负的，右边括号内$m+n$的两项都是正的，对应项符号都相反，因此提取“-”号可得$-m-n=-(m+n)$，填“-”。
(2) 左边$-p-q$与右边括号内$p+q$对应项符号都相反，提取“-”号得$-p-q=-(p+q)$，填“-”。
(3) 左边$-s^2+t^2$，右边括号内是$s^2-t^2$，对应项符号都相反，提取“-”号得$-s^2+t^2=-(s^2-t^2)$，填“-”。
探究2
给多项式添带“-”号的括号时，括号内每一项都要变号：
(1) $-x^2y - xy^2$提“-”号后，两项分别变为$x^2y$、$+xy^2$，因此括号内填$x^2y+xy^2$。
(2) $-27x^2y + 9xy^2 - 18xy$提“-”号后，三项分别变为$27x^2y$、$-9xy^2$、$+18xy$，因此括号内填$27x^2y-9xy^2+18xy$。
(3) $-a^nb + a^{n-1}b^2 + a^{n-2}b$提“-”号后，三项分别变为$a^nb$、$-a^{n-1}b^2$、$-a^{n-2}b$，因此括号内填$a^nb - a^{n-1}b^2 - a^{n-2}b$。
探究3
根据添括号法则：括号前面是“+”，括到括号里的各项都不变号；括号前面是“－”，括到括号里的各项都变号。
【答案】
探究1
(1) $-$
(2) $-$
(3) $-$
探究2
(1) $x^2y+xy^2$
(2) $27x^2y-9xy^2+18xy$
(3) $a^nb - a^{n-1}b^2 - a^{n-2}b$
探究3
不变号；变号
【知识点】
1.添括号法则
2.整式符号变形
3.去括号法则逆用
【点评】
本题是整式变形的基础题，重点考查添括号时的符号变化规律，是后续因式分解、整式化简运算的重要基础，解题时要注意括号前是负号时，括号内所有项都要变号，避免出现漏变某一项符号的错误。
【难度系数】
0.85

探究4：把下列各式因式分解。
(1) $-20a -15ax$；
(2) $-4a^3b^3 + 6a^2b - 2ab$；
(3) $-10a^2bc + 15bc^2 - 20ab^2c$。

(1) $-20a -15ax = -5a(4+3x)$。
(2) $-4a^3b^3 + 6a^2b - 2ab = -2ab(2a^2b^2 - 3a + 1)$。
(3) $-10a^2bc + 15bc^2 - 20ab^2c = -5bc(2a^2 - 3c + 4ab)$。

【分析】
这三道因式分解题均适合用提公因式法求解，解题思路如下：第一步确定公因式：先找各项系数的最大公约数，再找各项都含有的相同字母，取相同字母的最低次幂；由于三个式子的首项系数均为负数，为了让提取公因式后括号内的首项系数为正，公因式的系数取负的最大公约数。第二步用多项式的每一项除以公因式，得到括号内的各项。第三步检查结果，确保括号内没有可再提取的公因式，且项数和原式一致，无漏项。
【解析】
(1) 确定公因式：系数-20和-15的负最大公约数是-5，两项共有的字母是a，a的最低次幂为1次，因此公因式为$-5a$。
提取公因式得：$-20a -15ax = -5a · 4 + (-5a) · 3x = -5a(4+3x)$。
(2) 确定公因式：系数-4、6、-2的负最大公约数是-2，三项共有的字母是a、b，a、b的最低次幂均为1次，因此公因式为$-2ab$。
提取公因式得：$-4a^3b^3 + 6a^2b - 2ab = -2ab · 2a^2b^2 + (-2ab) · (-3a) + (-2ab) · 1 = -2ab(2a^2b^2 - 3a + 1)$。
(3) 确定公因式：系数-10、15、-20的负最大公约数是-5，三项共有的字母是b、c，b、c的最低次幂均为1次，因此公因式为$-5bc$。
提取公因式得：$-10a^2bc + 15bc^2 - 20ab^2c = -5bc · 2a^2 + (-5bc) · (-3c) + (-5bc) · 4ab = -5bc(2a^2 - 3c + 4ab)$。
【答案】
(1) $-5a(4+3x)$
(2) $-2ab(2a^2b^2 - 3a + 1)$
(3) $-5bc(2a^2 - 3c + 4ab)$
【知识点】
1.提公因式法因式分解
2.公因式的确定
3.整式除法运算
【点评】
本题是因式分解的基础常规题型，核心考查提公因式法的应用，解题时需注意公因式要提全，首项为负时优先提取负号，提取公因式后要验证括号内的项数与原式一致，避免漏项。
【难度系数】
0.85

1. 在多项式$-12ab^{3}c - 8a^{3}b$中应提取的公因式是 （）

A.$4ab^{2}$
B.$-4abc$
C.$-4ab^{2}$
D.$-4ab$

1. D

【分析】
要确定多项式的公因式，需按照三步规则思考：①先看系数：取各项系数绝对值的最大公约数，若多项式首项符号为负，公因式系数要带负号；②再看字母：选取各项都含有的相同字母；③看字母次数：相同字母取次数最低的幂。将三部分组合即可得到公因式，再匹配选项即可。
【解析】
对多项式$-12ab^{3}c - 8a^{3}b$按步骤找公因式：
1. 确定系数部分：两项系数为-12和-8，绝对值12和8的最大公约数是4，因首项为负，故公因式系数为$-4$；
2. 确定字母部分：两项共同含有的字母是$a$和$b$，字母$c$仅在第一项出现，不纳入公因式；
3. 确定字母次数：$a$的最低次数是1次，$b$的最低次数是1次；
综上，公因式为$-4ab$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
公因式的确定、提公因式法因式分解
【点评】
本题考查公因式的确定，属于基础题型，牢记找公因式的核心规则即可快速解题，是因式分解部分的基础考点。
【难度系数】
0.9

2. 用提公因式法因式分解：
(1) $-9x^3 + 12x$；
(2) $-2a^2x^2 + 4axy - 6axy^2$。

解：(1) $-9x^3 + 12x = -3x(3x^2 - 4)$。
(2) $-2a^2x^2 + 4axy - 6axy^2 = -2ax(ax - 2y + 3y^2)$。

【分析】
解题时需按照提公因式法的固定步骤思考：①先看多项式首项符号，若首项系数为负，优先提取负号，保证括号内首项系数为正；②确定公因式：先找各项系数的最大公约数，再找各项共有的相同字母，取相同字母的最低次幂，二者的乘积就是公因式；③用多项式的每一项分别除以公因式，将所得的商依次作为括号内的项，最终写成公因式与括号内多项式的乘积形式。
针对本题：(1)首项为负，系数-9和12的最大公约数是3，共有字母为x，最低次是$x^1$，因此公因式为$-3x$；(2)首项为负，系数-2、4、-6的最大公约数是2，共有字母为a、x，最低次都是1次，因此公因式为$-2ax$，分别提取公因式即可完成分解。
【解析】
(1) 确定公因式为$-3x$，提取公因式：
$\begin{aligned}-9x^3 + 12x&= -3x · 3x^2 + (-3x) · (-4)\\&=-3x(3x^2 - 4)\end{aligned}$
(2) 确定公因式为$-2ax$，提取公因式：
$\begin{aligned}-2a^2x^2 + 4axy - 6axy^2&= -2ax · ax + (-2ax) · (-2y) + (-2ax) · 3y^2\\&=-2ax(ax - 2y + 3y^2)\end{aligned}$
【答案】
(1) $-3x(3x^2 - 4)$；(2) $-2ax(ax - 2y + 3y^2)$
【知识点】
提公因式法因式分解，公因式的确定，因式分解符号规则
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心考查提公因式法的应用，解题的易错点是容易忽略首项负号导致符号错误，或是提取公因式时漏项，完成分解后可通过整式乘法反向验证结果是否正确。
【难度系数】
0.85

探究 1: 请在下列各式等号右边的括号前填入 “+” 或 “-”, 使等式成立。
(1)$2-a=$$(a-2);$
(2)$y-x=$$(x-y);$
(3)$b+a=$$(a+b);$
(4)$(b-a)^2=$$(a-b)^2;$
(5)$(y-x)^3=$$(x-y)^3$。
探究 2: 一般地, 关于幂的指数与底数的符号有如下规律(填 “+” 或 “-”):
$(y-x)^n=\begin{cases}\_\_\_\_\_\_(x-y)^n(n\mathrm{ 为偶数}), \\_\_\_\_\_\_(x-y)^n(n\mathrm{ 为奇数})。\end{cases}$
实践应用: 把下列各式因式分解。
(1)$7(a-1)+x(a-1);$
(2)$3(a-b)^2+6(b-a);$
(3)$m(a^2+b^2)+n(a^2+b^2)。$
归纳总结
当公因式是一个多项式时,应先变形确定公因式,再提出来,提公因式后,括号内的式子经整理后,若仍有公因式,则应继续提,直到多项式的每个因式都没有公因式为止。

探究1 (1) - (2) - (3) + (4) + (5) -
探究2 + -
实践应用
解：(1) $7(a-1)+x(a-1)=(a-1)(7+x)$。
(2) $3(a-b)^2+6(b-a)=3(a-b)(a-b-2)$。
(3) $m(a^2+b^2)+n(a^2+b^2)=(a^2+b^2)(m+n)$。

【分析】
1. 探究1解题思路：观察等式左右两边的式子，若两式完全相同则括号前填“+”，若两式互为相反数则括号前填“-”；注意互为相反数的偶次幂相等，奇次幂仍互为相反数，据此判断带幂的式子的符号即可。
2. 探究2解题思路：结合探究1中偶次幂、奇次幂的符号规律总结即可：n为偶数时，(y-x)ⁿ与(x-y)ⁿ相等，填“+”；n为奇数时，(y-x)ⁿ与(x-y)ⁿ互为相反数，填“-”。
3. 实践应用解题思路：用提公因式法因式分解，第一步先找公因式，若底数互为相反数，先按上述幂的符号规律统一底数确定公因式，再提取公因式，提取后检查剩余因式是否还有公因式，直到不能再分解为止。
【解析】
探究1
(1) $2-a$与$a-2$互为相反数，故$2-a=-(a-2)$，填“-”；
(2) $y-x$与$x-y$互为相反数，故$y-x=-(x-y)$，填“-”；
(3) $b+a$与$a+b$完全相同，故$b+a=+(a+b)$，填“+”；
(4) 互为相反数的偶次幂相等，故$(b-a)^2=+(a-b)^2$，填“+”；
(5) 互为相反数的奇次幂互为相反数，故$(y-x)^3=-(x-y)^3$，填“-”。
探究2
结合上述规律：当n为偶数时，$(y-x)^n=+(x-y)^n$；当n为奇数时，$(y-x)^n=-(x-y)^n$，依次填“+”“-”。
实践应用
(1) 公因式为$(a-1)$，直接提取：
$7(a-1)+x(a-1)=(a-1)(7+x)$
(2) 先将$(b-a)$变形为$-(a-b)$，统一底数，可得公因式为$3(a-b)$：
$3(a-b)^2+6(b-a)=3(a-b)^2-6(a-b)=3(a-b)(a-b-2)$
(3) 公因式为$(a^2+b^2)$，直接提取：
$m(a^2+b^2)+n(a^2+b^2)=(a^2+b^2)(m+n)$
【答案】
探究1 (1) - (2) - (3) + (4) + (5) -
探究2 +；-
实践应用
(1) $(a-1)(7+x)$
(2) $3(a-b)(a-b-2)$
(3) $(a^2+b^2)(m+n)$
【知识点】
提公因式法因式分解；相反数的幂的符号规律；公因式的确定
【点评】
本题是因式分解的基础题型，重点考察互为相反数的多项式变形规律，尤其是幂的符号随指数奇偶性的变化特点，熟练掌握该规律能快速准确确定公因式，是后续复杂因式分解的重要基础。
【难度系数】
0.75